隨機(jī)信號(hào)分析與應(yīng)用第三章

第三章

隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)分析

隨機(jī)信號(hào)分析2023/1/3123.1線性系統(tǒng)基本理論3.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性2023/1/3133.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/314系統(tǒng)可分為：（1）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器（2）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器對(duì)于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，可以求出系統(tǒng)輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性3.1線性系統(tǒng)的基本理論2023/1/315下面的分析限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時(shí)不變的、線性的和物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)；離散時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。連續(xù)與離散系統(tǒng)：（1）線性性：（2）時(shí)不變：

線性時(shí)不變系統(tǒng)：稱作算子2023/1/316什么是線性系統(tǒng)？時(shí)不變線性系統(tǒng)連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)離散時(shí)不變線性系統(tǒng)3.1線性系統(tǒng)的基本理論2023/1/317時(shí)不變線性系統(tǒng)若任意常數(shù)a,b,輸入信號(hào)x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]若輸入信號(hào)x(t)時(shí)移時(shí)間C,輸出y(t)也只引起一個(gè)相同的時(shí)移，即y(t-C)=L[x(t-C)]L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]3.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？2023/1/318連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？與單位沖擊響應(yīng)的卷積2023/1/3193.1線性系統(tǒng)的基本理論3.1.2連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法1.時(shí)域分析2．頻域分析3.物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時(shí)，所有實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。2023/1/31103.1線性系統(tǒng)的基本理論3.1.3離散時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法1.時(shí)域分析2．頻域分析3.物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時(shí)，，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。物理可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)。2023/1/31113.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/3112在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號(hào)的某個(gè)統(tǒng)計(jì)特性只取決于輸入信號(hào)的相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性。根據(jù)輸入隨機(jī)信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，再加上已知線性系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)或傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機(jī)信號(hào)相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

分析方法：卷積積分法；頻域法。3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2023/1/31133.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2023/1/31143.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析?輸入為隨機(jī)信號(hào)X(t)的某個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)樣本函數(shù)，則輸出為：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個(gè)確定性函數(shù)一個(gè)確定性函數(shù)2023/1/31153.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析對(duì)于隨機(jī)信號(hào)任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。：

那么對(duì)于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程2023/1/31163.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析證明

若為平穩(wěn)SP，則2023/1/31173.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為2023/1/31183.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為

(3.2.8

若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2023/1/31193.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31203.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31213.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31223.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達(dá)式為

2023/1/31233.2.1時(shí)域分析法

系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析前提:系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)。在這種情況下，t=0系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài)結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷2023/1/31243.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則有：

2023/1/31253.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2023/1/31263.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?/p>

對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，若時(shí)移常數(shù)T，有輸出和分別是輸入和與的卷積，即可以表示成級(jí)數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號(hào)是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以與具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣與也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。2023/1/31273.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析由的寬遍歷的定義得結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷則輸出的時(shí)間平均2023/1/31283.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷

2023/1/31293.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

例3.1如圖3.1所示的低通電路，已知輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：①求輸出均值；②輸出的自相關(guān)函數(shù)；③輸出平均功率；④輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：2023/1/31303.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

例3.2應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)的白噪聲，如果測(cè)得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個(gè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2023/1/31313.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31323.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31333.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2023/1/31343.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31353.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系當(dāng)不可積時(shí)，可積。因此對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，通常情況下其拉氏變換存在。

2023/1/31363.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/31373.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析2023/1/31383.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的輸出等于輸入信號(hào)與單位沖激響應(yīng)的卷積和可以證明，在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。2023/1/31393.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析證明

若為平穩(wěn)SP，則2023/1/31403.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析

2023/1/31413.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析

2023/1/31423.3.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析

2023/1/31433.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計(jì)算2023/1/31443.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計(jì)算若系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的，那么有2023/1/31453.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計(jì)算系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為2023/1/31463.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計(jì)算式中l(wèi)代表z平面上的單位圓2023/1/31473.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)分析設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為或，其輸入白噪聲功率譜密度為＝，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為

