振動(dòng)力學(xué)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)主講：殷玉楓教授太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院2007-9-9教學(xué)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼無阻尼自由振動(dòng)令x為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ為靜變形。當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律，得：在靜平衡位置：固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置0x靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置m固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程：令：?jiǎn)挝唬夯《?秒（rad/s）則有：通解：任意常數(shù)，由初始條件決定振幅：初相位：固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無關(guān)系不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)設(shè)的初始位移和初始速度為：令：有：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)刻以后的自由振動(dòng)解為：零時(shí)刻的初始條件：零初始條件下的自由振動(dòng)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)零初始條件下的自由振動(dòng)：無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無休止。初始條件的說明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)零初始條件下的自由振動(dòng)：無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無休止。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)初始條件：固有頻率從左到右：時(shí)間位置固有頻率計(jì)算的另一種方式：在靜平衡位置：則有：對(duì)于不易得到m和k的系統(tǒng)，若能測(cè)出靜變形，則用該式計(jì)算是較為方便的。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置例：提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)Wv重物以v=15m/s的速度勻速下降時(shí)解：振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置則t=0時(shí)，有：振動(dòng)解：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)W靜平衡位置kxWv振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)Wv例：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞梁長(zhǎng)L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mh0l/2l/2解：由材料力學(xué)：自由振動(dòng)頻率為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形mh0l/2l/2x靜平衡位置撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則t=0時(shí)，有：則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大擾度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)mh0l/2l/2x靜平衡位置例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置扭振固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置例：復(fù)擺剛體質(zhì)量m對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)a0C解：由牛頓定律：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：則有：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法若已測(cè)出物體的固有頻率,則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)a0C單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時(shí)彈簧無伸長(zhǎng)，且速度為零求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程m300重力角速度取9.8單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)初始條件：考慮方向初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：m300教學(xué)內(nèi)容無阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)能量法對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能T和勢(shì)能V之和保持不變，即：或：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)能：勢(shì)能：（重力勢(shì)能）（彈性勢(shì)能）不可能恒為0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置動(dòng)能：勢(shì)能：設(shè)新坐標(biāo)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置上，方程中就不會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng)。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量靜平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能達(dá)到最大單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)：x是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置xmax0mx例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺擺球質(zhì)量m剛桿質(zhì)量忽略每個(gè)彈簧的剛度求:(1)倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率(2)擺球時(shí)，測(cè)得頻率為，時(shí)，測(cè) 得頻率為，問擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰 使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)lmak/2k/2解法1：廣義坐標(biāo)動(dòng)能勢(shì)能平衡位置1零平衡位置1單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)lmak/2k/2解法2：平衡位置2動(dòng)能勢(shì)能零平衡位置2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：均質(zhì)圓柱質(zhì)量m，半徑R與地面純滾動(dòng)在A、B點(diǎn)掛有彈簧確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率k1abRk1k2k2AB單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角圓柱做一般運(yùn)動(dòng)，由柯希尼定理，動(dòng)能：C點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)瞬心勢(shì)能：CA點(diǎn)速度：B點(diǎn)速度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)解：k1abRk1k2k2AB動(dòng)能：勢(shì)能：C單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1Rk2Mm例：鉛垂平面內(nèi)一個(gè)滑輪-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率滑輪為勻質(zhì)圓柱，繩子不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無滑動(dòng)，繩右下端與地面固結(jié)。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：k1Rk2Mm廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移x動(dòng)能：x勢(shì)能：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)解：k1Rk2Mm廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移x動(dòng)能：x勢(shì)能：教學(xué)內(nèi)容無阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mkx0例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能:系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能：若忽略，則增大單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)彈簧等效質(zhì)量mtmkx0教學(xué)內(nèi)容無阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫成如下形式：當(dāng)、分別取最大值時(shí)：則可得出：Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)動(dòng)能勢(shì)能單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)零平衡位置1lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1abRk1k2k2AB動(dòng)能勢(shì)能單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1Rk2Mmx動(dòng)能勢(shì)能方法2：定義法等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：串聯(lián)系統(tǒng)總變形：在質(zhì)量塊上施加力P彈簧1變形：彈簧2變形：根據(jù)定義：或Pmk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：受力不等：在質(zhì)量塊上施加力

P由力平衡：根據(jù)定義：并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和Pmk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo)x的等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1k2m1m2l1l2l3x解法1：能量法動(dòng)能：勢(shì)能：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量：等效剛度：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x解法2：定義法設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對(duì)支座取矩：則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對(duì)支點(diǎn)取矩：PPk1k2m1m2l1l2l3x教學(xué)內(nèi)容無阻尼自由振動(dòng)能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動(dòng)等效粘性阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)粘性阻尼力與相對(duì)速度稱正比，即：c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)單位：動(dòng)力學(xué)方程：或?qū)憺椋汗逃蓄l率相對(duì)阻尼系數(shù)mkc單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)建立平衡位置，并受力分析mx0動(dòng)力學(xué)方程：令：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)第一種情況：欠阻尼動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)兩個(gè)復(fù)數(shù)根欠阻尼振動(dòng)解：設(shè)初始條件：則：或：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)欠阻尼振動(dòng)解：阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期：T0：無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)ξ=0ξ<1時(shí)間位置欠阻尼響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)ξ<1ξ=0不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)不同阻尼大小下的振動(dòng)衰減情況：阻尼?。鹤枘岽笞枘岽螅瑒t振動(dòng)衰減快阻尼小，則衰減慢評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響與t無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為衰減振動(dòng)的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部減幅系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值：減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰減率：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)求解利用相隔j個(gè)周期的兩個(gè)峰值進(jìn)行求解得：當(dāng)較小時(shí)（）單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)第二種情況：過阻尼動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)過阻尼振動(dòng)解：設(shè)初始條件：則：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)圖形第三種情況：臨界阻尼動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：二重根振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：臨界阻尼則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生小結(jié)：動(dòng)力學(xué)方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過阻尼衰減快振幅衰減振動(dòng)例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對(duì)阻尼系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kcx0x0Pm平衡位置解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時(shí)刻t1質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為：即經(jīng)過半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅x1單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kcx0x0Pm平衡位置由題知解得：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)例：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)剛桿質(zhì)量不計(jì)求：（1）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb解