山東省淄博市高薪區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

山東省淄博市高薪區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知二次函數(shù)在區(qū)間[－2,a]上的最小值為－5，最大值為4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.(－2,1) B.(－2,4] C.[1,4] D.[1,+∞)參考答案：C2.函數(shù)的定義域是（

）A．(0,+∞)

B．(0,1)∪(1,+∞)

C．(0,1)

D．(1,+∞)參考答案：B由解，得x＞0且x≠1．∴函數(shù)f（x）=+lgx的定義域是（0，1）∪（1，+∞）．故選：B．

3.從勻速傳遞的新產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件新產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是（）A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 D．隨機(jī)數(shù)法參考答案：A【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：新產(chǎn)品沒有明顯差異，抽取時(shí)間間隔相同，故屬于系統(tǒng)抽樣，故選：A．4.從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的是

()．A.① B.②④ C.③ D.①③參考答案：C根據(jù)對(duì)立事件的定義，只有③中兩事件符合定義。故選C。5.已知x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），則（） A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】因?yàn)閤0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)可得到f（x0）=0，再由函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得到答案． 【解答】解：∵x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)∴f（x0）=0 ∵f（x）=2x+是單調(diào)遞增函數(shù)，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2） 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念和函數(shù)單調(diào)性的問題，屬中檔題． 6.如圖，在空間四邊形中，一個(gè)平面與邊分別交

于（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．若，則平面

B．若分別為各邊中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形

C．若分別為各邊中點(diǎn)且，則四邊形為矩形

D．若分別為各邊中點(diǎn)且，則四邊形為矩形參考答案：C考點(diǎn)：空間直線與平面的位置關(guān)系及判定.7.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．16 C． D．48參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由題意，直觀圖是放倒的四棱錐，棱錐的高為4，底面為主視圖，是梯形，上底2，下底6，高為4，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，直觀圖是放倒的四棱錐，棱錐的高為4，底面為主視圖，是梯形，上底2，下底6，高為4，面積為=16，∴四棱錐的體積==，故選A．8.已知有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.－1

B.0

C.1

D.2參考答案：B函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若有唯一的零點(diǎn)，則，選B.9.在△ABC中，已知，且A=45°，則角B的度數(shù)是（

）A.90° B.60° C.45° D.40°參考答案：C【分析】由正弦定理可得，化簡(jiǎn)可得．【詳解】，，，，又，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小，得到，是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)，若，則取值范圍是（）．A．(－∞,0] B．(－∞,1] C．[－3,0] D．[－3,1]參考答案：C當(dāng)時(shí)，根據(jù)恒成立，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值為，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，有，即．綜上可得，的取值范圍是．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若冪函數(shù)y=xa（a∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則a的值為．參考答案：

【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】根據(jù)冪函數(shù)y=xa的圖象過點(diǎn)（4，2），代入數(shù)據(jù)求出a的值．【解答】解：冪函數(shù)y=xa（a∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案為：．12.已知函數(shù)，任取，記函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為最小值為記.則關(guān)于函數(shù)有如下結(jié)論：①函數(shù)為偶函數(shù)；②函數(shù)的值域?yàn)?；③函?shù)的周期為2；④函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.其中正確的結(jié)論有____________.（填上所有正確的結(jié)論序號(hào)）參考答案：③④.試題分析：因?yàn)?，其中分別是指函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值，注意到函數(shù)是最小正周期為的函數(shù)，所以在區(qū)間的圖像與在的圖像完全相同，所以，所以，所以函數(shù)的一個(gè)周期為4，對(duì)該函數(shù)性質(zhì)的研究，只須先探究的性質(zhì)即可.根據(jù)的圖像（如下圖（1））與性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為1，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為1，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的最小值為，最大值為，此時(shí)作出的圖像，如下圖（2）所示綜上可知，該函數(shù)沒有奇偶性，函數(shù)的值域?yàn)?，從圖中可以看到函數(shù)的最小正周期為2，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故只有③④正確.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.分段函數(shù).13.集合,集合且,則實(shí)數(shù)_________.參考答案：由，得，所以.14.直線xsinα﹣y+1=0的傾角的取值范圍． 參考答案：[0，]∪[）【考點(diǎn)】直線的傾斜角． 【分析】由直線方程求出直線斜率的范圍，再由正切函數(shù)的單調(diào)性求得傾角的取值范圍． 【解答】解：直線xsinα﹣y+1=0的斜率為k=sinα， 則﹣1≤k≤1， 設(shè)直線xsinα﹣y+1=0的傾斜角為θ（0≤θ＜π）， 則﹣1≤tanθ≤1， ∴θ∈[0，]∪[）． 故答案為：[0，]∪[）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，考查了直線傾斜角和斜率的關(guān)系，訓(xùn)練了由直線斜率的范圍求傾斜角的范圍，是基礎(chǔ)題． 15.如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略16.已知，若對(duì)任意則

A．=90°

B．=90°

C．=90°

D．===60°參考答案：C略17.在一支長(zhǎng)15cm粗細(xì)均勻的圓柱形蠟燭的下端固定一個(gè)薄金屬片（體積不計(jì)），使蠟燭恰好能豎直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蠟燭的比重為0.85g/cm3，現(xiàn)在點(diǎn)燃蠟燭，當(dāng)蠟燭被水淹沒時(shí)，它的剩余長(zhǎng)度是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分16分)設(shè)關(guān)于的函數(shù)的最小值是的函數(shù)，記為.（1）求的解析表達(dá)式；（2）當(dāng)=時(shí)，求的值；（3）如果方程在有兩不相等的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）：----2分；--------5分.（2）：

或--------7分（3）：在上有一解

或或-----------16分（對(duì)一個(gè)得3分）略19.已知兩個(gè)不共線的向量，滿足，，.（1）若，求角的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，解得答案.（2）根據(jù)向量垂直得到，故，得到答案.（3）化簡(jiǎn)得到，由得，故，解得答案.【詳解】（1），故，，故角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，故，即，又因?yàn)?，所?即的范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，根據(jù)向量垂直求模，方程解的個(gè)數(shù)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．參考答案：②

………7分③………………8分…………9分綜上所述：…………10分（2）易知，即在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)………………14分21.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知cos2A+3cos（B+C）=1．（1）求角A的大??；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由題意和二倍角公式可得cosA的方程，解方程結(jié)合角的范圍可得A值；（2）由余弦定理可得a2=（b+c）2﹣bc，代入數(shù)據(jù)可得bc的值，整體代入面積公式可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中cos2A+3cos（B+C）=1，∴2cos2A﹣1﹣3cosA=1，即2cos2A﹣3cosA﹣2=0，解得cosA=﹣，或cosA=2（舍去），由A∈（0，π）可得A=；（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，代入數(shù)據(jù)可得12=16﹣bc，解得bc=4，∴△ABC的面積S=bcsinA==．22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且.其中為常數(shù).（1）求的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案：（1），；（2）【分析】（1）由題意知中，令，求得，即，所以兩式相減整理得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解．（2）由（1）可得，利用“裂項(xiàng)”法求得，根據(jù)題設(shè)化簡(jiǎn)得對(duì)任意恒成立，記，分為奇數(shù)和為偶數(shù)討論，求得的最大值，即可求解．【詳解】（1）由題意知中，令，得，又，解得，即，所以，兩式相減得，整理得，數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）由（1