山東省淄博市師專附屬中學2021年高三數(shù)學文測試題含解析

山東省淄博市師專附屬中學2021年高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）已知i是虛數(shù)單位，則=（）A．1B．iC．﹣iD．﹣1參考答案：B【考點】：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】：利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡括號內部的代數(shù)式，然后利用虛數(shù)單位i的運算性質得答案．解：∵，∴=（﹣i）3=i．故選：B．【點評】：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．2.如圖，一個簡單幾何體的三視圖其主視圖與俯視圖分別是邊長2的正三角形和正方形，則其體積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.已知首項是1的等比數(shù)列的前項的和為，，則（

）（A）5

（B）8

（C）

（D）15參考答案：A略4.玉琮是古代祭祀的禮器，如圖為西周時期的“鳳鳥紋飾”玉琮，其形對稱，呈扁矮方柱狀，內圓外方，前后對穿圓孔，兩端留有短射，蘊含古人“璧圓象天，琮方象地”的天地思想，該玉琮的三視圖及尺寸數(shù)據(jù)（單位：cm）如圖所示.根據(jù)三視圖可得該玉琮的體積（單位：cm3）為（

）

A．

B．

C.

D．參考答案：D5.數(shù)列的首項為，為等差數(shù)列且.若則，，則為

(

)A.

0

B.

3

C.

8

D.

11參考答案：B略6.已知命題p：?x∈R，cosx＝；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則下列結論正確的是A．命題是假命題

B．命題是真命題C．命題是真命題

D．命題是真命題

參考答案：D7.等差數(shù)列的前n項和為，且9，3，成等比數(shù)列.若=3，則=(

)

A.7

B.8

C.12

D.

16參考答案：C因為9，3，成等比數(shù)列，所以，解得，所以等差數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以。8.已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，為坐標原點，點是雙曲線在第一象限內的點，直線，分別交雙曲線的左、右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D點睛：解答本題時，充分利用題設中的條件與雙曲線的對稱性構造平行四邊形，先運用余弦定理，求出，再借助平行四邊形的幾何性質建立方程，建立關于離心率的方程，從而使得問題獲解。9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】首先確定該幾何體的形狀為圓柱從上方削去一部分，削去部分的體積為圓柱體積一半的一半即，下方削去半個球，根據(jù)尺寸計算即可.【詳解】觀察三視圖發(fā)現(xiàn)：該幾何體的形狀為圓柱從上方削去一部分，削去部分的體積為圓柱體積一半的一半即，下方削去半個球，故幾何體的體積為：，故選D.【點睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是首先判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)其尺寸計算體積，屬于中檔題.10.已知集合，則A∩B=（

）A.{0,1,2} B.{1,2} C.{－1,0} D.{－1}參考答案：B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，求得集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求解．【詳解】由題意，集合，則，故選B．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，,,分別為角,,所對的邊，且滿足，則

，若，則

.參考答案：12.設、滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為4，則的最小值為

.參考答案：略13.如圖，三棱錐S-ABC中，SA=AB=AC=2，，M、N分別為SB、SC上的點，則△AMN周長最小值為

.參考答案：14.一個正四棱柱的各個頂點都在一個直徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為

。參考答案：15.右圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26.5］，樣本數(shù)據(jù)的分組為，，，，，.已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為＿＿＿＿.參考答案：9

16.連續(xù)拋擲一個骰子（一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）兩次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)和大于9的概率是．參考答案：略17.隨機向邊長為5，5，6的三角形中投一點P，則點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分13分)已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；參考答案：19.（滿分１５分）動圓過定點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設的中點分別為、.（1）求曲線的方程；（2）求證：直線必過定點.Ks5u參考答案：解：（1）設，則有，化簡得……………6分（2）設，代入得，，,故………………10分因為，所以將點坐標中的換成，即得。則

，整理得,故不論為何值，直線必過定點.………………15分略20.（12分）如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，過拋物線C上一點H（x0，y0）（y0≥1）作兩條直線與⊙M相切于A、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準線的距離為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；（Ⅲ）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．參考答案：【考點】：圓與圓錐曲線的綜合；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；拋物線的標準方程．【專題】：綜合題．【分析】：（Ⅰ）利用點M到拋物線準線的距離為，可得，從而可求拋物線C的方程；（Ⅱ）法一：根據(jù)當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得kHE=﹣kHF，設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，從而可求直線EF的斜率；法二：求得直線HA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出E，F(xiàn)的坐標，從而可求直線EF的斜率；（Ⅲ）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得，再利用導數(shù)法，即可求得t的最小值．法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），再利用導數(shù)法，即可求得t的最小值．解：（Ⅰ）∵點M到拋物線準線的距離為=，∴，∴拋物線C的方程為y2=x．（2分）（Ⅱ）法一：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴kHE=﹣kHF，設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．（5分）∴．（7分）法二：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，∴直線HA的方程為，聯(lián)立方程組，得，∵∴，．（5分）同理可得，，∴．（7分）（Ⅲ）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，∴直線HA的方程為（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理，直線HB的方程為（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，∴，，（9分）∴直線AB的方程為，令x=0，可得，∵，∴t關于y0的函數(shù)在[1，+∞）上單調遞增，∴當y0=1時，tmin=﹣11．（12分）法二：設點H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②①﹣②得：直線AB的方程為（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．（9分）當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），∵，∴t關于m的函數(shù)在[1，+∞）上單調遞增，∴當m=1時，tmin=﹣11．（12分）【點評】：本題以拋物線與圓的方程為載體，考查拋物線的標準方程，考查直線方程，同時考查利用導數(shù)法解決函數(shù)的最值問題，綜合性較強．21.（本小題滿分12分）等差數(shù)列的首項為23，公差為整數(shù)，且第6項為正數(shù)，從第7項起為負數(shù)。（1）求此數(shù)列的公差d；（2）當前n項和是正數(shù)時，求n的最大值。參考答案：【知識點】等差數(shù)列的通項與求和.D2

【答案解析】（1）；（2）12.解析：（1）為整數(shù)，（2）的最大值為12.【思路點撥】（1）由a6＞0，a7＜0且公差d∈Z，可求出d的值；（2）由前n項和Sn＞0，以及n∈N*，求出n的最大值．22.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）當時，設函數(shù).證明：對于任意的，函數(shù)有且只有一個零點.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見證明【分析】（I）求得切點坐標和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此求得的取值范圍.（III）先求得的表達式，然后利用導數(shù)證得在上有一個零點.再利用導數(shù)證得在上沒有零點，由此得證.【詳解】解：（Ⅰ）已知函數(shù)，可得，且，函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅱ）對任意恒成立，所以.令，則令，解