邊界層理論基礎(chǔ)

會(huì)計(jì)學(xué)1邊界層理論基礎(chǔ)可以推知，在壁面附近，必然存在這樣一層流體，其與流向垂直的方向上的速度梯度很大，所以在這層流體中，絕對(duì)不能忽略粘滯力的作用，這樣一層流體就稱為邊界層。邊界層厚度是與Re數(shù)值相關(guān)的。Re越大，厚度愈薄。在邊界層之外的區(qū)域可忽略粘性力的作用，視為理想流體。這種將流體流過物體壁面的問題分成兩部分處理的辦法，已被證明在流體力學(xué)領(lǐng)域具有十分重要的意義。第1頁(yè)/共31頁(yè)邊界層的形成

x平板壁面上邊界層的形成uxxcδ層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層y第2頁(yè)/共31頁(yè)如圖，一流速均勻?yàn)閡0的流體流近平板壁面前緣時(shí)，因粘滯力作用，毗鄰壁面的流體停滯下來，速度為零，從而在垂直于流動(dòng)方向上建立起速度梯度，并使靠近壁面的層流流體速度減慢，開始形成邊界層。隨著流體向前移動(dòng)，邊界層厚度增加，即更多流體層速度被減慢，最后構(gòu)成一穩(wěn)定的邊界層。

第3頁(yè)/共31頁(yè)隨著邊界層的厚度逐漸增加，邊界層內(nèi)部也會(huì)發(fā)生變化，在邊界層厚度較小處，其內(nèi)部流動(dòng)為層流，該區(qū)域稱為層流邊界層，當(dāng)其厚度達(dá)到其臨界厚度δc或臨界距離xc時(shí)，其內(nèi)的流動(dòng)逐漸經(jīng)過一過渡區(qū)轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?，此后的邊界層稱為湍流邊界層，即使在這區(qū)域靠近壁面極薄的一層流體內(nèi)，仍然維持層流，稱為層流內(nèi)層。

第4頁(yè)/共31頁(yè)臨界距離xc的長(zhǎng)度與壁面前緣的形狀、粗糙度、流體性質(zhì)和流速大小有關(guān)。壁面愈粗糙xc愈短?？傊?，邊界層由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯牡攸c(diǎn)取決于如下的臨界Re數(shù)值：

第5頁(yè)/共31頁(yè)對(duì)于光滑的平板壁面，轉(zhuǎn)變區(qū)域的Re為：常取

為

為轉(zhuǎn)變點(diǎn)。

當(dāng)一流速為u0的流體流經(jīng)一圓管時(shí)，則在圓管固壁形成邊界層，且逐漸加厚，有可能最終占住整個(gè)截面，也可能只占一部分便進(jìn)入邊界層外，即邊界層厚度要由Re數(shù)來決定。第6頁(yè)/共31頁(yè)U0邊界層充分發(fā)展的流動(dòng)層流內(nèi)層湍流核心第7頁(yè)/共31頁(yè)Re僅適用于表達(dá)充分發(fā)展了的層流或湍流情況下的流體的流型。

即使是湍流邊界層，靠近管壁極薄的一層流體中，仍維持層流內(nèi)層，其外為緩沖層，再外才是湍流中心。5－2邊界層厚度的定義平壁上的流體流動(dòng)，流體速度由板面處的零增加到邊界層外緣處的u0值，需經(jīng)過很長(zhǎng)的y方向上的距離，（理論上是這樣），第8頁(yè)/共31頁(yè)但實(shí)際中流速ux接近u0到一定程度時(shí)，便可賦予其有應(yīng)用價(jià)值的邊界層厚度定義：(1)

取ux達(dá)到u0的99％時(shí)的y值，即

處，y的值即為邊界層厚度。

(2)可假設(shè)一個(gè)表示邊界層內(nèi)速度分布的公式，如拋物線方程，計(jì)算當(dāng)ux達(dá)到

u0時(shí)的y值，即為邊界層厚度。第9頁(yè)/共31頁(yè)第二節(jié)曳力系數(shù)曳力系數(shù)與范寧摩擦系數(shù)流體流過壁面，就流體而言，受到壁面的阻力流體流過壁面，就壁面而言，受到流體的曳力曳力和阻力方向相反，互為作用力和反作用力的關(guān)系，所以曳力系數(shù)與阻力系數(shù)的數(shù)值相等。第10頁(yè)/共31頁(yè)曳力系數(shù)表達(dá)式為：

曳力

D圓柱體直徑u0物體的速度流體在圓管中所受到的阻力，習(xí)慣上采用范寧摩擦系數(shù)f來表示，f的定義式為：

管壁處的剪應(yīng)力Ub平均速度第11頁(yè)/共31頁(yè)第三節(jié)邊界層方程普蘭德邊界層方程將不可壓縮流體的N－S方程應(yīng)于層流邊界層時(shí)，如前述方程中的若干相可以忽略不計(jì)，對(duì)于二維穩(wěn)態(tài)層流，x,y方向上的分量可寫成：

第12頁(yè)/共31頁(yè)連續(xù)性方程為：此時(shí)邊界層厚度的定義為：壁面到處的邊界流體的厚度。

xxδ

δ

u0

u0

ux

ux

第13頁(yè)/共31頁(yè)普蘭德首先發(fā)現(xiàn)，即邊界層厚度在大多數(shù)情況下均很小，以x為基準(zhǔn)，根據(jù)數(shù)量級(jí)的概念對(duì)上述三方程進(jìn)行化簡(jiǎn)與x數(shù)量級(jí)相等的記為O(1)與δ數(shù)量級(jí)相等的記為O(δ)第14頁(yè)/共31頁(yè)經(jīng)過上述討論方程可得知:x方向

