平面幾何五種模型

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)平面幾何五種模型等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的 2個三角形面積相等2個三角形高相等，面積比 =底之比2個三角形底相等，面積比 =高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個平行四邊形面積相等三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半2個平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個平行四邊形底相等，面積比=高之比文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2、鳥頭模型（共角定理）鳥頭定理：2個三角形中，有一個角相等或互補(bǔ)，這2個三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比（夾角 2邊 ）鳥頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線同時經(jīng)過 2次以上轉(zhuǎn)換對應(yīng)才能得到結(jié)果。ADEBC如圖，淺紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鳥頭定理用的是乘積比！不是單獨(dú)的線段比 ~記憶上用夾角2邊最好記，這里等于EDDEAA對頂角B C B C文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)D互補(bǔ)角 A

E DAEB C B C鳥頭定理的證明，寫出來是因?yàn)楹芏囝}目的解題過程， 都需要補(bǔ)這么一條輔助線來過度連接2個看起來無關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重合，所以寫出來，仔細(xì)看。A A A等高，面積比=底之比DDS△ABE：S△ABC=AE:ACEEE等高，面積比=底之比S△ADE:S△ABE=AD:ABB C BB C經(jīng)由媒介的?ABE，聯(lián)系了?ADE和大三角形?ABCBE輔助線很重要！鳥頭定理是用等高（等于是用等積推算而得）第二種的證明方式將對頂角壓回來 ?ABC內(nèi)，對頂角性質(zhì)是相等的，所以壓回來的新 ?跟?ADE是全等?，再做一條輔助線就能用共角的方式證明出對角的鳥頭定理文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)互補(bǔ)角的鳥頭定理證明DAS△ADE=S△AD'E,因?yàn)橥椎雀逥' AD=AD',高相等，所以面積相等EBC寫了這幾個證明，其實(shí)說的目的只有一個：連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線，特別重要！文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶①S1:S2 S4:S3或者S1 S3 S2 S4②AO:OC S1 S2:S4 S3【上下比】 = = =【上上比】 = = =由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則：如面積交叉相乘的乘積相等 = = S1 S3 S2 S4梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）①S1:S3a2:b2→上：下=a2:b2②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab→上：下：左：右=a2:b2:ab:ab③S的對應(yīng)份數(shù)為2ab→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab有木有↑相似三角形文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無論大小怎么改變，他們都相似。1相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且 =它們的相似比2相似三角形的面積比 =相似比的平方連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長=它所對應(yīng)的底邊長的一半就是三角形任 2邊中點(diǎn)連出來的中位線就是第三邊長的一半！出題幾率：多產(chǎn)生于 2條平行線造成的相似三角形金字塔模型 沙漏模型A FE DAD EFB G C B G C2 2S?ADE：S?ABC=AF：AG特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方共邊定理文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)燕尾模型、風(fēng)箏模型、塞瓦定理共邊定理說明P P圖一 圖二Q QA B A D B E如圖一想知道?PAB和?QAB的面積比？我們就如圖二做個高，因?yàn)橥祝ň褪枪灿靡粋€邊）所以面積比 =髙之比，再想辦法偷懶，延長PQ、AB的線相交于 M，那么剛學(xué)的相似三角形可以派上用場，因?yàn)?PDM?QEM如圖三P圖三QA D B E

M所以 =共邊定理：若直線 AB和PQ相交于點(diǎn)M（4種情況）則有=文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)PPA MB QQAMB圖一圖二P燕尾定理（共邊定理圖3）PABQMA MB圖三Q圖四最常應(yīng)用到的其實(shí)是圖一，無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來比出線段比。（圖形不重疊）圖二的比例圖形有重疊，所以線段長度也是重疊比 ~圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線段比不重疊。圖四是四邊形，做比的三角形有重疊， 而比值是四邊形的頂： 延長線段QM(切記，唯一對比線段不在圖形內(nèi)的哈 )共邊定理的證明文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)=PQMA D B E N1，M點(diǎn)是PQ和AB延長后的交點(diǎn)2，取N，使得MN長度=AB3、 = =?PNM和?QNM是等高?，文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)塞瓦定理（燕尾定理模型補(bǔ)充） 三邊比例互乘為 1在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO