吉林省長春市市第六中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

吉林省長春市市第六中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線x2=y+1上一定點(diǎn)A（﹣1，0）和兩動點(diǎn)P，Q，當(dāng)PA⊥PQ時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣3] B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)PA⊥PQ建立方程，把P，Q代入拋物線方程，再根據(jù)方程有解，使判別式大于0，即可求得x的范圍．【解答】解：設(shè)P（a，b）、Q（x，y），則=（a+1，b），=（x﹣a，y﹣b）由PA⊥PQ得（a+1）（x﹣a）+b（y﹣b）=0又P、Q在拋物線上即a2=b+1，x2=y+1，故（a+1）（x﹣a）+（a2﹣1）（x2﹣a2）=0整理得（a+1）（x﹣a）[1+（a﹣1）（x+a）]=0而P和Q和A三點(diǎn)不重合即a≠﹣1、x≠a所以式子可化為1+（a﹣1）（x+a）=0整理得a2+（x﹣1）a+1﹣x=0由題意可知，此關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式△≥0得（x﹣1）2﹣4（1﹣x）≥0，解得x≤﹣3或x≥1故選D．2.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長均為2，其正（主）視圖如圖所示，則此三棱柱側(cè)（左）視圖的面積為（）A． B．4 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖．【分析】由正視圖得到三視圖的高，也即其側(cè)視圖的高；底面正三角形的高即為側(cè)視圖的寬，據(jù)以上分析可求出此三棱柱的側(cè)視圖的面積．【解答】解：由已知正三棱柱及其正視圖可知：其側(cè)視圖是一個高與正視圖的相同、寬是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正視圖的高為2，可得其側(cè)視圖的高也為2．∵底面是邊長為2的正三角形，∴其高為．∴此三棱柱側(cè)視圖的面積=2×=．故選D．3.設(shè)F1和F2為雙曲線﹣y2=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是（）A．1 B． C．2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y的值，再根據(jù)∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進(jìn)而可求得∴△F1PF2的面積【解答】解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面積為xy=1故選A4.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，且，記與的面積分別為，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A5.曲線y=在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】欲求在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故選A．6.下面幾種推理過程是演繹推理的是(

)A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果和是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則．B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì)．C．某校高二共10個班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推測各班都超過50人D．在數(shù)列中，由此歸納出的通項公式．參考答案：A略7.下列不等式中正確的是(

)①；②；③.A.①③ B.①②③ C.② D.①②參考答案：B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，依次對各個命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于①：令，則恒成立，則是減函數(shù)，所以有恒成立，所以成立，所以①正確；對于②：，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得最小值，所以，所以成立，所以②正確；對于③，，，令，有，所以有當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在時取得最大值，即，所以，恒成立，所以③正確；所以正確命題的序號是①②③，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)判斷不等式能否恒成立的問題，涉及到的知識點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，屬于簡單題目.8.過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D9.對于曲線C：+=1，給出下面四個命題：①曲線C不可能表示橢圓；②“1＜k＜4”是“曲線C表示橢圓”的充分不必要條件；③“曲線C表示雙曲線”是“k＜1或k＞4”的必要不充分條件；④“曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1＜k＜”的充要條件其中真命題的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個參考答案：B【考點(diǎn)】曲線與方程．【分析】根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合橢圓雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可．【解答】解：①當(dāng)1＜k＜4且k≠2.5時，曲線表示橢圓，所以①錯誤；②當(dāng)k=2.5時，4﹣k=k﹣1，此時曲線表示圓，所以②錯誤．③若曲線C表示雙曲線，則（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以“曲線C表示雙曲線”是“k＜1或k＞4”的充分必要條件，所以③不正確．④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得1＜k＜2.5，所以④正確．故選B．10.給出以下四個命題：①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面，③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直．其中真命題的個數(shù)是（

