工程電磁場(chǎng)的數(shù)理基礎(chǔ)二

1.5場(chǎng)向量的微分方程-波動(dòng)方程MAXWELL微分方程組，在數(shù)學(xué)上多重耦合、多變量、求解困難.一般先導(dǎo)出由單個(gè)場(chǎng)向量所給定的解耦的微分方程。由MAXWELL方程組導(dǎo)出由場(chǎng)向量H、B、E、D或J所滿(mǎn)足的偏微分方程。H的導(dǎo)出方程：

對(duì)于線(xiàn)性、均勻且各向同性媒質(zhì)，設(shè)場(chǎng)域中無(wú)自由電荷，則由式（1-1）取旋度，并以：J=gE

代入，便得由于

代入（1-27），即得同理可證

式（1-28）、（1-29）就是由一個(gè)場(chǎng)分量（H、B、E、D）所描述的一般齊次波動(dòng)方程。

在特定情況下，基于以上各場(chǎng)分量的導(dǎo)出方程可進(jìn)一步分別歸結(jié)為：(1)理想介質(zhì)（g=0）中的電磁波方程（波動(dòng)方程）

(2)良導(dǎo)電媒質(zhì)（g>>we）中的渦流方程（擴(kuò)散或熱傳導(dǎo)方程）

(3)正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)變場(chǎng)中的渦流方程（相量形式的擴(kuò)散或熱傳導(dǎo)方程）

(4)沒(méi)有自由電荷分布區(qū)域中的靜電場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）

(5)沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布區(qū)域中的恒定磁場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）

