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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.2.下列不等式正確的是()A. B.C. D.3.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.5.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.7.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.8.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.9.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.410.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.11.若,則的虛部是A.3 B. C. D.12.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.14.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓,這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.15.已知,滿足不等式組,則的取值范圍為_(kāi)_______.16.在數(shù)列中,已知,則數(shù)列的的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,的對(duì)邊分別為,其中,.(1)求角的值;(2)若,,為邊上的任意一點(diǎn),求的最小值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫(xiě)出與的直角坐標(biāo)方程;(2)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),與有交點(diǎn).20.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
由已知畫(huà)出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,畫(huà)出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.4.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫(huà)出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題7.A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題8.A【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.9.C【解析】
設(shè)直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí),即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點(diǎn)為,則直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關(guān)系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意取最值的條件.10.D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.11.B【解析】
因?yàn)?,所以的虛部?故選B.12.A【解析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.14.【解析】
先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問(wèn)題,涉及到距離的最值問(wèn)題,在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí),一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.15.【解析】
畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知在點(diǎn)處取得最小值,即,所以由圖可知的取值范圍為.16.【解析】
由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,得到,再由求解.【詳解】解:由,得,,則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得,在中結(jié)合正弦定理求出,從而得出,即可得出的解析式,最后結(jié)合斜率的幾何意義,即可求出的最小值.【詳解】(1),,由題知,,則,則,,;(2)在中,由余弦定理得,,設(shè),其中.在中,,,,,所以,,所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線斜率的相反數(shù),數(shù)形結(jié)合可得,故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用,還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式,考查計(jì)算能力.18.≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)·(a-b)≥0時(shí)取等號(hào),∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.19.(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消參可得直角坐標(biāo)方程.(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,與有交點(diǎn),可得,解不等式即可求解.【詳解】(1)(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得:與有交點(diǎn),即【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題.20.(1),(2)【解析】
(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.21.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.(2)計(jì)算,再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)
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