《第一章 特殊平行四邊》解答題特訓(xùn) 北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

PAGE《特殊平行四邊》解答題特訓(xùn)1．如圖，以四邊形的邊，為邊分別向外側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，連接，相交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)四邊形為正方形時(shí)（如圖①），和的數(shù)量關(guān)系是______．（不用證明）（2）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)（如圖②），和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（3）四邊形由正方形到矩形再到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，是否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D③中求出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）（3）不變，60°【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，，，再根據(jù)ASA證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合SAS證明≌，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合SAS證明≌，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，根據(jù)角的關(guān)系即可得出答案【詳解】解：（1）四邊形ABCD為正方形三角形ADE和三角形ABF是等邊三角形即在和中（2），理由如下：∵為等邊三角形，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴≌（SAS），∴．（3）不變，理由如下：∵為等邊三角形，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴≌（SAS），∴，設(shè)，，∴，，∴在中，．【思考區(qū)】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．（1）如圖，求證：矩形是正方形；（2）若，求的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是30°時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）當(dāng)與的夾角為時(shí)，；當(dāng)與的夾角為時(shí)，【分析】（1）過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，得到，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)是中點(diǎn)，點(diǎn)與重合，由（1）可知四邊形是正方形，由此即可解決問(wèn)題．（3）分兩種情形考慮問(wèn)題即可；【詳解】解：（1）證明：過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖：∵四邊形為正方形∴∴∵∴∵∵∴∴在和∴∴∴矩形是正方形．（2）如圖：∵由（1）可知，在中，∴∵∴∴與重合∵四邊形是正方形∴．（3）①當(dāng)與的夾角為時(shí)，如圖：∵，∴∴∴；②當(dāng)與的夾角為時(shí)，如圖：∵，∴∴∵∴．∴綜上所述，或故答案是：（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）當(dāng)與的夾角為時(shí)，；當(dāng)與的夾角為時(shí)，【思考區(qū)】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．3．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于，垂足為，連接、（1）當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，等于度時(shí)，四邊形是正方形．【答案】（1）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先證明，得出四邊形是平行四邊形，再“根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證出，得出四邊形是菱形；（2）先求出，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，即可證出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形；理由如下：∵，，∵，，，∵，即，四邊形是平行四邊形，；為中點(diǎn)，，，∵，四邊形是平行四邊形，∵，為中點(diǎn)，，四邊形是菱形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形；理由如下：∵，，，∵四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．故答案為：．【思考區(qū)】本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)題意證明線段相等和直角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．在正方形中，動(dòng)點(diǎn)分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線上移動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)自向，點(diǎn)自向移動(dòng)時(shí)，連接和交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)分別移動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接和，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”，無(wú)需證明）（3）如圖3，當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接和，（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）由正方形的性質(zhì)得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，SAS證出△ADE≌△DCF，得出AE=DF，∠DAE=∠CDF，證出∠DAE+∠ADF=90°，得出AE⊥DF；

（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF．【詳解】（1），．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴，∴，．∵，∴．∴，∴．（2）成立；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=∠DCF=90°，

∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中，,∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，

由于∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠DAE+∠ADF=90°，

∴AE⊥DF；（3）成立．理由如下：同（1）可證，．如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則，∴，∴，∴．【思考區(qū)】考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、互余兩角的關(guān)系、垂線的證法等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．小明參加數(shù)學(xué)興趣小組的探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形按圖1的位置放置，與在同一條直線上，與在同一條直線上．（1）小明發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；（2）如圖2，小明將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).【分析】（1）延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根據(jù)∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD交BD于點(diǎn)M，根據(jù)△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠AMD=90°，求出AM、DM，利用勾股定理求出MG，再根據(jù)DG=DM+MG求出DG，最后根據(jù)DG=BE即可得出答案．【詳解】（1）∵四邊形與四邊形是正方形，∴，，，∴，∴．如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．在中，，∴，∴，∴．（2）∵四邊形與四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，又∵，，∴，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵是正方形的對(duì)角線，∴．在中，，，可得，在中，，∴，∴．【思考區(qū)】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形．6．已知正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接．（1）如圖1，求證：；（2）將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，取的中點(diǎn)，連接．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3，取的中點(diǎn)，連接．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．

（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．

（3）結(jié)論依然成立．過(guò)F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過(guò)F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因?yàn)锽E=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論．【詳解】（1）在中，為的中點(diǎn)，∴．同理，在中，．∴．（2）如圖②，（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．

理由：連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．

∴∠AMG=∠DMG=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．

在△DAG和△DCG中，

，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG．

∵G為DF的中點(diǎn)，

∴GD=GF．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠BAD，

∴AD∥EF，

∴∠N=∠DMG=90°．

在△DMG和△FNG中，，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG．

∵∠DA∠AMG=∠N=90°，

∴四邊形AENM是矩形，

∴AM=EN，

在△AMG和△ENG中，

，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG；

（3）如圖③，（1）中的結(jié)論仍然成立．

理由：過(guò)F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過(guò)F作FN⊥AB于N．

∵M(jìn)F∥CD，

∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°

∵FN⊥AB，

∴∠FNH=∠ANF=90°．

∵G為FD中點(diǎn)，

∴GD=GF．

在△MFG和△CDG中

，

∴△CDG≌△MFG（AAS），

∴CD=FM．MG=CG．

∴MF=AB．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°．

∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，

∴∠NFH=∠EBH．

∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，

∴四邊形ANFQ是矩形，

∴∠MFN=90°．

∴∠MFN=∠CBN，

∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，

∴∠MFE=∠CBE．

在△EFM和△EBC中

，

∴△EFM≌△EBC（SAS），

∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，

∵∠FEC+∠BEC=90°，

∴∠FEC+∠FEM=90°，

即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點(diǎn)，

∴EG=CG，EG⊥CG．【思考區(qū)】考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．7．如圖，正方形ABCD中，E為BC上任意一點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥BC，交BD于點(diǎn)F，G為DF的中點(diǎn)，連接AE和AG.(1)如圖1，求證：∠FEA＋∠DAG＝45°；(2)如圖2，在(1)的條件下，設(shè)BD和AE的交點(diǎn)為H，BG＝8，DH＝9，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6.【分析】（1）作GM⊥BC于M，連接GE、GC，如圖1，由正方形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，再證明△ADG≌△CDG得到AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，接著利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到GC=GE，∠5=∠4，∠2=∠3，從而得到∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，再證明△AGE為等腰直角三角形得到∠AEG=45°，從而得到∠FEA+∠DAG=45°；

（2）把△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，連接QH，如圖2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，再證明△QAH≌△GAH得到HQ=HG，設(shè)BH=x，用x表示出則HG=HQ=8-x，BQ=x+1，然后在Rt△BQH中利用勾股定理得到（x+1）2+x2=（8-x）2，解得x=3，則BD=BH+DH=12，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AD．【詳解】(1)證明：作GM⊥BC于M，連接GE，GC，如答圖1.∵四邊形ABCD為正方形，∴DA＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°.在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，∠DAG＝∠1，∠AGD＝∠CGD．∵G為DF的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BC，GM⊥BC，DC⊥BC，∴GM為梯形CDFE的中位線，∴EM＝CM，∴GE＝GC，∠5＝∠4，∴GM平分∠EGC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠6＝∠DAG，GA＝GE.∵GM∥CD，∴∠MGD＝180°－∠GDC＝135°，即∠2＋∠DGC＝135°，∴∠AGD＋∠3＝∠2＋∠DGC＝135°，∴∠AGE＝90°，∴△AGE為等腰直角三角形，∴∠AEG＝45°，即∠FEA＋∠6＝45°.∴∠FEA＋∠DAG＝45°.(2)把△ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，連接QH，如答圖2，∴∠ABQ＝∠ABD＝45°，AQ＝AG，BQ＝DG，∠QAG＝90°.∵∠FEA＋∠DAG＝45°，而∠FEA＝∠BAE，∴∠BAE＋∠DAG＝45°，∴∠EAG＝45°，∴∠QAE＝45°.在△QAH和△GAH中，∴△QAH≌△GAH，∴HQ＝HG.設(shè)BH＝x，則HG＝BG－BH＝8－x，∴HQ＝8－x.∵DH＝BG＋DG－BH，∴DG＝9－8＋x＝x＋1，∴BQ＝x＋1.∵∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°，∴△BQH為直角三角形，∴BQ2＋BH2＝QH2，即(x＋1)2＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BD＝BH＋DH＝3＋9＝12，∴AD＝BD＝6.【思考區(qū)】本題考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解題關(guān)鍵是證明全等三角形和直角三角形．8．如圖：在中，、分別平分與它的鄰補(bǔ)角，于，于，直線分別交、于、．求證：四邊形為矩形；試猜想與的關(guān)系，并證明你的猜想；如果四邊形是菱形，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）且，證明詳見(jiàn)解析；（3）是直角三角形，證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC=∠AFC=90°，再由，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD，能證出∠ECF=90°，從而得證．

（2）由矩形的性質(zhì)可證NE=NC，從而可代換出內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，又因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理相應(yīng)的推論可知M是AB的中點(diǎn)．

（3）求出∠ACE=∠EAC=45°，求出AE=CE，根據(jù)菱形的判定推出即可．【詳解】證明：∵于，于，∴，又∵、分別平分與它的鄰補(bǔ)角，∴，，∴，∴三個(gè)角為直角的四邊形為矩形；（2）且；證明：∵四邊形為矩形，∴對(duì)角線相等且互相平分，∴，∴，∴，又∵（矩形的對(duì)角線相等且互相平分），∴是的中位線，∴；解：是直角三角形，理由是：∵，平分，平分，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴四邊形是菱形．【思考區(qū)】考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定及三角形的中位線定理，關(guān)鍵是①由已知推出四邊形AECF的三個(gè)角為直角；②由矩形的性質(zhì)可證NE=NC，從而可代換出內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，又因?yàn)镹是AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理相應(yīng)的推論可知M是AB的中點(diǎn)．9．（感知）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且DE∥AB，易證AD＝BE（不需要證明）.（探究）連結(jié)圖①中的AE，點(diǎn)M、N、P分別為DE、AE、AB的中點(diǎn)，順次連結(jié)M、N、P，其它條件不變，如圖②，求證：△MNP是等腰直角三角形.（應(yīng)用）將圖②中的點(diǎn)D、E分別移動(dòng)到AC、BC的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，在連結(jié)BD，并取其中點(diǎn)Q，順次連結(jié)M、N、P、Q，如圖③，若＝，且DE＝，則四邊形MNPQ的面積為.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)要證明△MNP是等腰直角三角形，就是要證明MN=PN以及∠MNP=90°.由“感知”環(huán)節(jié)可知容易證AD=BE，分析題意知MN與PN分別為△AED與△BAE的中位線，故不難證明MN=PN.通過(guò)中位線得到的平行關(guān)系，利用同位角和內(nèi)錯(cuò)角可將∠MNP轉(zhuǎn)化為Rt△ACE的兩銳角之和，容易證明∠MNP=90°，進(jìn)而證明△MNP是等腰直角三角形.(2)分析題意可知，四邊形MNPQ的四條邊均為相應(yīng)三角形的中位線.據(jù)此不難證明四邊形MNPQ是平行四邊形.根據(jù)等腰直角三角形ABC的相關(guān)條件可以證明∠NPQ為直角，進(jìn)而證明四邊形MNPQ是矩形.根據(jù)已知條件不難求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形ABC的相關(guān)條件可求得BC和AC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用相似三角形可以求得EC和CD的長(zhǎng).在此基礎(chǔ)上根據(jù)中位線定理不難獲得NP和PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而求得矩形MNPQ的面積.試題解析：(1)下面解答“探究”環(huán)節(jié).證明：∵DE∥AB，∴，∵AC=BC，∴AD=BE.∵點(diǎn)M與點(diǎn)N分別為DE與AE的中點(diǎn)，∴MN∥AD，，∴∠MNE=∠CAE.∵點(diǎn)N與點(diǎn)P分別為AE與AB的中點(diǎn)，∴NP∥BE，，∴∠PNE=∠AEC.∵AD=BE，∴MN=PN.∵∠C=90°，∴在Rt△ACE中，∠CAE+∠AEC=90°，∴∠MNP=∠MNE+∠PNE=∠CAE+∠AEC=90°.∵M(jìn)N=PN，∠MNP=90°，∴△MNP是等腰直角三角形.(2)下面解答“應(yīng)用”環(huán)節(jié).本小題應(yīng)填寫(xiě)：4.求解過(guò)程如下.∵點(diǎn)M與點(diǎn)N分別為DE與AE的中點(diǎn)，∴MN∥AD，∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別為AB與BD的中點(diǎn)，∴PQ∥AD，，∴MN∥PQ.同理，NP∥BE，，MQ∥BE，∴NP∥MQ.∵M(jìn)N∥PQ，NP∥MQ，∴四邊形MNPQ為平行四邊形.∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵NP∥BE，∴∠APN=∠ABC=45°，∵PQ∥AD，∴∠BPQ=∠BAC=45°，∴∠NPQ=180°-∠APN-∠BPQ=180°-45°-45°=90°，∴平行四邊形MNPQ為矩形.∵，，∴，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AC=BC，∴在Rt△ACB中，.∴AC=BC=3.∵DE∥AB，∴△ECD∽△BCA，∴，∴，.∴BE=BC+EC=3+1=4，AD=AC+CD=3+1=4.∴，，∴矩形MNPQ的面積為，即四邊形MNPQ的面積為4.思考區(qū)：本題綜合考查了三角形的中位線和相似三角形的相關(guān)知識(shí).解決本題的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用中位線定理獲得平行關(guān)系和線段的數(shù)量關(guān)系.另外，順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是中點(diǎn)四邊形，中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.10．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）.【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即