1.6位函數(shù)的微分方程

---位函數(shù)和波方程一個(gè)場(chǎng)向量的微分方程對(duì)應(yīng)于三個(gè)標(biāo)量微分方程。即在任一場(chǎng)點(diǎn)上，待求的自由度數(shù)是三個(gè)，因此離散化后的自由度數(shù)是相當(dāng)可觀的。為減少待求自由度數(shù)，提高計(jì)算效率，同時(shí)，也為了簡(jiǎn)化概念，構(gòu)造簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)模型，引入和應(yīng)用各種電磁場(chǎng)位函數(shù)。(有源）位函數(shù)引入多種輔助函數(shù)，即位函數(shù)（如電位），然后由源（如電荷）求位函數(shù)，再由位函數(shù)計(jì)算電場(chǎng)或磁場(chǎng)。位函數(shù)有：矢量位A，標(biāo)量位f，赫茲（Herz）矢量位P位函數(shù)定義如下(周希朗）可以證明，位函數(shù)滿(mǎn)足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數(shù)，因此也稱(chēng)它們?yōu)椴ǎ▌?dòng)）方程。在無(wú)無(wú)源源無(wú)無(wú)耗耗區(qū)區(qū)，，赫赫茲茲位位滿(mǎn)滿(mǎn)足足以以下下方方程程由赫赫茲茲位位計(jì)計(jì)算算電電場(chǎng)場(chǎng)和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)的的公公式式為為在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，，矢矢量量位位的的三三個(gè)個(gè)分分量量均均滿(mǎn)滿(mǎn)足足波波動(dòng)動(dòng)方方程程；；在柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，，矢矢量量位位的的z分分量量滿(mǎn)滿(mǎn)足足波波動(dòng)動(dòng)方方程程；；在球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，，矢矢量量位位的的所所有有分分量量均均無(wú)無(wú)法法滿(mǎn)滿(mǎn)足足波波方方程程。。故在在球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，，引引入入德德拜拜（（Deby））位位，，動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)場(chǎng)場(chǎng)中中的的動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)位位方方程程由任任意意向向量量旋旋度度的的散散度度與與任任意意標(biāo)標(biāo)量量梯梯度度的的旋旋度度均均恒恒等等于于零零，，對(duì)對(duì)動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)，，可可驗(yàn)驗(yàn)證證有有以上上兩兩式式分分別別定定義義了了：：動(dòng)態(tài)態(tài)向向量量位位函函數(shù)數(shù)A(r,t)動(dòng)態(tài)態(tài)標(biāo)標(biāo)量量位位函函數(shù)數(shù)j(r,t)它們們自自動(dòng)動(dòng)滿(mǎn)滿(mǎn)足足MAXWELL方方程程組組中中（（1-3））和和（（1-2））。。但須須知知，，引引入入位位函函數(shù)數(shù)表表示示場(chǎng)場(chǎng)量量B和和E，，含含有有任任意意性性的的成成分分。。因?yàn)闉槿缛绻盍顒t可可給給出出同同樣樣的的B和和E。。位函函數(shù)數(shù)按按照照式式（（1-37））和和（（1-38））的的變變換換，，稱(chēng)稱(chēng)為為規(guī)范范變變換換，而而保保持持B和和E不不變變性性，，則則稱(chēng)稱(chēng)為為規(guī)范范不不變變性性。由于于存存在在這這一一規(guī)規(guī)范范不不變變性性，，所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于一一組組B和和E的的值值，，可可以以有有無(wú)無(wú)窮窮多多組組A和和j的取取值值，，即即位位函函數(shù)數(shù)不不是是唯唯一一的的。。任意意性性可可以以導(dǎo)導(dǎo)致致隨隨意意規(guī)規(guī)定定，，要要采采用用規(guī)規(guī)范范對(duì)對(duì)A的的散散度度施加加約約束束條條件件。規(guī)范范的的選選擇擇原原則則：１））唯一一地確確定定相相應(yīng)應(yīng)的的位位函函數(shù)數(shù)值值，，２））可可簡(jiǎn)化化相應(yīng)應(yīng)的的位位函函數(shù)數(shù)方方程程。。通常常，，對(duì)對(duì)自自由由空空間間中中的的動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)，，引引入入如如下下的的洛侖侖茲茲規(guī)規(guī)范范：由此此可可導(dǎo)導(dǎo)出出簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單而而且且對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的的位位函函數(shù)數(shù)方方程程組組上兩式式是分分別關(guān)關(guān)于動(dòng)動(dòng)態(tài)向向量位位A和和動(dòng)態(tài)態(tài)標(biāo)量量位j的非齊次次波動(dòng)動(dòng)方程程，常稱(chēng)稱(chēng)為達(dá)朗貝貝爾方方程。