邊界層換熱微分與積分方程

會(huì)計(jì)學(xué)1邊界層換熱微分與積分方程§5

對(duì)流換熱分析

建筑環(huán)境與設(shè)備工程專業(yè)主干課程之一

!Chapter5TheAnalysisofConvectionHeatTransfer第1頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer本章內(nèi)容要求：重點(diǎn)內(nèi)容：對(duì)流換熱及其影響因素；牛頓冷卻公式；用分析方法求解對(duì)流換熱問(wèn)題的實(shí)質(zhì)；邊界層概念及其應(yīng)用；相似原理；無(wú)相變換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及換熱量的計(jì)算。掌握內(nèi)容：對(duì)流換熱及其影響因素；用分析方法求解對(duì)流換熱問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。第2頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer§5-2

邊界層換熱微分與積分方程一、邊界層概念層流底層過(guò)渡層湍流過(guò)渡流層流第3頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer1.物理現(xiàn)象當(dāng)粘性流體在壁面上流動(dòng)時(shí)，由于粘性的作用，在貼附于壁面的流體速度實(shí)際上等于零，在流體力學(xué)中稱為貼壁處的無(wú)滑移邊界條件。2.實(shí)驗(yàn)測(cè)定若用儀器測(cè)出壁面法向（y向）的速度分布，如上圖所示。在y=0處，u=0；此后隨ｙ增大，ｕ也增大。經(jīng)過(guò)一個(gè)薄層后ｕ接近主流速度。第4頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer3.定義這一薄層稱為流動(dòng)邊界層（速度邊界層），通常規(guī)定：（主流速度）處的距離為流動(dòng)邊界層厚度，記為。4.數(shù)量級(jí)流動(dòng)邊界層很薄，如空氣，以掠過(guò)平板，在離前緣處的邊界層厚度約為。第5頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer5.物理意義在這樣薄的一層流體內(nèi)，其速度梯度是很大的。在的薄層中，氣流速度從0變到，其法向平均變化率高達(dá)。第6頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer根據(jù)牛頓粘性定律，流體的剪應(yīng)力與垂直運(yùn)動(dòng)方向的速度梯度成正比，即：式中：——

向的粘滯應(yīng)力；

——

動(dòng)力粘度。第7頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer6.掠過(guò)平板時(shí)邊界層的形成和發(fā)展(1)流體以速度流進(jìn)平板前緣后，邊界層逐漸增厚，但在某一距離以前會(huì)保持層流。(2)但是隨著邊界層厚度的增加，必然導(dǎo)致壁面粘滯力對(duì)邊界層外緣影響的減弱。自處起，層流向湍流過(guò)渡（過(guò)渡區(qū)），進(jìn)而達(dá)到旺盛湍流，故稱湍流邊界層。第8頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer

(3)湍流邊界層包括湍流核心、緩沖層、層流底層。在層流底層中具有較大的速度梯度。第9頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer7.臨界雷諾數(shù)

——運(yùn)動(dòng)粘度；

——?jiǎng)恿φ扯炔捎门R界雷諾數(shù)來(lái)判別層流和湍流。對(duì)管內(nèi)流動(dòng)：

為層流

反之為湍流對(duì)縱掠平板：一般取第10頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer8.小結(jié)

綜上所述，流動(dòng)邊界層具有下列重要特性(1)流場(chǎng)可以劃分為兩個(gè)區(qū)：

(b)主流區(qū)——邊界層外，流速維持不變，流動(dòng)可以作為理想流體的無(wú)旋流動(dòng)，用描述理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程求解。

(a)邊界層區(qū)——必須考慮粘性對(duì)流動(dòng)的影響，要用方程求解。第11頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer(2)邊界層厚度與壁面尺度相比，是一個(gè)很

小的量。第12頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer(3)邊界層分：層流邊界層——速度梯度較均勻地分布于全層。湍流邊界層——在緊貼壁面處，仍有一層極薄層保持層流狀態(tài)，稱為層流底層。速度梯度主要集中在層流底層。(4)在邊界層內(nèi)，粘滯力與慣性力數(shù)量級(jí)相同。第13頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer9.熱邊界層等溫流動(dòng)區(qū)溫度邊界層第14頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer由于速度在壁面法線方向的變化出現(xiàn)了流動(dòng)邊界層，同樣，當(dāng)流體與壁面之間存在溫度差時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生熱邊界層，如上圖所示。在處，流體溫度等于壁溫，第15頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer當(dāng)流體流過(guò)平板而平板的溫度tw與來(lái)流流體的溫度t∞不相等時(shí)，在壁面上方形成的溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。稱為熱邊界層的厚度。

熱邊界層以外可視為等溫流動(dòng)區(qū)（主流區(qū)）。第16頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer邊界層概念的引入可使換熱微分方程組得以簡(jiǎn)化:1.數(shù)量級(jí)分析：比較方程中各量或各項(xiàng)的量級(jí)的相對(duì)大?。槐Ａ袅考?jí)較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級(jí)小的項(xiàng)，方程大大簡(jiǎn)化。二.邊界層換熱微分方程組例：二維、穩(wěn)態(tài)、強(qiáng)制對(duì)流、層流、忽略重力第17頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer2.5個(gè)基本量的數(shù)量級(jí)：主流速度：溫度：壁面特征長(zhǎng)度：邊界層厚度：x與l相當(dāng)，即：第18頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer3.邊界層中二維穩(wěn)態(tài)能量方程式的各項(xiàng)數(shù)量級(jí)可分析如下：數(shù)量級(jí)第19頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer由于《因而可以把主流方向的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)略去于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的邊界層能量方程為：第20頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的邊界層換熱微分方程組：連續(xù)性方程動(dòng)量守恒方程能量守恒方程第21頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer4.上述方程的定解條件：對(duì)于平板，分析求解上述方程組（此時(shí)

