時(shí)間序列的平穩(wěn)性和單位根檢驗(yàn)

§8.1時(shí)間序列平穩(wěn)性和單位根檢驗(yàn)

StationaryTimeSerialandUnitRootTest一、時(shí)間序列的平穩(wěn)性二、單整序列三、單位根檢驗(yàn)經(jīng)典時(shí)間序列分析模型：包括MA、AR、ARMA模型平穩(wěn)時(shí)間序列模型分析時(shí)間序列自身的變化規(guī)律現(xiàn)代時(shí)間序列分析模型：分析時(shí)間序列之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系單位根檢驗(yàn)、協(xié)整檢驗(yàn)是核心內(nèi)容現(xiàn)代宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要內(nèi)容一、時(shí)間序列的平穩(wěn)性

StationaryTimeSeries⒈問題的提出經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”（SpuriousRegression）問題。表現(xiàn)為兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性。例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。2、平穩(wěn)性的定義假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：

均值E(Xt)=是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；

方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；

協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。寬平穩(wěn)、廣義平穩(wěn)白噪聲（whitenoise）過程是平穩(wěn)的：

Xt=t

，t~N(0,2)隨機(jī)游走（randomwalk）過程是非平穩(wěn)的：

Xt=Xt-1+t，t~N(0,2)Var(Xt)=t2隨機(jī)游走的一階差分（firstdifference）是平穩(wěn)的：Xt=Xt-Xt-1=t，t~N(0,2)如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。二、平穩(wěn)性的圖示判斷說明本節(jié)的概念是重要的，屬于經(jīng)典時(shí)間序列分析。在實(shí)際應(yīng)用研究中，一般直接采用單位根檢驗(yàn)，圖示判斷應(yīng)用較少。建議作為自學(xué)內(nèi)容。三、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)

