云南省曲靖市王家莊鎮(zhèn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

云南省曲靖市王家莊鎮(zhèn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2，…，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段．如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣參考答案：D【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】觀察所給的四組數(shù)據(jù)，根據(jù)四組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，把所用的抽樣選出來(lái)，①，③可能是系統(tǒng)抽樣或分層抽樣，②是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，④一定不是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣．【解答】解：觀察所給的四組數(shù)據(jù)，①，③可能是系統(tǒng)抽樣或分層抽樣，②是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，④一定不是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，故選D．【點(diǎn)評(píng)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法．常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是相等的．2.假設(shè)吉利公司生產(chǎn)的“遠(yuǎn)景”、“金剛”、“自由艦”三種型號(hào)的轎車產(chǎn)量分別是1600輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從這三種型號(hào)的轎車中抽取48輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽?。ǎ〢．16，16，16 B．8，30，10 C．4，33，11 D．12，27，9參考答案：B【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】由題意先求出抽樣比例，再由此比例計(jì)算出在三種型號(hào)的轎車抽取的數(shù)目．【解答】解：因總轎車數(shù)為9600輛，而抽取48輛進(jìn)行檢驗(yàn)，抽樣比例為=，而三種型號(hào)的轎車有顯著區(qū)別，根據(jù)分層抽樣分為三層按比例，∵“遠(yuǎn)景”型號(hào)的轎車產(chǎn)量是1600輛，應(yīng)抽取輛，同樣，得分別從這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取8輛、30輛、10輛．故選B．3.在二面角α–l–β的兩個(gè)面α、β內(nèi)，分別有直線a，b，它們與棱l都不垂直，則（

）（A）當(dāng)該二面角是直二面角時(shí)，可能有a∥b，也可能a⊥b（B）當(dāng)該二面角是直二面角時(shí)，可能有a∥b，但不可能a⊥b（C）當(dāng)該二面角不是直二面角時(shí)，可能有a∥b，但不可能a⊥b（D）當(dāng)該二面角不是直二面角時(shí)，不可能有a∥b，但可能a⊥b參考答案：B4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為（）A．11 B．99 C．120 D．121參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】首先觀察數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，數(shù)列通項(xiàng)公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n項(xiàng)和表示出來(lái)，進(jìn)而解得n．【解答】解：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an==﹣，∵前n項(xiàng)和為10，∴a1+a2+…+an=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，解得n=120，故選C．5.設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn),若點(diǎn)和點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為(

)。

A．

B．

C．

D．3參考答案：C略6.已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A,B兩點(diǎn)，則COS∠AFB=

(

)

A

B

C

—

D—參考答案：D7.已知，，是實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．若，則

B．若，則C．若，則

D．若，則參考答案：D8.觀察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，則52013的末四位數(shù)字是（）A．3125 B．5625 C．8125 D．0625參考答案：A【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】由上述的幾個(gè)例子可以看出末四位數(shù)字的變化，3125，5625，8125，0625即末四位的數(shù)字是以4為周期的變化的，故2013除以4余1，即末四位數(shù)為3125．【解答】解：55=3125的末四位數(shù)字為3125，56=15625的末四位數(shù)字為5625，57=78125的末四位數(shù)字為8125，58=390625的末四位數(shù)字為0625，59=1953125的末四位數(shù)字為3125…，根據(jù)末四位數(shù)字的變化，3125，5625，8125，0625即末四位的數(shù)字是以4為周期的變化的，故2013除以4余1，即末四位數(shù)為3125．則52013的末四位數(shù)字為3125．故選A．9.若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．（0，+∞）