這兩個(gè)個(gè)方程程和式式（1-39））（洛侖茲茲規(guī)范范）一起起構(gòu)成成了與與MAXWELL方方程組組等價(jià)的一個(gè)個(gè)方程程組。。對(duì)于時(shí)諧電電磁場(chǎng)場(chǎng)，場(chǎng)空空間中中各場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)的的動(dòng)態(tài)態(tài)位A(r,t)和和j(r,t)也也可分分別再再用復(fù)復(fù)相量量表示示為和和，，而相相應(yīng)的的達(dá)朗朗貝爾爾方程程的相相量形形式就就成為為式中：：，，稱(chēng)為為相位位速度度；w為正弦弦激勵(lì)勵(lì)的角角頻率率。1.6.2磁準(zhǔn)靜態(tài)態(tài)場(chǎng)中中的動(dòng)態(tài)位位方程程對(duì)于磁磁準(zhǔn)靜靜態(tài)場(chǎng)場(chǎng)，在在忽略位位移電電流的前提提下，，式（（1-39）即即成為為上式A的散散度是是施加加的約約束條條件，，被稱(chēng)稱(chēng)為庫(kù)侖規(guī)規(guī)范。相應(yīng)地地，式式（1-40））也就就簡(jiǎn)化化為但注意意，由由于此此時(shí)在在導(dǎo)電電媒質(zhì)質(zhì)內(nèi)伴伴隨有有渦流流與集集膚效效應(yīng)，，因而而無(wú)從從預(yù)先先給定定截流流導(dǎo)體體內(nèi)電電流密密度J的分分布。。換句句話(huà)說(shuō)說(shuō)，不可能依據(jù)據(jù)式（1-45）直直接求解動(dòng)動(dòng)態(tài)位A。。分析表明，，在導(dǎo)電媒媒質(zhì)中流通通的電流都都遵從式（（1-7）），而其中中的電流密密度既應(yīng)表表征由外源施加的的電流密度度Js，又應(yīng)表征媒質(zhì)質(zhì)內(nèi)感生的的渦流密度度Je，即代入式（1-36）），可得注意到在靜靜態(tài)極限情情況下上式式將歸結(jié)為為，因此，可以以對(duì)式（1-47））中每一項(xiàng)項(xiàng)的物理意意義作出判判斷，即動(dòng)態(tài)標(biāo)量位位j可看作為自自由電荷系系統(tǒng)（體、、面、線(xiàn)電電荷系統(tǒng)））所產(chǎn)生的的標(biāo)量位場(chǎng)場(chǎng)，而動(dòng)態(tài)向量位位A則與時(shí)變的的電流分布布相聯(lián)系，，從而可選選擇渦流密密度：在以上分析析基礎(chǔ)上，，依據(jù)基本本方程（1-14）），結(jié)合關(guān)關(guān)系式（1-46））、（1-47），，可得描述述磁準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)場(chǎng)的動(dòng)態(tài)位方方程為上式兼容了了場(chǎng)域中可可能存在非線(xiàn)性媒質(zhì)質(zhì)的一般情情況。若場(chǎng)域中媒媒質(zhì)為各向同性的的線(xiàn)性媒質(zhì)質(zhì)，則引入庫(kù)庫(kù)侖規(guī)范，，式（1-48）可可簡(jiǎn)化為對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)條條件下的磁準(zhǔn)靜靜態(tài)場(chǎng)，動(dòng)動(dòng)態(tài)位方程程（1-49）的相相量形式即即為解耦情況下下的動(dòng)態(tài)標(biāo)量位j在設(shè)定場(chǎng)空空間電荷密密度r=0的前提提下，應(yīng)滿(mǎn)滿(mǎn)足拉普拉拉斯方程，，即1.6.3靜態(tài)場(chǎng)場(chǎng)中的位函數(shù)方程程在靜態(tài)電場(chǎng)場(chǎng)情況下，根據(jù)其基基本方程組組（1-19）、（（1-20），同理理可以定義義式中，標(biāo)量位函數(shù)數(shù)j(r)稱(chēng)為為電位函數(shù)數(shù)?？蓪?dǎo)得等價(jià)價(jià)的位函數(shù)數(shù)方程即泊泊松方程在無(wú)電荷分分布的場(chǎng)域域中，位函函數(shù)j應(yīng)滿(mǎn)足拉普普拉斯方程程在靜態(tài)磁場(chǎng)場(chǎng)情況下，根據(jù)其基基本方程組組（1-21）、（（1-22），同樣樣可定義向量磁位函函數(shù)A(r)，滿(mǎn)足從而等價(jià)的的向量磁位位函數(shù)的雙旋度方程程為若場(chǎng)域中媒媒質(zhì)為各向同性的的線(xiàn)性媒質(zhì)質(zhì)，則計(jì)入庫(kù)侖規(guī)范，式（1-56）可可簡(jiǎn)化為向向量形式的的泊松方程程在無(wú)電流區(qū)域域中，靜態(tài)磁磁場(chǎng)的基本本方程（1-21））變成這樣，就可可以引入標(biāo)量磁位函函數(shù)jm(r)，而令顯然，標(biāo)量量磁位恒滿(mǎn)滿(mǎn)足拉普拉拉斯方程補(bǔ)充：（一）波方程的基基本解在均勻、各各向同性區(qū)區(qū)域，基本本解有平面面波、柱面面波、球面面波?；拘g(shù)語(yǔ)：：等相面：在在同一時(shí)刻刻，空間波波動(dòng)中相位位相同的點(diǎn)點(diǎn)連成的表表面；等幅面：在在同一時(shí)刻刻，空間波波動(dòng)中振幅幅相同的點(diǎn)點(diǎn)連成的表表面；平面波：等等相面為平平面的波；；均勻平面波波：等相面面和等幅面面重合的平平面波；非均勻平面面波：等相相面與等幅幅面不重合合的平面波波；球面波：等等相面為球球面的波；；柱面波：等等相面為柱柱面的波。。