（unitroottest）1、DF檢驗(yàn)（Dicky-FullerTest）通過上式判判斷Xt是否有單位位根,就是時(shí)間序序列平穩(wěn)性性的單位根檢驗(yàn)驗(yàn)。隨機(jī)游走，，非平穩(wěn)對(duì)該式回歸歸，如果確確實(shí)發(fā)現(xiàn)ρ=1，則稱隨機(jī)機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。等價(jià)于通過過該式判斷斷是否存在在δ=0。一般檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ土慵僭O(shè)H0：=0備擇假設(shè)H1：<0可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。。但是，在零零假設(shè)（序序列非平穩(wěn)穩(wěn)）下，即即使在大樣樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是是有偏誤的的（向下偏偏倚），通通常的t檢驗(yàn)無法使使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這這一情形下下t統(tǒng)計(jì)量服從從的分布（（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布。由于t統(tǒng)計(jì)量的向向下偏倚性性，它呈現(xiàn)現(xiàn)圍繞小于于零均值的的偏態(tài)分布布。如果t<臨界值，則則拒絕零假假設(shè)H0：=0，認(rèn)為時(shí)間間序列不存存在單位根根，是平穩(wěn)穩(wěn)的。單尾檢驗(yàn)2、ADF檢驗(yàn)（AugmentDickey-Fullertest）為什么將DF檢驗(yàn)擴(kuò)展為為ADF檢驗(yàn)？DF檢驗(yàn)假定時(shí)時(shí)間序列是是由具有白白噪聲隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)的的一階自回回歸過程AR(1)生成的。但但在實(shí)際檢檢驗(yàn)中，時(shí)時(shí)間序列可可能由更高高階的自回回歸過程生生成，或者者隨機(jī)誤差差項(xiàng)并非是是白噪聲，，用OLS法進(jìn)行估計(jì)計(jì)均會(huì)表現(xiàn)現(xiàn)出隨機(jī)誤誤差項(xiàng)出現(xiàn)現(xiàn)自相關(guān)，，導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。。如果時(shí)間序序列含有明明顯的隨時(shí)時(shí)間變化的的某種趨勢勢（如上升升或下降）），也容易易導(dǎo)致DF檢驗(yàn)中的自自相關(guān)隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)問問題。ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ土慵僭O(shè)H0：=0備擇假設(shè)H1：<0模型1模型2模型3檢驗(yàn)過程實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)時(shí)從模型3開始，然后后模型2、模型1。何時(shí)檢驗(yàn)拒拒絕零假設(shè)設(shè)，即原序序列不存在在單位根，，為平穩(wěn)序序列，何時(shí)時(shí)停止檢驗(yàn)驗(yàn)。否則，就要要繼續(xù)檢驗(yàn)驗(yàn)，直到檢檢驗(yàn)完模型型1為止。檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，，只是對(duì)模模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)時(shí)，有各自自相應(yīng)的臨臨界值表。。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏箜?xiàng)階數(shù)數(shù)的確定：：以隨機(jī)項(xiàng)不不存在序列列相關(guān)為準(zhǔn)準(zhǔn)則。一個(gè)簡單的的檢驗(yàn)過程程：同時(shí)估計(jì)出出上述三個(gè)個(gè)模型的適適當(dāng)形式，，然后通過過ADF臨界值表檢檢驗(yàn)零假設(shè)設(shè)H0：=0。只要其中有有一個(gè)模型型的檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果拒絕了了零假設(shè)，，就可以認(rèn)認(rèn)為時(shí)間序序列是平穩(wěn)穩(wěn)的；當(dāng)三個(gè)模型型的檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果都不能能拒絕零假假設(shè)時(shí)，則則認(rèn)為時(shí)間間序列是非非平穩(wěn)的。。3、例：檢驗(yàn)驗(yàn)1978-2000年間中國支支出法GDP時(shí)間序列的的平穩(wěn)性例檢驗(yàn)1978~2006年間中國實(shí)實(shí)際支出法法國內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)總值GDPC時(shí)間序列的的平穩(wěn)性。。下面演示的的是檢驗(yàn)1978~2000年間中國支支出法國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總值值GDPC時(shí)間序列的的平穩(wěn)性。。方法原理和和過程是一一樣的，例例可以作為同同學(xué)的練習(xí)習(xí)。首先檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ?，經(jīng)過償試試，模型3取2階滯后：需進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。LM（1）=0.92，LM（2）=4.16系數(shù)的t>臨界值，不不能拒絕存存在單位根根的零假設(shè)設(shè)。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于于ADF臨界值，因因此不能拒絕不不存在趨勢勢項(xiàng)的零假假設(shè)。小于5%顯著性水平平下自由度度分別為1與2的2分布的臨界界值，可見見不存在自自相關(guān)性，，因此該模模型的設(shè)定定是正確的的。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，經(jīng)試驗(yàn)，，模型2中滯后項(xiàng)取取2階：常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于于AFD分布表中的的臨界值，，不能拒絕不不存常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的零假設(shè)設(shè)。