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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb2.已知,,則等于().A. B. C. D.3.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.4.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.5.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若有2個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時,函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④8.已知實數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.9.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.10.已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則()A. B. C. D.11.已知為拋物線的準線,拋物線上的點到的距離為,點的坐標為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.12.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,線段AB的中點為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若對于任意正實數(shù),均存在以為三邊邊長的三角形,則實數(shù)k的取值范圍是_______.14.已知,滿足約束條件則的最大值為__________.15.在區(qū)間內(nèi)任意取一個數(shù),則恰好為非負數(shù)的概率是________.16.已知實數(shù)滿足則點構(gòu)成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若,求證:(2)若,恒有,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.19.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積20.(12分)如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,底面,且,為的中點.(1)證明:;(2)設(shè)點是線段上的動點,當(dāng)直線與直線所成的角最小時,求三棱錐的體積.21.(12分)等差數(shù)列的前項和為,已知,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前項和為;(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的前項的和,求證:.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,平面平面,點為棱的中點.(Ⅰ)在棱上是否存在一點,使得平面,并說明理由;(Ⅱ)當(dāng)二面角的余弦值為時,求直線與平面所成的角.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負,所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.2.B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點時,目標函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.4.A【解析】
將正四面體補成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.5.B【解析】
將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.6.C【解析】
令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個實數(shù)解,即和有兩個交點,,令,可得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,若直線和有兩個交點,則.實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.7.A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點知②錯誤;函數(shù)定義域為,最值點即為極值點,由知③錯誤;令,在和兩種情況下知均無零點,知④正確.【詳解】由題意得:定義域為,,為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯誤;,,不是最值,③錯誤;令,當(dāng)時,,,,此時與無交點;當(dāng)時,,,,此時與無交點;綜上所述:與無交點,④正確.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解;本題綜合性較強,對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.8.B【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時,x在點B處取得最大值,即,得;當(dāng)時,z在點C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9.D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.10.A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
設(shè)拋物線焦點為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時,取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點,準線,過作交于點,連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時,取“=”號,∴的最小值為.
故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.12.C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達定理的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進而求出的取值范圍.【詳解】因為對任意正實數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則;當(dāng),即時,,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時,因為,,所以,解得;當(dāng)時,,滿足條件;當(dāng)時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.14.1【解析】
先畫出約束條件的可行域,根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點,代入目標函數(shù)的解析式,易可得到目標函數(shù)的最大值.【詳解】解:由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域,由于,則,要求的最大值,則求的截距的最小值,顯然當(dāng)平行直線過點時,取得最大值為:.故答案為:1.【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題,我們常用幾何法求最值.15.【解析】
先分析非負數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度,然后根據(jù)幾何概型中的長度模型,即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負數(shù)時,,區(qū)間長度是,又因為對應(yīng)的區(qū)間長度是,所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標事件對應(yīng)的區(qū)間長度.16.811【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結(jié)合可知,可行域為三角形,且底邊長,高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)?,顯然直線過時,z最大,故.故答案為:;11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)求x<0時,f(x)的極大值為,即證(2)等價于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】(1)∵函數(shù)f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)內(nèi)遞增,在(﹣,0)內(nèi)遞減,在(0,+∞)內(nèi)遞增,∴f(x)的極大值為,∴當(dāng)x<0時,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,則g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且x→0+時,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴當(dāng)x∈(0,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴實數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,0].【點睛】本題主要考查利用證明不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.(1)或(2)最小值為.【解析】
(1)討論,,三種情況,分別計算得到答案.(2)計算得到,再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得;當(dāng)時,由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時,,所以.因為,由,可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時,等號成立.所以的最小值為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對于不等式,函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19.(1).(2).【解析】
由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20.(1)見解析;(2).【解析】
(1)要證明,只需證明平面即可;(2)以C為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標系,利用向量法求,并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】(1)連結(jié)AC、AE,由已知,四邊形ABCE為正方形,則①,因為底面,則②,由①②知平面,所以.(2)以C為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,所以,,,設(shè),,則,所以,設(shè),則,所以當(dāng),即時,取最大值,從而取最小值,即直線與直線所成的角最小,此時,則,因為,,則平面,從而M到平面的距離,所以.【點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積,考查的內(nèi)容較多,計算量較大,解決此類問題最關(guān)鍵是準確寫出點的坐標,是一道中檔題.21.(Ⅰ),(Ⅱ
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