(1)(δ)(1/δ)(δ2)(1)(1/δ2)第15頁(yè)/共31頁(yè)y方向(1)(δ)(δ)(1)(δ2)(δ)(1/δ)由上述兩式的數(shù)量級(jí)分析可知，x方向各項(xiàng)數(shù)量級(jí)為1，而y方向各項(xiàng)數(shù)量級(jí)為δ。因δ<<1，故y方向可忽略不記，于是可得普蘭德邊界層方程：

第16頁(yè)/共31頁(yè)求解上述二方程即可求出邊界層內(nèi)的速度分布和壓力分布。邊界條件：

應(yīng)用條件：不可壓縮流體在邊界層中作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)，而且當(dāng)Re數(shù)較大（δ較?。┲畷r(shí)。此方程雖大大化簡(jiǎn)，但仍為非線性，很難求解。第17頁(yè)/共31頁(yè)邊界層積分動(dòng)量方程卡門（Vonk′arman）避開N－S方程，而直接對(duì)邊界層進(jìn)行動(dòng)量衡算，導(dǎo)出邊界層積分動(dòng)量方程。對(duì)二維不可壓縮穩(wěn)態(tài)流動(dòng)有：該式稱為卡門邊界層積分動(dòng)量方程。顯然，該方程必須先假設(shè)一個(gè)速度分布函數(shù)，代入后才能求解，因此它只能算一個(gè)近似解。

第18頁(yè)/共31頁(yè)卡門邊界層方程即適用于層流，也適用于湍流。例：流體沿平板壁面流動(dòng)時(shí)層流邊界層的計(jì)算，主要目標(biāo)是邊界層厚度和曳力子數(shù)的計(jì)算大量觀察和測(cè)量得知ux與y的關(guān)系與拋物線近似，因此可假設(shè)：

a,b,c,d待定邊界條件：

第19頁(yè)/共31頁(yè)即第20頁(yè)/共31頁(yè)由此獲得的層流邊界層的速度分布方程：將上式代入卡門積分中的積分項(xiàng)變?yōu)椋河谑怯校?/p>

第21頁(yè)/共31頁(yè)根據(jù)定義：可得：將的表達(dá)式代入積分得：

表明：δ隨x的平方根而增厚寫。成無(wú)因次群得：

第22頁(yè)/共31頁(yè)前以述及光滑平板壁面邊界層流轉(zhuǎn)變成湍流的臨界值為2×105～3×106如果將其轉(zhuǎn)換為以邊界層厚度δ表示的Re數(shù)則可得：當(dāng)時(shí)這與圓管內(nèi)的臨界雷諾數(shù)相近。第23頁(yè)/共31頁(yè)現(xiàn)在可以計(jì)算層流邊界層中壁面處的局部剪應(yīng)力τs和相應(yīng)的曳力子數(shù)了。求取x處的剪應(yīng)力，計(jì)算長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b的平板壁面上的曳力和曳力子數(shù)表達(dá)式為：

5-7管道進(jìn)口段的流體流動(dòng)（省略）

第24頁(yè)/共31頁(yè)第五節(jié)：邊界層分離邊界層分離：在某些情況下，邊界層內(nèi)的流體會(huì)發(fā)生倒流，引起邊界層與固體壁面的分離現(xiàn)象。同時(shí)產(chǎn)生旋渦，其結(jié)果是造成流體的能量損失（形體阻力），此種現(xiàn)象稱為邊界層分離。在推倒邊界層方程時(shí)，由數(shù)量級(jí)分析可知，y方向上的壓力分布均勻不變，其剃度可忽略（）所以，邊界層內(nèi)壓力與理想流體的壓力接近。

第25頁(yè)/共31頁(yè)在勢(shì)流的計(jì)算中，已經(jīng)得知，流場(chǎng)中，流體的流動(dòng)可認(rèn)為是一束流線組成。對(duì)正對(duì)著圓柱體的那根流線來考察，愈靠近柱體處速度越小，壓力越大，當(dāng)其達(dá)到柱體A處速度為零，壓力最大，A點(diǎn)稱為停滯點(diǎn)，此時(shí)流體被迫改變?cè)骶€方向，繞過柱體的兩側(cè)繼續(xù)向下游流去，停滯點(diǎn)又稱為奇點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）。

第26頁(yè)/共31頁(yè)BP分離點(diǎn)倒流Ux

Ux

Ux

Ux

dUx/dy=0

當(dāng)理想流體變?yōu)檎承粤黧w時(shí)，柱體的前半部流線圖形與理想流體相類似，但后半部流線圖形將大為改觀。

第27頁(yè)/共31頁(yè)由于邊界層的產(chǎn)生，將會(huì)使壁面的流動(dòng)發(fā)生根本性的變化。在B點(diǎn)之前，主體流線處于越來越快的狀態(tài)，即流體處于加速減壓的情況，所以邊界層內(nèi)的流體也必處于加速減壓之下，即在減少的壓力中一部分轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，另一部分用于克服剪應(yīng)力。但過了B點(diǎn)，流動(dòng)性減慢，壓力逐漸增加，主體和邊界層流體均處于減速加壓狀態(tài)，，稱為逆向壓力梯度。

第28頁(yè)/共31頁(yè)由于剪應(yīng)力和逆向壓力梯度的雙重作用，流體流速逐漸變小，當(dāng)壁面流體達(dá)到P點(diǎn)時(shí)，重力能消耗殆盡，形成一個(gè)新的停滯點(diǎn)，此時(shí)壓力較上游壓力大，而速度為零。因流體不可壓縮，后續(xù)流體質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)在較高壓力的作用下，即被迫離開壁面和原流線方向，將自己的部分靜壓能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，脫離壁面，而循另一條