LM檢驗(yàn)表明模模型殘差不不存在自相相關(guān)性，因因此該模型型的設(shè)定是是正確的。。GDPt-1參數(shù)值的的t統(tǒng)計(jì)量為為正值，，大于臨臨界值，，不能拒絕絕存在單單位根的的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)一步步檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ?。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?，經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)，模型型1中滯后項(xiàng)項(xiàng)取2階：GDPt-1參數(shù)值的的t統(tǒng)計(jì)量為為正值，，大于臨臨界值，，不能拒絕絕存在單單位根的的零假設(shè)設(shè)。LM檢驗(yàn)表明明模型殘殘差項(xiàng)不不存在自自相關(guān)性性，因此此模型的的設(shè)定是是正確的的?？蓴喽ㄖ兄袊С龀龇℅DP時(shí)間序列列是非平平穩(wěn)的。。ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPPADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其t統(tǒng)計(jì)量的的值大于于臨界值值，不能能拒絕存存在單位位根的零零假設(shè)。。同時(shí)，，由于時(shí)時(shí)間項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也也小于ADF分布表中中的臨界界值，因因此不能能拒絕不不存在趨趨勢項(xiàng)的的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?。ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPPADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其t統(tǒng)計(jì)量的的值大于于臨界值值，不能能拒絕存存在單位位根的零零假設(shè)。。同時(shí)，，由于常常數(shù)項(xiàng)的的t統(tǒng)計(jì)量也也小于ADF分布表中中的臨界界值，因因此不能能拒絕不不存在趨趨勢項(xiàng)的的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?。ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPPADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其t統(tǒng)計(jì)量的的值大于于臨界值值，不ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)△GDPP從△GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其t統(tǒng)計(jì)量的的值大于于臨界值值，不能能拒絕存存在單位位根的零零假設(shè)。。同時(shí)，，由于時(shí)時(shí)間項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也也小于AFD分布表中中的臨界界值，因因此不能能拒絕不不存在趨趨勢項(xiàng)的的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?。在1%置信度下下。從△GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其統(tǒng)計(jì)量量的值大大于臨界界值，不不能拒絕絕存在單單位根的的零假設(shè)設(shè)。同時(shí)時(shí)，由于于常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量也也小于AFD分布表中中的臨界界值，因因此不能能拒絕不不存在趨趨勢項(xiàng)的的零假設(shè)設(shè)。需進(jìn)進(jìn)一步檢檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?。從△GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其統(tǒng)計(jì)量量的值大大于臨界界值，不不能拒絕絕存在單單位根的的零假設(shè)設(shè)。至此此，可斷斷定△GDPP時(shí)間序列列是非平平穩(wěn)的。。ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)—檢驗(yàn)△2GDPP從△2GDPP(-1)的參數(shù)值值看，其其統(tǒng)計(jì)量量的值小小于臨界界值，拒拒絕存在在單位根根的零假假設(shè)。至至此，可可斷定△△2GDPP時(shí)間序列列是平穩(wěn)穩(wěn)的。GDPP是I(2)過程。*4、平穩(wěn)性性檢驗(yàn)的的其它方方法PP檢驗(yàn)（Phillips-Perron）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托椭胁灰霚蠛箜?xiàng)，以以避免自自由度損損失降低低檢驗(yàn)效效力。直接采用用Newey-West一致估計(jì)計(jì)式作為為調(diào)整因因子，修修正一階階自回歸歸模型得得出的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量。。一種非參參數(shù)檢驗(yàn)驗(yàn)方法霍爾工具具變量方方法用工具變變量法估估計(jì)ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托?。用Xt-k和ΔXt-i-k作為yt-1和ΔXt-i的工具變量量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量仍然服從從ADF分布。DF-GLS方法（Elliott,Rothenberg,Stock,ERS）去勢（趨勢勢、均值））。對(duì)去勢后的的序列進(jìn)行行ADF型檢驗(yàn)。采用GLS估計(jì)檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ?。證明具有更更良好的性性質(zhì)。