B．（0，2）

C．（1，+∞）

D．（0，1）參考答案：D10.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y=cosx（x∈R）是周期函數(shù)．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①參考答案：B【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法．【分析】根據(jù)三段論”的排列模式：“大前提”→“小前提”?“結(jié)論”，分析即可得到正確的次序．【解答】解：根據(jù)“三段論”：“大前提”→“小前提”?“結(jié)論”可知：①y=cosx（（x∈R）是三角函數(shù)是“小前提”；②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；③y=cosx（（x∈R）是周期函數(shù)是“結(jié)論”；故“三段論”模式排列順序?yàn)棰冖佗酃蔬xB【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是演繹推理的基本方法：大前提一定是一個(gè)一般性的結(jié)論，小前提表示從屬關(guān)系，結(jié)論是特殊性結(jié)論．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.卵形線是常見(jiàn)曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對(duì)卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，設(shè)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，|PF1|?|PF2|=a2（a是定長(zhǎng)），得出卡西尼卵形線的相關(guān)結(jié)論：①當(dāng)a=0，c=1時(shí)，次軌跡為兩個(gè)點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）；②若a=c，則曲線過(guò)原點(diǎn)；③若0＜a＜c，則曲線不存在；④既是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱圖形．其中正確命題的序號(hào)是．參考答案：①②③④【考點(diǎn)】類比推理．【分析】由題意設(shè)P（x，y），則=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)加以驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意設(shè)P（x，y），則=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，①當(dāng)a=0，c=1時(shí)，軌跡為兩個(gè)點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），正確；②a=c，（0，0）代入，方程成立則曲線過(guò)原點(diǎn)，即故②正確；③∵（|PF1|+|PF2|）min=2c，（當(dāng)且僅當(dāng)，|PF1|=|PF2|=c時(shí)取等號(hào)），∴（|PF1||PF2|）min=c2，∴若0＜a＜c，則曲線不存在，故③正確；④把方程中的x被﹣x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；把方程中的y被﹣y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；把方程中的x被﹣x代換，y被﹣y代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故④正確；故答案為：①②③④．12.函數(shù)有極值的充要條件是▲．參考答案：13.?x0∈R，x02+2x0﹣3=0的否定形式為．參考答案：?x∈R，x2+2x﹣3≠0【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到命題的否定：【解答】解：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得命題的否定：?x∈R，x2+2x﹣3≠0，故答案為：?x∈R，x2+2x﹣3≠0．14.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，則a4的值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：a4=1×23=8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.在等比數(shù)列中,若是方程的兩根則=______參考答案：2略16.設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的直線mx﹣y﹣m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；整體思想；綜合法；直線與圓．【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)可得AB的坐標(biāo)，由直線垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得．【解答】解：由題意可得動(dòng)直線x+my=0過(guò)定點(diǎn)A（0，0），直線mx﹣y﹣m+3=0可化為（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故兩直線垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=時(shí)取等號(hào)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及直線過(guò)定點(diǎn)和整體利用基本不等式求最值，屬中檔題．17.隨機(jī)向邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與A的距離不小于1且使為銳角的概率是__________________．參考答案：=三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)橢圓:過(guò)點(diǎn)，離心率為（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：解（1）將（0，4）代入的方程得

∴

又得即，

∴

∴的方程為（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，將直線方程代入的方程，得，即，解得：，，

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，

，即中點(diǎn)為。略19.某品牌的汽車4S店，對(duì)最近100位采用分期付款的購(gòu)車者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0．2，4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分l期付款，其利潤(rùn)為l萬(wàn)元；分2期或3期付款其利潤(rùn)為1．5萬(wàn)元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為2萬(wàn)元．用77表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤(rùn)，

（I）求上表中，b的值；

（II）若以頻率作為概率，求事件A:“購(gòu)買該品牌汽車的3位顧客中，至多有l(wèi)位采用3期付款”的概率；

（III）求的分布列及數(shù)學(xué)期望E．

參考答案：20.銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且∥．（1）求B的大??；（2）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．參考答案：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B為銳角，∴2B∈（0，π），∴2B=，則B=；

（2）當(dāng)B=，b=2時(shí)，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），則S△ABC的最大值為．21.設(shè)橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且=．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若過(guò)A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線x﹣y++=0相切，求橢圓C的方程；（Ⅲ）過(guò)F2的直線L與（Ⅱ）中橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存

在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1則a=2，b=，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅲ）由要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時(shí)也最大，設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及三角形的面積公式可知=|y1﹣y2|=，t=，則t≥1，=（t≥1），由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)t=1時(shí)，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直線方程．【解答】解：（Ⅰ）依題意A（0，b），F(xiàn)1為QF2的中點(diǎn)．設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由題Rt△QAF2外接圓圓心為斜邊QF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1（﹣c，0），半徑r=2c，∵由題Rt△QAF2外接圓與直線++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求橢圓C的方程為：（Ⅲ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）由題知y1，y2異號(hào)，設(shè)△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R，則△F1MN的周長(zhǎng)為4a=8，∴=（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，∴要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時(shí)也最大．=|F1F2|．|y1﹣y2