剛體的平面運動

剛體的平面運動第一頁，共三十頁，2022年，8月28日第十五章剛體的平面運動第一節(jié)

平面運動及其分解第二節(jié)平面圖形內(nèi)各點的速度第三節(jié)平面圖形內(nèi)各點的加速度下一頁上一頁第二頁，共三十頁，2022年，8月28日

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變，即剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動。剛體的這種運動稱為剛體的平面運動。

如：曲柄連桿機構(gòu)中的連桿下一頁上一頁下一頁上一頁第一節(jié)

平面運動及其分解第三頁，共三十頁，2022年，8月28日行星齒輪滾動車輪下一頁上一頁第四頁，共三十頁，2022年，8月28日二、平面運動的簡化①為固定平面。I②平面圖形S始終在平面內(nèi)運動。P③作平動。1A2A④A代表直線上各點的運動。1A2A

因此，平面圖形上各點的運動可代表剛體上所有各點的運動。

即：剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身

平面內(nèi)的運動。下一頁上一頁第五頁，共三十頁，2022年，8月28日三、平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。對于每一瞬時t，都可以求出對應(yīng)的、、，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。AxAyj下一頁上一頁平面運動方程???íì===)()()(321tftfytfxAAj第六頁，共三十頁，2022年，8月28日例如：車輪的運動。車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的傳動的合成。車輪對于靜系的平面運動（絕對運動）車廂（動系）相對靜系的運動（牽連運動）''yAx車輪相對車廂（動系）的轉(zhuǎn)動（相對運動）''yAx下一頁上一頁第七頁，共三十頁，2022年，8月28日

動系上的原點A稱為基點。剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。車輪的平面運動'C隨基點A的平動繞基點A’的運動'C+下一頁上一頁第八頁，共三十頁，2022年，8月28日平面圖形S在時間內(nèi)從位置運動到位置IPtD①以A為基點：隨基點A平動到后，繞基點轉(zhuǎn)角到'''BA1jD''BA②以B為基點：隨基點B平動到后，繞基點轉(zhuǎn)角到2jD'''BA''BA圖中看出：21'''''',////jjD=DBABAAB于是有2121212010,;,limlimeewwwwjj===DD=DD畗D畗Ddtddtdtttt下一頁上一頁第九頁，共三十頁，2022年，8月28日結(jié)論：

①平動的速度和加速度與基點的選擇有關(guān)，而轉(zhuǎn)動的角速度與角加速度與基點的選擇無關(guān)。（在同一瞬間，圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的，相同。因此，圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度稱為平面運動剛體的角速度和角加速度。）we下一頁上一頁第十頁，共三十頁，2022年，8月28日

②基點的選擇是任意的。（一般取運動情況已知的點作為基點）下一頁上一頁第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日已知圖形角速度，A點速度，求B點速度。wAvBv取A為基點，將動系固結(jié)于A點，動系作平動。取B為動點，是為牽連運動為平動和相對運動為轉(zhuǎn)動的合成。牽連速度，相對速度，方向垂直于AB，指向與一致。wAevv=ABvvBAr.==w根據(jù)速度合成定理：則B點速度為reavvv+=BAABvvv+=下一頁上一頁第二節(jié)平面圖形內(nèi)各點的速度第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日BAABvvv+=表明：