或物理譜密度為2023/1/31483.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)分析輸出自相關(guān)函數(shù)為

輸出平均功率為

注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因?yàn)闊o(wú)線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過(guò)的原因。

2023/1/31493.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.23dB帶寬2023/1/31503.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是困難的。在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，在等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。2023/1/3151等效的原則

理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下,兩個(gè)系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3152計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵(lì)

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3153實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對(duì)于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對(duì)于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3154實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

拉氏變換

代入

系統(tǒng)輸出平均功率

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3155小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時(shí)，僅使用參數(shù)和就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3156A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3157A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3158A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3159A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3160A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3161A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

該式表明：輸出隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說(shuō)，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時(shí)間越小，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化就越緩慢。

2023/1/3162A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31633.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

2023/1/31643.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

輸出相關(guān)函數(shù)為

2023/1/3165輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當(dāng)滿足時(shí)，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢?jiàn)是RY()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31663.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31673.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間一致：2023/1/31683.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜系統(tǒng)輸出功率譜為

2023/1/31693.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù)

2023/1/31703.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù)

2023/1/31713.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出平均功率

相關(guān)系數(shù)2023/1/31723.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜

等效噪聲帶寬相關(guān)時(shí)間2023/1/31733.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3174線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)信號(hào)的概率分布難輸入隨機(jī)信號(hào)為高斯過(guò)程

系統(tǒng)輸入為非高斯過(guò)程，其帶寬遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的通頻帶的情況

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3175線性系統(tǒng)輸入為高斯過(guò)程，則該系統(tǒng)輸出仍為高斯過(guò)程若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為非高斯分布，只要輸入過(guò)程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時(shí)，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

為什么上述兩種情況下成立?2023/1/3176線性系統(tǒng)輸入為高斯過(guò)程，則該系統(tǒng)輸出仍為高斯過(guò)程級(jí)數(shù)表示若我們將X(t)和Y(t)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程都用相應(yīng)的多維隨機(jī)變量來(lái)代替。于是，隨機(jī)過(guò)程的線性變換實(shí)際上可以看成是由一組線性方程組表示的多維隨機(jī)變量的線性變換。這樣，根據(jù)第一章的有關(guān)結(jié)論可知：當(dāng)X(t)為高斯過(guò)程時(shí)，多維高斯變量經(jīng)線性變換以后，得到的多維隨機(jī)變量仍是高斯型的。因此Y(t)是高斯過(guò)程。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

7676

(a)

(b)2023/1/3177若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為非高斯分布，只要輸入過(guò)程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時(shí)，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過(guò)程?；舅枷耄涸谑?a)中，根據(jù)中心極限定理，大量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布接近于高斯分布。因此，Y(t)接近于高斯分布。條件：（1）隨機(jī)變量必須相互獨(dú)立；（2）獨(dú)立隨機(jī)變量求和的數(shù)目要足夠多。為隨機(jī)變量，它是非高斯的。How?How?3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3178分析：下面研究使非高斯隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)下的線性系統(tǒng)輸出端的隨機(jī)信號(hào)的分布趨于高斯分布的條件。輸入隨機(jī)過(guò)程采樣值之間相互獨(dú)立的條件之間是互不相關(guān)的；隨機(jī)變量求和數(shù)目足夠多的條件設(shè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的建立時(shí)間為，則輸出可近似寫(xiě)成：其中，，顯然，隨機(jī)變量求和數(shù)目足夠多的條件是之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為非高斯分布，只要輸入過(guò)程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時(shí)，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。2023/1/3179物理解釋：線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有惰性，不能立即對(duì)輸入信號(hào)作出響應(yīng)，它需要有一定的建立時(shí)間足夠小于是輸出過(guò)程的分布將與原輸入過(guò)程的分布相接近足夠大綜上所述，當(dāng)，或簡(jiǎn)寫(xiě)為時(shí)，輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)在任意時(shí)刻t上，皆為大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和。因此，線性系統(tǒng)在非高斯隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)下，其輸出隨機(jī)信號(hào)的分布趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)信號(hào)是否服從高斯分布無(wú)關(guān)。系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)近似于這時(shí)系統(tǒng)對(duì)輸入響應(yīng)極快，使輸入過(guò)程通過(guò)系統(tǒng)后失真很小這樣當(dāng)輸入為非高斯過(guò)程時(shí)，在輸出就不可能得到高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬2023/1/3180因?yàn)槿绻敲醇摧斎脒^(guò)程的相關(guān)時(shí)間與其等效噪聲帶寬成反比即系統(tǒng)建立時(shí)間與其3dB帶寬成反比線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時(shí)，系統(tǒng)輸出過(guò)程的概率接近于高斯分布。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/31813.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.1希爾伯特變換

