拋物線方程課件選修

2．4拋物線

2．4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．能利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實際問題．課前自主學(xué)案溫故夯基1．函數(shù)y＝x2的圖象是______，如圖①所示，開口____；2．函數(shù)y＝－x2的圖象是______，如圖②所示，開口____．拋物線向上拋物線向下1．拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離____的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，________叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一條拋物線，由于它在平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程除y2＝2px(p>0)外，還有其他三種形式：y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．相等定直線l知新益能現(xiàn)將這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程圖形y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程圖形x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)1．在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)點F(F?l)”，點的軌跡還是拋物線嗎？提示：不一定是拋物線，當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于定直線l的一條直線，l不經(jīng)過點F時，點的軌跡是拋物線．問題探究2．已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向？提示：一次項變量為x(或y)，則焦點在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；系數(shù)為負(fù)，則焦點在負(fù)半軸上．焦點確定，開口方向也隨之確定．課堂互動講練考點突破考點一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的方程通常有定義法和待定系數(shù)法．由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(3，－4)；(2)焦點在x軸上，且拋物線上一點A(3，m)到焦點的距離為5.【思路點撥】

(1)由已知點所在象限，可設(shè)拋物線方程．(2)利用定義求參數(shù)p.例1【名師點評】求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論；另外，焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2＝ax(a≠0)；焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2＝ay(a≠0)．自我挑戰(zhàn)1已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．拋物線的定義可以實現(xiàn)到定點的距離與到定直線距離的轉(zhuǎn)化，利用這種等價性可以解決相關(guān)的問題．求證：以拋物線的焦點弦(通過焦點的弦)AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切．【思路點撥】解答本題可結(jié)合拋物線的定義，分析各線段與圓的半徑的關(guān)系．考點二拋物線定義的應(yīng)用例2∴以拋物線的焦點弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切．【名師點評】由于拋物線上的點到焦點的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，所以，在有關(guān)拋物線的問題中，常常會涉及兩種距離的轉(zhuǎn)換，特別是把到焦點的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線的距離．在涉及到距離之和最小或距離之差的絕對值最大的問題時，又常常結(jié)合三角形中的邊邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等性質(zhì)．自我挑戰(zhàn)2已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點坐標(biāo)．以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實例很多，如橋拱、隧道、噴泉、斜上拋物體運行的軌道等，應(yīng)用拋物線的主要方法是：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的方程；(2)利用方程求點的坐標(biāo)．(本題滿分14分)一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值．考點三拋物線的實際應(yīng)用例3【思路點撥】本題主要考查拋物線知識的實際應(yīng)用．解答本題首先建系，轉(zhuǎn)化成拋物線的問題，再利用解拋物線的問題解決．【名師點評】

(1)本題的解題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形、字母等)表達、分析、解決問題．(2)在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系．這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用．1．拋物線的定義拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”，一個動點，設(shè)為M；一個定點F即拋物線的焦點；一條定直線l即拋物線的準(zhǔn)線；一個定值即點M與點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.方法感悟2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的靈活“輔設(shè)”：對于已知焦點所在軸的拋物線，在不知開口方向時，可將拋物線方程設(shè)為y2＝ax(a≠0)，此時焦點在x軸上；(或x2＝ay(