山東省臨沂市新星中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

山東省臨沂市新星中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為(

)A．11 B．12 C．13 D．14參考答案：B【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號(hào)481～720共240人中抽取的人數(shù)即可．【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．所以從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取=12人．故：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．2.給出下列命題：①曲線的切線一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；②“可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件；③若f（x）在（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件；④求曲邊梯形的面積用到了“以直代曲”的思想，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[xi，xi+1]上的近似值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f（ξi）（ξi∈[xi，xi+1]）其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)切線定義列舉一個(gè)反例進(jìn)行判斷，②根據(jù)函數(shù)極值的定義和充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷，④根據(jù)“以直代曲”的思想進(jìn)行判斷．【解答】解：①曲線的切線一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤，y=cosx在（0，1）處的切線和y=cosx有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤．②若可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，則函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)不一定取得極值，比如函數(shù)f（x）=x3，在x=0處就取不到極值，即充分性不成立，若函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值，則可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，即必要性成立，則“可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y=f（x）在這點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件；成立，故②正確，③若f（x）在（a，b）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的充要條件；錯(cuò)誤，函數(shù)f（x）=﹣x3，在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，但f′（x）=﹣3x2≤0，故③錯(cuò)誤，④求曲邊梯形的面積，在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[xi，xi+1]上的近似值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f（ξi）（ξi∈[xi，xi+1]），正確，故④正確，故正確的是②④，故選：B3.為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.如果對(duì)定義在上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.給出下列函數(shù)①;②;③;④.以上函數(shù)是“函數(shù)”的共有（

）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：B略5.設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，設(shè)m+n=x，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．【解答】解：由圓的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，∵直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓相切，∴圓心到直線的距離d==1，整理得：m+n+1=mn≤，設(shè)m+n=x，則有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解為：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式變形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，則m+n的取值范圍為（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故選D6.已知隨機(jī)變量的的分布列為ξ123P0.40.20.4

則Dξ等于（

）

A．0

B．2

C．1

D．0.8參考答案：D略7.某同學(xué)每次投籃命中的概率為，則他連續(xù)投籃3次，第3次才投中的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B8.方程表示圓的方程，則實(shí)數(shù)a適合的條件是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.840和1764的最大公約數(shù)是（

）A．84

B．12

C．168

D．252參考答案：A10.設(shè)，若，則=（

）A.

B.1 C. D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

參考答案：略12.設(shè)集合，,當(dāng)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

▲

.參考答案：13.右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬

米.

參考答案：略14.下列命題：①；②；③；④；⑤

⑥.

其中所有真命題的序號(hào)是

。參考答案：①③15.學(xué)校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開(kāi)設(shè)了《數(shù)學(xué)史選講》、《對(duì)稱與群》、《球面上的幾何》三門(mén)選修課程，供高二學(xué)生選修，已知高二年級(jí)共有學(xué)生600人，他們每個(gè)人都參加且只參加一門(mén)課程的選修，為了了解學(xué)生對(duì)選修課的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取30名學(xué)生進(jìn)行座談．據(jù)統(tǒng)計(jì)，參加《數(shù)學(xué)史選講》、《對(duì)稱與群》、《球面上的幾何》的人數(shù)依次組成一個(gè)公差為﹣40的等差數(shù)列，則應(yīng)抽取參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生的人數(shù)為

．參考答案：12【考點(diǎn)】分層抽樣方法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=，抽取30名學(xué)生進(jìn)行座談，公差為﹣2，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=，抽取30名學(xué)生進(jìn)行座談，公差為﹣2，設(shè)應(yīng)抽取參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生的人數(shù)為x，則x+x﹣2+x﹣4=30，∴x=12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣，在分層抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，這是解題的依據(jù)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．16.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式，則的取值范圍為．參考答案：[，]【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到D（﹣2，1）的斜率，由圖象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），則AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案為：[，]．17.若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（2，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E、F，且B，E，F(xiàn)構(gòu)成以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰三角形，判斷直線EF與圓x2+y2=的位置關(guān)系．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（I）由題可知c=2，又a2﹣b2=c2，將點(diǎn)（2，1）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得直線EF的方程，再求圓心到直線的距離，與班級(jí)比較，即可得到所求位置關(guān)系．【解答】解：（I）由題可知c=2，a2﹣b2=c2，將點(diǎn)（2，1）代入橢圓方程可得+=1，解得a=4，b=2，則橢圓C方程是+=1；

（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），由，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，由題可知△=64k2﹣4（1+4k2）（﹣12）＞0恒成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，可得xM==﹣，yM==1+=，因?yàn)椤鰾EF是以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰角形，所以EF⊥BM．因此BM的斜率kBM=﹣，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2），所以kBM==﹣，即﹣=﹣，解得k=±，故EF的直線方程為±x﹣4y+4=0，又因?yàn)閳Ax2+y2=的圓心（0，0）到直線EF的距離d==＞，所以直線EF與圓x2+y2=相離．19.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）由題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（III）先給出g（x）=xf'（x），考查解析式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時(shí)成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在（0，1）上的最值，與1+e﹣2比較即可得出要證的結(jié)論．【解答】解：（I）函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），設(shè)h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），當(dāng)x∈（0，e﹣2）時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（e﹣2，1）時(shí)，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）時(shí)是增函數(shù)，在x∈（e﹣2，1）時(shí)是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趨向于0時(shí)，h（x）的函數(shù)值趨向于1∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，從而f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)h（x）＜0，從而f'（x）＜0．綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．（III）由（II）可知，當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時(shí)成立．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ex＞1，且g（x）＞0，∴．設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），當(dāng)x∈（0，e﹣2）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，當(dāng)x∈（e﹣2，1）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，所以當(dāng)x=e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．綜上，對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．20.已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R），（1）若函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（﹣1，2）且在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+2=0，求函數(shù)f（x）的解析式；（2）在（1）的條件下，若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求實(shí)數(shù)t的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f′（1）=0，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)和極值，求出區(qū)間處端點(diǎn)的函數(shù)值，比較可得最值，由|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，可得t≥fmax（x）﹣fmin（x），可得t的最小值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），∴f（﹣1）=﹣a+b﹣c=2，又f′（x）=3ax2+2bx+c，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y+2=0，∴，∴，解得a=1，b=0，c=﹣3，故f（x）=x3﹣3x；（2）由（1）知f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0解得x=±1，∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，∴在區(qū)間上fmax（x）=2，fmin（x）=﹣18，∴對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）=20，∴t≥20，所以t的最小值是20．21.（本小題滿分12分）若兩集合,，分別從集合中各任取一個(gè)元素、，即滿足，，記為，（Ⅰ）若，，寫(xiě)出所有的的取值情況，并求事件“方程所對(duì)應(yīng)的曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的概率；（Ⅱ）求事件“方程所對(duì)應(yīng)的曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng)的倍”的概率.參考答案：（Ⅰ）由題知所有的的取值情況為