等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)證明例題上課用

會計(jì)學(xué)1等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)證明例題上課用

等差數(shù)列的前m項(xiàng)和公式：1、P312、7題第1頁/共38頁4.對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:(1)利用：由(2)利用:當(dāng)>0，d<0，前m項(xiàng)和有最大值?？捎?，求得m的值。，求得m的值。當(dāng)<0，d>0，前m項(xiàng)和有最小值?？捎衫枚魏瘮?shù)配方法求得最值時(shí)m的值第2頁/共38頁2．等差數(shù)列前m項(xiàng)和的最值(1)若a1＜0，d＞0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_____項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sm}的最___值；(2)若a1＞0，d＜0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_____項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sm}的最___值．特別地，若a1＞0，d＞0，則___是{Sm}的最___值；若a1＜0，d＜0，則___是{Sm}的最___值．負(fù)數(shù)小正數(shù)大S1小S1大第3頁/共38頁●

如果一個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？（1）若r≠0，則這個(gè)數(shù)列一定不是等差數(shù)列.（2）若r＝0，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.性質(zhì)1、{am}是等差數(shù)列(d≠0)Sm=am2+bm(a,b為常數(shù))同練P327若d＝0?通項(xiàng)如何等差數(shù)列{am}前m項(xiàng)和的性質(zhì)第4頁/共38頁練習(xí):已知數(shù)列{am}的通項(xiàng)為am=26-2m,要使此數(shù)列的前m項(xiàng)和最大,則m的值為()a.12B.13C.12或13D.14C第5頁/共38頁性質(zhì)2、等差數(shù)列{am}的前m項(xiàng)和為Sm,則(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))第6頁/共38頁解:P31、2第7頁/共38頁性質(zhì)3:Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{am}中,其前m項(xiàng)的和為Sm,則有m2dP32、7第8頁/共38頁方法一：方程思想方法二：成等差數(shù)列P32、4第9頁/共38頁證明：由數(shù)列為等差數(shù)列,可設(shè)其前m項(xiàng)和Sm=am^2+Bm=p,（1）

Sp=ap^2+Bp=m（2）

（1）+（2）得a(m^2+p^2)+B(m+p)=m+p

p*(1)-m*(2)整理得mpa=-(m+p)

所以Sm+p=a(m+p)^2+B(m+p)

=a(m^2+2mp+p^2)+B(m+p)

=a(m^2+p^2)+B(m+p)+2mpa

=m+p-2(m+p)

=-(m+p)性質(zhì)4:若Sm=p,Sp=m(m≠p為正整數(shù)),則Sm+p=－(m+p)p32、7第10頁/共38頁性質(zhì)5:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=0

∵am=a+(m-1)d,sm=ma1+m(m-1)d/2,

sm=ma1+m(m-1)d/2sp=pa1+p(p-1)d/2,

sm=sp∴0=(p-m)a1+d/2[p^2-p-m^2+m]=(p-m)a1+[(p-m)(p+m)-(p-m)]d/2

=(p-m)[a1+(p+m-1)d/2],

∵m≠p,

∴0=a1+(p+m-1)d/2,

s(m+p)=(m+p)a+(m+p)(m+p-1)d/2=(m+p)[a+(m+p-1)d/2]=(m+p)*0=0.第11頁/共38頁性質(zhì)6:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,則

S2m=m(a1+a2m)=m(am+am+1)(am,am+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,md（1）S偶-S奇

=[a2+a4+a6+…+a2m]-[a1+a3+a5+…+a2m-1]

=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+.+[a2m-a2m-1]

=d+d+d+.+d(m個(gè)d)

=md

第12頁/共38頁∵S偶=a2+a4+a6+…+a2m=[a2+a2m]×m÷2=2am+1×m÷2=mam+1

S奇=a1+a3+a5+…+a2m-1=[a1+a2m-1]×m÷2=2am×m÷2=mam

∴S奇÷S偶=am÷am+1第13頁/共38頁1、已知一個(gè)等差數(shù)列前12項(xiàng)的和是354，前

12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差．分析：方法一：直接套用公式；方法二：利用奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系．解：方法一：

第14頁/共38頁1、已知一個(gè)等差數(shù)列前12項(xiàng)的和是354，前

12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差．

解：方法二：

第15頁/共38頁性質(zhì)7:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1,則

S2m-1=(2m－1)am(am為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=-

,amP337題第16頁/共38頁奇數(shù)項(xiàng)有m+1項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)有m項(xiàng)

奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列S奇=(a1+a2m+1)×(m+1)/2

=(a1+a1+2md)×(m+1)/2

=(a1+md)×(m+1)=(m+1)am+1

S偶=(a2+a2m)×m/2

=(a1+d+a1+(2m-1)d)×m/2

=(a1+md)×m

=mam+1S奇-S偶=(m+1)a(m+1)-ma(m+1)=am+1S奇/S偶=(m+1)am+1/mam+1=(m+1)/m

P337題第17頁/共38頁性質(zhì)8:為等差數(shù)列.P316題P335題性質(zhì)9:若數(shù)列{am}與{bm}都是等差數(shù)列,且前m項(xiàng)的和分別為Sm和Tm,則第18頁/共38頁.有兩個(gè)等差數(shù)列{am}{bm}且它們的前m項(xiàng)和為Sm，Tm，若，求55/67P335第19頁/共38頁1.已知等差數(shù)列{am}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求數(shù)列的前3m項(xiàng)的和。2.若等差數(shù)列{am}，am=4m-34,(1)求{|am|}的前10項(xiàng)和；(2)求{|am|}的前m項(xiàng)和Tm第20頁/共38頁例3．?dāng)?shù)列的前m項(xiàng)和(1)是什么數(shù)列?的前m項(xiàng)和.(2)設(shè)第21頁/共38頁課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前m項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.第22頁/共38頁3.等差數(shù)列{am}前m項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{am}中,其前m項(xiàng)的和為Sm,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,則

S2m=m(a1+a2m)=m(am+am+1)(am,am+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,m2d0md－(m+p)第23頁/共38頁性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1,則

S2m-1=(2m－1)am(am為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=

,兩等差數(shù)列前m項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)6:若數(shù)列{am}與{bm}都是等差數(shù)列,且前m項(xiàng)的和分別為Sm和Tm,則性質(zhì)5:為等差數(shù)列.am第24頁/共38頁例3、解：又解：整體運(yùn)算的思想!第25頁/共38頁例4、解：第26頁/共38頁S偶－S奇＝6(2n-1)d=10.5N=4有8項(xiàng)d=3/4第27頁/共38頁1.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34，最后三項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列共有______項(xiàng)。2.已知兩個(gè)等差數(shù)列{am},{bm}，它們的前m項(xiàng)和分別是Sm,Tm，若比值問題整體思想第28頁/共38頁練習(xí)3：已知在等差數(shù)列{am}中,a10=23,a25=-22,Sm為其前m項(xiàng)和.（1）問該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sm<0的最小的正整數(shù)m.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第29頁/共38頁例5.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為

.例6.(11寧夏)等差數(shù)列{am}的前m項(xiàng)的和為Sm,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例7.設(shè)數(shù)列{am}的通項(xiàng)公式為am=2m-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差數(shù)列{am}前m項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第30頁/共38頁例8.設(shè)等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為Sm,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sm}中數(shù)值最大的項(xiàng),并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{am}前m項(xiàng)和的性質(zhì)第31頁/共38頁(2)∵∴Sm圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于m為正整數(shù),所以當(dāng)m=6時(shí)Sm有最大值.∴Sm有最大值.第32頁/共38頁3.已知數(shù)列{am}和{bm}都是公差