設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù)，它的希爾伯特變換記作（或記作）

2023/1/31823.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特變換的單位沖激響應(yīng)及其傳遞函數(shù)證明：由對(duì)稱性性質(zhì)：若，則因?yàn)?，所以整理得?023/1/31833.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特逆變換

為希爾伯特逆變換的單位沖激響應(yīng)證明：若輸入信號(hào)為通過(guò)一個(gè)濾波器輸出為2023/1/31843.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.1希爾伯特變換

證明：若輸入信號(hào)為通過(guò)一個(gè)濾波器輸出為顯然有：所以反變換2023/1/31853.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器2023/1/31863.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

定義：給定任一實(shí)隨機(jī)過(guò)程定義一復(fù)隨機(jī)過(guò)程的希爾伯特變換是為實(shí)隨機(jī)過(guò)程的復(fù)解析過(guò)程，簡(jiǎn)稱解析過(guò)程。2023/1/31873.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則也是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過(guò)程，輸出也為平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。2023/1/31883.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則也是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同經(jīng)付氏反變換，得：2023/1/31893.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則也是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）證明代入令2023/1/31903.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則也是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）證明2023/1/31913.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（1）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則也是實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）（4）2023/1/31923.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（5）證明：=2023/1/31933.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）2023/1/31943.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）（8）證明：由性質(zhì)3，=兩邊取付氏變換得2023/1/31953.5希爾伯特變換和解析過(guò)程3.5.2解析過(guò)程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）（8）（9）證明：由性質(zhì)7，兩邊取付氏變換2023/1/31963.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.1窄帶隨機(jī)過(guò)程

定義：若的功率譜密度滿足

且，稱為高頻窄帶隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱窄帶隨機(jī)過(guò)程2023/1/31973.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.1窄帶隨機(jī)過(guò)程

2023/1/31983.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.2窄帶隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式

包絡(luò)相位中心頻率2023/1/31993.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.2窄帶隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式

包絡(luò)相位中心頻率萊斯表達(dá)式2023/1/311003.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)為平穩(wěn)過(guò)程，且假設(shè)其均值為0。

2023/1/311013.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程證明：因?yàn)楹投际菍?shí)過(guò)程。由都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程所以2023/1/311023.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311033.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：因?yàn)橛杉僭O(shè)，所以，因此，2023/1/311043.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311053.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)證明：+++因?yàn)椋?，所以它與t無(wú)關(guān)2023/1/311063.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311073.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)3，當(dāng)2023/1/311083.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311093.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：++2023/1/311103.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311113.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)5，2023/1/311123.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311133.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：+2023/1/311143.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實(shí)隨機(jī)過(guò)程都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311153.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)3，有兩邊取付氏變換，注意=2023/1/311163.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：2023/1/311173.6窄帶隨機(jī)過(guò)程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