)可得局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達(dá)式（層流范圍）：第22頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer特征數(shù)方程或準(zhǔn)則方程第23頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer式中：努塞爾(Nusselt)數(shù)雷諾(Reynolds)數(shù)普朗特?cái)?shù)注意：特征尺度為當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)x一定要注意上面準(zhǔn)則方程的適用條件：外掠等溫平板、無(wú)內(nèi)熱源、層流！第24頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer5.與t之間的關(guān)系對(duì)于外掠平板的層流流動(dòng):此時(shí)動(dòng)量方程與能量方程的形式完全一致:第25頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer表明：此情況下動(dòng)量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。特別地：對(duì)于=a的流體（Pr=1），速度場(chǎng)與無(wú)量綱溫度場(chǎng)將完全相似，這是Pr=1的另一層物理意義：表示流動(dòng)邊界層和溫度邊界層的厚度相同。第26頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer三、邊界層積分方程組的求解1.邊界層積分方程1921年，馮·卡門提出了邊界層動(dòng)量積分方程。1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。近似解，簡(jiǎn)單容易。第27頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer用邊界層積分方程求解對(duì)流換熱問(wèn)題的基本思想:(1)建立邊界層積分方程針對(duì)包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；(2)對(duì)邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項(xiàng)式；第28頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer(3)利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出和的計(jì)算式；(4)根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計(jì)算固體邊界上的：第29頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer2.邊界層積分方程的推導(dǎo)將邊界層能量微分方程式對(duì)如圖5-15所示的任意截面做到的積分：（a）第30頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer根據(jù)邊界層的概念，時(shí)，因而在該處，則有：（b）第31頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer其中：（c）為了導(dǎo)出僅包括速度的方程，把（c）式中的項(xiàng)及項(xiàng)通過(guò)連續(xù)性方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換（d）第32頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer將（d）式代入（c）式：（e）對(duì)式（b）中的擴(kuò)散項(xiàng)積分：（f）第33頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer將式（e）（f）代入式（b），得：等號(hào)左端的三項(xiàng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：第34頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer最后的邊界層能量積分方程為：用類似的方法可以導(dǎo)出邊界層動(dòng)量積分方程為：兩個(gè)方程，4個(gè)未知量：u,t,,t。要使方程組封閉，還必須補(bǔ)充兩個(gè)有關(guān)這4個(gè)未知量的方程。這就是關(guān)于u和t的分布方程。第35頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer3.邊界層積分方程組求解：邊界層中的速度分布為：上式微分：代入動(dòng)量積分方程：第36頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransferX處的局部壁面切應(yīng)力為：第37頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer在工程中常使用局部切應(yīng)力與流體動(dòng)壓頭之比這個(gè)無(wú)量綱量，并稱之為范寧摩擦系數(shù)，簡(jiǎn)稱摩擦系數(shù)。平均摩擦系數(shù)：第38頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer上面求解動(dòng)量積分方程獲得的是近似解，而求解動(dòng)量微分方程可以獲得的精確解，分別為：可見(jiàn)二者非常接近！第39頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer求解能量積分方程，可得無(wú)量綱過(guò)余溫度分布：熱邊界層厚度：強(qiáng)調(diào)：以上結(jié)果都是在Pr1的前提下得到的！第40頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer局部對(duì)流換熱系數(shù)：平均努塞爾數(shù)：第41頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer4.計(jì)算時(shí)，注意四點(diǎn)：aPr1；b，兩對(duì)變量的差別；cd定性溫度：第42頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer本節(jié)小結(jié)：一、邊界層概念：流動(dòng)邊界層與熱邊界層二.邊界層換熱微分方程組與層流邊界層對(duì)流換熱的解；三、邊界層積分方程組與層流邊界層對(duì)流換熱的積分近似解；第43頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer二維、穩(wěn)態(tài)、層流、無(wú)內(nèi)熱源的邊界層換熱微分方程組：連續(xù)性方程動(dòng)量守恒方程能量守恒方程第44頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer式中：努塞爾(Nusselt)數(shù)雷諾(Reynolds)數(shù)普朗特?cái)?shù)注意：特征尺度為當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)x一定要注意上面準(zhǔn)則方程的適用條件：穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、層流！第45頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer5.與t之間的關(guān)系對(duì)于外掠平板的層流流動(dòng):此時(shí)動(dòng)量方程與能量方程的形式完全一致:第46頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer表明：此情況下動(dòng)量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。特別地：對(duì)于=a的流體（Pr=1），速度場(chǎng)與無(wú)量綱溫度場(chǎng)將完全相似，這是Pr=1的另一層物理意義：表示流動(dòng)邊界層和溫度邊界層的厚度相同。第47頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer外掠平板，邊界層厚度及局部摩擦系數(shù)Cf，x：第48頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransfer邊界層能量積分方程為：用類似的方法可以導(dǎo)出邊界層動(dòng)量積分方程為：兩個(gè)方程，4個(gè)未知量：u,t,,t。要使方程組封閉，還必須補(bǔ)充兩個(gè)有關(guān)這4個(gè)未知量的方程。這就是關(guān)于u和t的分布方程。第49頁(yè)/共55頁(yè)HeatTransferX處的