《圓錐曲線》知識(shí)梳理

《圓錐曲線》知識(shí)梳理圓錐曲線第第一二定定義義圓錐曲線第第一二定定義義標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系橢圓性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與橢圓的位置關(guān)系相交相切相離第第一二定定義義標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系雙曲線性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與雙曲線的位置關(guān)系相交相切相離漸近線拋物線定義標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)對(duì)稱性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線焦半徑直線與拋物線的位置關(guān)系相交相切相離3．1橢圓【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1．熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程．2．考查橢圓的離心率，直線的方程，平面向量的坐標(biāo)表示，方程思想等數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力.二、命題落點(diǎn)圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；②求曲線方程和軌跡；③關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題，主要考查直線方程,平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題以及推理能力.【典例精析】例1：（2022·全國(guó)1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值．解析:（1）設(shè)橢圓方程為,則直線AB的方程代入,化簡(jiǎn)得．令,則．由與共線,得,又，．即,所以，，故離心率．（2）由（1）知,所以橢圓可化為設(shè),由已知得，在橢圓上,，即①由（1）知，又代入①，得．故為定值,定值為1．例2：（2022·上海）如圖，點(diǎn)、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值．解析:（1）由已知可得點(diǎn)A（－6，0），F(xiàn)（4，0）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，由已知得由于（2）直線AP的方程是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，0），則M到直線AP的距離是，于是橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d，有由于例3：（2022·福建）已知方向向量為的直線l過(guò)點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（1）求橢圓C的方程；OOE（2）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:（1）直線，①過(guò)原點(diǎn)垂直的直線方程為，②解①②得∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∵直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.故橢圓C的方程為③（2）設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得OEOEMNOEMN點(diǎn)O到直線MN的距離．即即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或【常見(jiàn)誤區(qū)】解析幾何問(wèn)題，基本上都與方程思想相結(jié)合，因而要注意直線方程與曲線方程聯(lián)立起來(lái)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有關(guān)方法的練習(xí)、歸納，要注意運(yùn)算的優(yōu)化，要注意利用數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含性質(zhì),這也是考生思維的一個(gè)障礙點(diǎn).【基礎(chǔ)演練】1．(2022·廣東)若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m＝（）A．B．C．D．2．(2022·福建)設(shè)的最小值是（）A．B．C．－3D．3．(2022·全國(guó)3)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．4．(2022·江蘇)點(diǎn)在橢圓的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為（）A．B．C．D．5．（2022·重慶）已知是圓為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.6．如圖所示,底面直徑為的圓柱被與底面成的平面所截，其截口是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率為．ＱＱyxOP7．(2022·遼寧)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)Ｐ是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)Ｔ在線段上，并且滿足．（1）設(shè)為點(diǎn)Ｐ的橫坐標(biāo)，證明；（2）求點(diǎn)Ｔ的軌跡C的方程；（3）試問(wèn)：在點(diǎn)Ｔ的軌跡C上，是否存在點(diǎn)Ｍ，使△的面積．若存在，求∠的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．(2022·湖南)．已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.（1）證明：λ＝1－e2；（2）若，△PF1F2的周長(zhǎng)為6，寫出橢圓C的方程；（3）確定λ的值，使得△PF1F29．(2022·湖北)設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（2）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.參考答案1.B2.C3.D4.A5.6.7.ＱＱyxOP（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以（2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是③④（3）C上存在點(diǎn)M（）使S＝的充要條件是③④由④得上式代入③得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S＝；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)時(shí)，記，由知，所以8.（1）因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）.由即（2）當(dāng)時(shí)，，所以由△MF1F2的周長(zhǎng)為6，得所以橢圓方程為（3）因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，即設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由得所以即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.9.（1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得①設(shè)①的兩個(gè)不同的根，②是線段AB的中點(diǎn)，得解得k＝-1，代入②得，＞12，即的取值范圍是（12，＋）.于是，直線AB的方程為（2）代入橢圓方程