2023/1/311183.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.1窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)與相位的慢變化特性定理：當(dāng)為窄帶隨機(jī)過(guò)程，即的功率譜帶寬是慢變換的隨機(jī)過(guò)程。和，證明：因?yàn)槭堑皖l限帶隨機(jī)過(guò)程，即它們的功率譜只在區(qū)間內(nèi)非0，且則=2023/1/311193.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性證明：此式說(shuō)明：若，在t到的時(shí)間內(nèi)，的變化的均方值遠(yuǎn)小于的均方值。因?yàn)?，即，令由切比雪夫不等式：令，注意帶入上式，得?023/1/311203.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性證明：即，即足夠小時(shí)，對(duì)于給定的右式趨近于0。這就是說(shuō)，為窄帶隨機(jī)過(guò)程時(shí)，在一個(gè)高頻周期內(nèi)，的變化大于的概率趨于0。也就是說(shuō)，為慢變換的隨機(jī)過(guò)程，同理，也為慢變化隨機(jī)過(guò)程，則包絡(luò)，相位也是慢變化的隨機(jī)過(guò)程。2023/1/311213.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度假設(shè)窄帶高斯實(shí)隨機(jī)過(guò)程的均值為0，方差為表示成萊斯表示式令t固定，邊沿概率密度二維r.v.函數(shù)的概率密度變換2023/1/311223.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度關(guān)于at和bt的統(tǒng)計(jì)特性2023/1/311233.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度利用二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度變換有：式中J為雅可比行列式，有==2023/1/311243.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度2023/1/311253.7窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性3.7.3窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)平方的概率密度已經(jīng)推導(dǎo)出=概率密度為指數(shù)函數(shù)2023/1/311263.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)假設(shè)式中a、為已知常數(shù)；均勻分布的隨機(jī)變量平穩(wěn)窄帶實(shí)高斯隨機(jī)過(guò)程，具有零均值和方差功率譜密度對(duì)稱于表示成萊斯表示式2023/1/311273.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)令于是，低頻限帶隨機(jī)過(guò)程同樣準(zhǔn)正弦振蕩慢變化隨機(jī)過(guò)程概率密度函數(shù)?2023/1/311283.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)先把固定，再把t固定，得到隨機(jī)變量1、求條件二維聯(lián)合概率密度函數(shù)互相獨(dú)立的高斯變量2023/1/311293.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)2、由隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布求2023/1/311303.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)2023/1/311313.8正弦信號(hào)與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號(hào)與窄帶隨機(jī)過(guò)程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)3.由邊沿分布求的條件概率密度為因此正弦型信號(hào)加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的一維概率密度為132時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析對(duì)于隨機(jī)信號(hào)任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。：

那么對(duì)于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程2、輸出的均值

若為平穩(wěn)SP，則3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2023/1/31134時(shí)域分析法

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31134

2023/1/31135平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則有：

2023/1/31136平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2023/1/31137平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?/p>

對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，若時(shí)移常數(shù)T，有輸出和分別是輸入和與的卷積，即可以表示成級(jí)數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號(hào)是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以與具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣與也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。2023/1/31138平穩(wěn)性和遍歷性由的寬遍歷的定義得結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷則輸出的時(shí)間平均2023/1/31139平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷

2023/1/31140隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

例3.1如圖3.1所示的低通電路，已知輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：①求輸出均值；②輸出的自相關(guān)函數(shù)；③輸出平均功率；④輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：2023/1/31141隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析

例3.2應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)的白噪聲，如果測(cè)得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個(gè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2023/1/31142頻域分析法

隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值2023/1/31

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度2023/1/31143頻域分析法

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2023/1/31頻域分析法3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度2023/1/311453.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)分析輸出自相關(guān)函數(shù)為

輸出平均功率為

注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因?yàn)闊o(wú)線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過(guò)的原因。

2023/1/311463.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.23dB帶寬2023/1/311473.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是困難的。在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，在等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。2023/1/31148等效的原則

理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下,兩個(gè)系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31149計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵(lì)

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31150實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對(duì)于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對(duì)于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31151A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31152A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31153A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31154A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31155A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31156A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng)

該式表明：輸出隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說(shuō)，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時(shí)間越小，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號(hào)隨時(shí)間變化就越緩慢。

2023/1/31157A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311583.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

2023/1/311593.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

輸出相關(guān)函數(shù)為

2023/1/31160輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當(dāng)滿足時(shí)，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢?jiàn)是RY()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311613.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311623.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)

輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間一致：2023/1/311633.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4