KPSS方法（Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin）檢驗(yàn)趨勢平平穩(wěn)非參數(shù)檢驗(yàn)驗(yàn)方法其它方法LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews中提供的檢檢驗(yàn)方法Eviews中提供的滯滯后階數(shù)選選擇四、單整、、趨勢平穩(wěn)穩(wěn)與差分平平穩(wěn)1、單整（integratedSerial）如果一個(gè)時(shí)時(shí)間序列經(jīng)經(jīng)過一次差差分變成平平穩(wěn)的，就就稱原序列列是一階單整（（integratedof1）序列，記為I(1)。一般地，如如果一個(gè)時(shí)時(shí)間序列經(jīng)經(jīng)過d次差分后變變成平穩(wěn)序序列，則稱稱原序列是是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。例如上述人人均GDP序列，即為為I(2)序列。I(0)代表一平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)間序列列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生生活中只有有少數(shù)經(jīng)濟(jì)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)時(shí)間序列表表現(xiàn)為平穩(wěn)穩(wěn)的，如利利率等;大多數(shù)指標(biāo)標(biāo)的時(shí)間序序列是非平平穩(wěn)的，例例如，以當(dāng)當(dāng)年價(jià)表示示的消費(fèi)額額、收入等等常是2階單整的，，以不變價(jià)價(jià)格表示的的消費(fèi)額、、收入等常常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平平穩(wěn)的時(shí)間間序列一般般可通過一一次或多次次差分的形形式變?yōu)槠狡椒€(wěn)的。但也有一些些時(shí)間序列列，無論經(jīng)經(jīng)過多少次次差分，都都不能變?yōu)闉槠椒€(wěn)的。。這種序列列被稱為非單整的（（non-integrated）。2、趨勢平穩(wěn)穩(wěn)與差分平平穩(wěn)隨機(jī)過過程含有一階自自回歸的隨隨機(jī)過程：：如果ρ=1，β=0，Xt成為一帶位位移的隨機(jī)機(jī)游走過程程。根據(jù)α的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯顯的上升或或下降趨勢勢。這種趨趨勢稱為隨機(jī)性趨勢勢（stochastictrend）。如果ρ=0，β≠0，Xt成為一帶時(shí)時(shí)間趨勢的的隨機(jī)變化化過程。根根據(jù)β的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯顯的上升或或下降趨勢勢。這種趨趨勢稱為確定性趨勢勢（deterministictrend）。如果ρ=1，β≠0，則Xt包含有確定定性與隨機(jī)機(jī)性兩種趨趨勢。判斷一個(gè)非非平穩(wěn)時(shí)間間序列的趨趨勢是隨機(jī)機(jī)性的還是是確定性的的，可通過過ADF檢驗(yàn)中所用用的第3個(gè)模型進(jìn)行行。該模型中已已引入了表表示確定性性趨勢的時(shí)時(shí)間變量，，即分離出出了確定性性趨勢的影影響。如果檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果表明所所給時(shí)間序序列有單位位根，且時(shí)時(shí)間變量前前的參數(shù)顯顯著為零，，則該序列列顯示出隨隨機(jī)性趨勢勢；如果沒有單單位根，且且時(shí)間變量量前的參數(shù)數(shù)顯著地異異于零，則則該序列顯顯示出確定定性趨勢。。差分平穩(wěn)過過程和趨勢勢平穩(wěn)過程程具有隨機(jī)性性趨勢的時(shí)時(shí)間序列通通過差分的的方法消除除隨機(jī)性趨趨勢。該時(shí)時(shí)間序列稱稱為差分平穩(wěn)過過程（differencestationaryprocess）；具有確定性性趨勢的時(shí)時(shí)間序列通通過除去趨趨勢項(xiàng)消除除確定性趨趨勢。該時(shí)時(shí)間序列稱稱為趨勢平穩(wěn)過過程（trendstationaryprocess）。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、以我我獨(dú)沈沈久，，愧君君相見見頻。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、乍乍見見翻翻疑疑夢夢，，相相悲悲各各問問年年。。。。1月月-231月月-2321:03:3521:03:35January1,202314、他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生白白發(fā)，，舊國國見青青山。。。01一一月月20239:03:35下下午21:03:351月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月239:03下下午1月-2321:03January1,202316、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時(shí)時(shí)，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點(diǎn)點(diǎn)的的射射線線向向前前。。。。9:03:35下下午午9:03下下午午21:03:351月月-239、沒有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。21:03:3521:03:3521:031/1/20239:03:35PM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。1月-2321:03:3521:03Jan-2301-Jan-2312、世間成事事，不求其其絕對(duì)圓滿滿，留一份份不足，可可得無限完完美。。21:03:3521:03:3521:03Sunday,January1,202313、不知香積寺寺，數(shù)里入云云峰。。1月-231月-2321:03:3521:03:35January1,202314、意意志志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥塊塊一一樣樣任任意意揉揉捏捏。。01一一月月20239:03:35下下午午21:03:351月月-2315、楚塞三三湘接，，荊門九九派通。。。。一月239:03下午午1月-2321:03January1,202316、少年十五二二十時(shí)，步行行奪得胡馬騎騎。。2023/1/121:03:3521:03:3501January202317、空山新雨雨后，天氣氣晚來秋。。。9:03:35下下午9:03下下午21:03:351月-239、楊楊柳柳散散和和風(fēng)風(fēng)，，青青山