）．A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B①正確，是線面平行的性質(zhì)定理．②正確，是線面垂直的判定定理．③不正確，這兩條直線也可能相交、異面．④正確，是面面垂直的判定定理．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將一個共有60個個體的總體編號為00，01，02，…，59，根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法從中抽取一個容量為10的樣本，從隨機(jī)數(shù)表的第8行，第11列開始讀，依次獲取樣本號碼，直至取滿為止，則取出的第4個樣本的編號為__________．附：隨機(jī)數(shù)表第8行，6301637859

1695556719

9810507175

1286735807

4439523879參考答案：10【分析】直接利用隨機(jī)抽樣（隨機(jī)數(shù)表法）方法抽取即可，抽取過程注意剔除大于59以及重復(fù)的編號.【詳解】第8行第11列的數(shù)字為1，由此開始，依次抽取號碼,第一個號碼為16,第二、四、六個號碼都大于59，舍去,按照這個規(guī)則抽取號碼，

抽取的前4個樣本號碼為16,55，19，10，即取出的第4個樣本的編號為10，故答案為10.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.12.展開式中的常數(shù)項是70，則________．參考答案：試題分析：由題意得，，所以展開式的常數(shù)項為，令，解得．考點(diǎn)：二項式定理的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中涉及到多項式的化簡與二項式定理的通項等知識，解答中把化為是解答問題的關(guān)鍵，再根據(jù)二項展開式，得到展開式的常數(shù)項，即可求解的值，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．13.若函數(shù)在[－1,1]上有最大值3，則該函數(shù)在[－1,1]上的最小值是__________參考答案：略14.點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值是__.參考答案：15.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________．參考答案：16.直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍為__________．參考答案：圓，．圓心到直線的距離，解出或．17.函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、.(Ⅰ)當(dāng)時，求以為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)作直線∥交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.①求證:圓心在定直線上；②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)?若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由.參考答案：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,當(dāng)時,PQ的中點(diǎn)為(0,3),所以b=3……………3分而,所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…5分

(Ⅱ)①解法一:易得直線,所以可得,再由∥,得……………8分則線段的中垂線方程為,線段的中垂線方程為,由,解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為………10分經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線上……………11分解法二:易得直線,所以可得,再由∥,得………8分設(shè)的外接圓的方程為,則,解得…10分所以圓心坐標(biāo)為,經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線上

…11分②由①可得圓C的方程為………13分該方程可整理為,則由,解得或,所以圓恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為………………16分19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）判斷奇偶性，并證明；(Ⅱ)當(dāng)時，解不等式．參考答案：（Ⅰ）證明：，定義域?yàn)椋酣D――1分,為奇函數(shù)―――6分(Ⅱ)解：當(dāng)時，，即，解得，不等式解集為：―――12分20.某公司的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)x24568y3040605070回歸方程為＝x＋，其中，(1)畫出散點(diǎn)圖，并判斷廣告費(fèi)與銷售額是否具有相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的回歸方程＝x＋；(3)預(yù)測銷售額為115萬元時，大約需要多少萬元廣告費(fèi)．參考答案：（1）具有相關(guān)關(guān)系（2）（3）試題分析：（1）散點(diǎn)圖如圖：由圖可判斷：廣告費(fèi)與銷售額具有相關(guān)關(guān)系．（2）將表格數(shù)據(jù)代入運(yùn)算公式，可得到其值，從而求得線性回歸方程．（3）在回歸方程中，令y=115，求得x的值，可得結(jié)論試題解析：（1）散點(diǎn)圖如圖由圖可判斷：廣告費(fèi)與銷售額具有相關(guān)關(guān)系。（2），========∴線性回歸方程為（3）由題得：，，得考點(diǎn)：線性回歸方程21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在[1，2]上的最大值.參考答案：略22.已知（1）求函數(shù)的最小值；（2）對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：對一切，都有成立.

參考答案：解：（1）由已知知函數(shù)的定義域?yàn)?，，………?分

當(dāng)單調(diào)遞減，

………………2分當(dāng)單調(diào)遞增.

……………3分

.

………