平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。這種分析圖形上任一點速度的方法稱為基點法。下一頁上一頁第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例1已知車輪沿直線作純滾動，車輪半徑為R，輪心O的速度為，求A、B、C的速度。0v解：取O為基點即0=-AOOvvRvRvvoAOO===ww,BOOBvvv+=OOBOOBvRvvvv2)(2222=+=+=wOOCOOCCOCCvRvvvvvvv2,=+=+=+=w下一頁上一頁AOOAvvv+=00=+\=AOAAvvvQ第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日二、速度投影法由于A，B點是任意的，因此表示了圖形上BAABvvv+=任意兩點速度間的關(guān)系。由于恒有ABvBA^，因此將上式在AB上投影，有[][]ABAABBvv=速度投影定理即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等。這種求解速度的方法成為速度投影法。下一頁上一頁第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例2已知AB=30cm，CD=60cmrad/s6=w求CDwcm/s9.103cm/s3631=.==BcvvCDvCDc.=w由rad/s732.1rad/s3===CDvCCDw得解：cm/s180630=×=.=ABvBw連桿BC作平面運動，根據(jù)速度投影定理o60o30o30o60BvCvCDwwACDB下一頁上一頁°=°30cos60coscBvv第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日三、瞬心法1.速度瞬心的概念w/AvAP=則：PAAPvvv+=APAvAPv=.=w方向PA^，恰與Av反向。所以0=Pv即在某一瞬時必唯一存在速度等于零的一點，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。下一頁上一頁設(shè)某瞬時A的速度Av，圖形角速度w，沿Av方向取半直線AL，然后順w的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)至AL的位置，在AL′上取長度°90第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日2.確定速度瞬心的方法v,,AAvAPAP^=w且P在Av和圖形角速度，①已知圖形上一點的速度Avw可以確定速度瞬心的位置。（P點）②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動（純滾動），則圖形與固定面的接觸點P

為速度瞬心。下一頁上一頁順w轉(zhuǎn)向繞A點轉(zhuǎn)的方向一側(cè)?！?0第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日③已知某瞬時平面上A、B兩點速度、AvBv的方向，且與不平行，AvBv過A、B兩點分別作速度、AvBv的垂線、交點P即為該瞬時的速度瞬心。若與同向，AvBvABvvBA-=w若與反向，AvBvABvvBA+=w④已知某瞬時圖形上A、BAvBv兩點的速度、大小，ABvABvBA^^,且，下一頁上一頁第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日⑤已知某瞬時圖形上A、B兩點的速度大小相等，方向相同。此時，圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處，圖形上各點速度0=w相等，這種情況稱為瞬時平動（此時各點的加速度不一定相等）下一頁上一頁第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日例如：曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動。此時連桿BC的圖形角速度，0=BCwBC桿上各點的速度都相等，但各點的加速度并不相等。下一頁上一頁設(shè)AB桿的角速度為，則w()ˉ×==2wABaanBB而的方向為水平直線，ca瞬時平動與平動不同。cBaa1第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日4.速度瞬心法應(yīng)注意的問題①平面圖形在任一瞬時的運動可視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度w.=APvA方向，指向與一致。wAP^②速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。③剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。④速度瞬心處的速度為零，加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動。下一頁上一頁第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例3已知滑塊A以水平向右運動，桿AB的長度為，Avl求AB與水平夾角為時滑塊B的速度及AB桿的jBv角速度為。ABw解：①瞬心法P為AB桿的速度瞬心jwsinlvPAvAAAB==jjjwcossinsinAAABBvlvlPBv=.=.=下一頁上一頁第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日BAABvvvrrr+=jcotABvv=vvjjsincosABBAv==jwsinlvlvABAAB==②基點法取滑塊A為基點下一頁上一頁③速度投影法jcot.=ABvv，不能求BAw()jj-°×=90coscosBAvv第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點；取B為動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動。nBABABAAeBaaaaaaaaa+====tt;;求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。已知：點A的加速度，圖形某一瞬時的角速度和Aa角加速度為、。we下一頁上一頁第三節(jié)平面圖形內(nèi)各點的加速度第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日于是，由牽連平動時加速度合成定理reaaaa+=可得如下公式：nBABAABaaaa++=t即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點法。其中：et.=ABaBA方向，指向與一致；2w.=ABanBA方向沿AB，指向A點。eAB^下一頁上一頁第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日半徑為R的車輪沿直線作純滾動，已知輪心O點的速度及加速度，求半徑與軌道接觸點P的加速度。1例OvOa解：先求出，。ew輪O作平面運動，P為速度瞬心，RvO=\w（）以O(shè)為基點，有''POPOOPaaaa++=t其中：RvRvRRaaRaOOnPOOPO222)(,=.===.=wet由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故RadtdvRdtdOO=.==1we（）下一頁上一頁第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日做出加速度矢量圖，由圖中看出：nPOPaa=（與等值相反）OatPOa即：()RvaOP2=由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心。下一頁上一頁第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日例4圖示四桿機構(gòu)，曲柄OA以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，，求，，，