平面波在均勻、各各向同性區(qū)區(qū)域，直角角坐標(biāo)系中中的波方程程的基本解解為均勻平平面波。平面波的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單表達(dá)式式為式中如略去時(shí)間間因子，即即用復(fù)矢量量表示，則則平面波電電場(chǎng)為由Maxwell方方程，可得得平面波磁磁場(chǎng)的表達(dá)達(dá)式相對(duì)于傳播播方向，均均勻平面波波的電場(chǎng)、、磁場(chǎng)只有有橫向分量量，因此稱(chēng)稱(chēng)為橫電磁磁波或TEM波。散射問(wèn)題常常用到角譜譜理想均勻平平面波只在在單一方向向傳播，在在角度域只只有一條譜譜。復(fù)雜電磁波波可分解為為許多理想想平面波的的集合，表表示成平面面波角譜PWS（planewavespectrum）。。從數(shù)學(xué)上看看，每個(gè)平平面波都是是一個(gè)d函數(shù)。正如復(fù)雜時(shí)時(shí)間信號(hào)經(jīng)經(jīng)過(guò)Fourier變換可表表示為頻譜譜一樣，空空間場(chǎng)的平平面波譜概概念非常重重要。柱面波在無(wú)源區(qū)域域，赫茲位位的波方程程為可以證明有有產(chǎn)生簡(jiǎn)單理理想柱面波波的源為無(wú)無(wú)限長(zhǎng)電流流線(xiàn)或磁流流線(xiàn)與平面波不不同，式中中電磁波傳傳播矢量的的方向k和和徑向矢量量r的方向向處處相同同。因此球球面波因子子可表示為為球面波在球坐標(biāo)下下，引用赫赫茲位或德德拜位，通通過(guò)球坐標(biāo)標(biāo)的波動(dòng)方方程和分離離變量法可可得到球面面波的解。。一個(gè)點(diǎn)源天天線(xiàn)在遠(yuǎn)區(qū)區(qū)產(chǎn)生球面面波。設(shè)理想點(diǎn)源源處于球坐坐標(biāo)的原點(diǎn)點(diǎn)，球面波波的基本解解可表示為為可見(jiàn)，電磁磁波的等幅幅面和等相相面重合，，它們分布布在r等于于常數(shù)的球球面上。根據(jù)能量守守恒定理，，隨觀察面面與理想點(diǎn)點(diǎn)源間距離離的增加，，場(chǎng)強(qiáng)的振振幅按1/r規(guī)律衰衰減。一般來(lái)說(shuō)，，只要等相相面為球面面，電磁波波就是球面面波。實(shí)際天線(xiàn)不不是理想天天線(xiàn)，它們們都不能產(chǎn)產(chǎn)生理想均均勻球面波波。故A=A(q,f)是方位角角的函數(shù)，，即天線(xiàn)有有方向性。。（二）自由由空間中Maxwell方程程的解--波方程程解的導(dǎo)出出在洛侖茲規(guī)規(guī)范下，矢量位的矢矢量姆霍茲茲方程為標(biāo)量位標(biāo)量量姆霍茲方方程為在某些正交交坐標(biāo)系下下，矢量姆姆霍茲方程程可簡(jiǎn)化為為標(biāo)量姆霍霍茲方程（三個(gè)）而標(biāo)量姆霍霍茲方程的的格林函數(shù)數(shù)為這里r’代代表源點(diǎn)位位置，r代代表場(chǎng)點(diǎn)位位置。因此有而標(biāo)量位可可由洛侖茲茲規(guī)范得到到也可由標(biāo)量量位姆霍茲茲方程得到到于是電場(chǎng)E也有兩種種表達(dá)式：：注意這兩種種表達(dá)式的的不同。前者的兩個(gè)個(gè)D算子都都是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)點(diǎn)r，即都都是作用在在格林函數(shù)數(shù)G上，導(dǎo)導(dǎo)致積分核核奇異點(diǎn)階階次很高。。然由于等等效源無(wú)需需被作用，，在某些條條件下如計(jì)計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)，，能化簡(jiǎn)得得到簡(jiǎn)明的的表達(dá)式。。因而此表表達(dá)式一般般用于計(jì)算算遠(yuǎn)場(chǎng)。后者的兩個(gè)個(gè)D算子，，一個(gè)對(duì)場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)r，作作用在格林林函數(shù)G上上；一個(gè)對(duì)對(duì)源點(diǎn)r’’，作用在在等效源上上，因而積積分核奇異異點(diǎn)階次低低于前者，，一般用于于計(jì)算近場(chǎng)場(chǎng)。因此也可得得為簡(jiǎn)潔，引引入兩個(gè)積積分微分算算子L、K，分別定定義為這樣電磁場(chǎng)場(chǎng)E和H可可寫(xiě)成E=ZL(J);H=K(J)這里用相同的方方法或電磁磁對(duì)偶原理理可求出等等效磁流產(chǎn)產(chǎn)生的電磁磁場(chǎng)為H=L(J)/Z;E=-K(J)于是根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)性疊加原原理，電流流和磁流共共同產(chǎn)生的的電磁場(chǎng)為為E=ZL(J)-K(J);H=L(J)/Z+K(J)（三）金屬屬體散射問(wèn)問(wèn)題積分方方程的建立立假設(shè)有一個(gè)個(gè)電磁波Ei、Hi照射到一個(gè)個(gè)邊界為S的金屬體體上，此金金屬體自然然會(huì)產(chǎn)生散散射場(chǎng)。下面介紹如如何建立一一個(gè)積分方方程來(lái)求解解出散射場(chǎng)場(chǎng)。在S上應(yīng)用用等效原理理的第一形形式可：散散射場(chǎng)可等等效為由S上的等效效源