控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差描述控制系統(tǒng)的微分方程(3.73)式（3.73）是一個高階微分方程，方程的解可以表示為(3.74)式中，前兩項是方程的通解，而是方程的一個特解。隨時間的增大，方程的通解逐漸減小，方程的解y(t)越來越接近特解。當時，方程的通解趨于零這時系統(tǒng)進入了穩(wěn)定狀態(tài)。特解是由輸入量確定的，反映了控制的目標和要求。系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，能否達到預期的控制目的，能否滿足必要的控制精度，要解決這個問題，就必須對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性進行分析。穩(wěn)態(tài)特性的性能指標就是穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的誤差可以表示為(3.75)式中是被控制變量的期望值，y(t)是被控制變量的實際值，即控制系統(tǒng)的輸出。穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，在輸入變量的作用下，動態(tài)過程結束后，進入穩(wěn)定狀態(tài)的誤差，稱為穩(wěn)態(tài)誤差圖3.23單位反饋和非單位反饋系統(tǒng)a)單位反饋系統(tǒng)；（b)非單位反饋系統(tǒng)在控制工程中，常用控制系統(tǒng)的偏差信號來表示誤差。對圖3.23（a)所示的單位反饋系統(tǒng)，誤差與偏差的含義是相同的，即(3.76)式中r(t)為系統(tǒng)的給定值，也就是輸出y(t)的期望值。單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:(3.77)對圖3.23（b)所示的非單位反饋系統(tǒng)，因為反饋變量f(t)并不與輸出變量y(t)完全相同，所以給定值與反饋變量之差，即偏差并不是（3.75）式意義上的誤差。但如果反饋環(huán)節(jié)H(s)不含有積分環(huán)節(jié)，在時，由于暫態(tài)項的消失，反饋量與輸出量之間就只差一個比例系數我們認為反饋量可以代表輸出量，于是，定義非單位反饋系統(tǒng)的誤差為(3.78)式中r(t)是非單位反饋系統(tǒng)的給定值，f(t)是反饋信號。根據圖3.23（b)非單位反饋系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間信號的關系，可得(3.79)如果把單位反饋系統(tǒng)看成是一般反饋系統(tǒng)的特殊情況，則（3.79）式就被定義為控制系統(tǒng)誤差的拉普拉斯變換表達式。根據拉普拉斯變換的終值定理得即(3.80)式（3.80）表明，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅僅是由系統(tǒng)本身的特性決定的，還與輸入函數有關。同一個系統(tǒng)在輸入信號不同時，可能有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。也就是說控制系統(tǒng)對不同的輸入信號，控制精度是不同的。 積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響式（3.80）中的開環(huán)傳遞函數可以表示為(3.81)式中K表示系統(tǒng)的開環(huán)放大系數。 N表示開環(huán)傳遞函數所包含的積分環(huán)節(jié)數。在分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時，我們根據系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數所含的積分環(huán)節(jié)數來對系統(tǒng)進行分類。若N=0，即控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數不含積分環(huán)節(jié)， 稱為0型系統(tǒng)。若N=I,則稱為I型系統(tǒng)。N=Ⅱ,稱為Ⅱ型系統(tǒng)。現在，我們來討論不同類型的控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。單位階躍函數輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍函數輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.82)如果我們定義(3.83)式中稱為位置誤差系數，則單位階躍輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.84)對于

0型系統(tǒng)(3.85)(3.86)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.87)式（3.87）說明，0型系統(tǒng)在單位階躍輸入下是有穩(wěn)態(tài)誤差的。所以我們稱 0型系統(tǒng)對單位階躍輸入是有差系統(tǒng)?？梢酝ㄟ^增大開環(huán)放大系數 K使穩(wěn)態(tài)誤差減小，但不能消除，因為系統(tǒng)本身的特性決定了穩(wěn)態(tài)誤差不可能完全消除。對于Ⅰ型或Ⅱ型系統(tǒng)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為Ⅰ型(3.88)Ⅱ型(3.89)系統(tǒng)的位置誤差系數(3.90)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.91)3.91）式說明，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，系統(tǒng)必須含有積分環(huán)節(jié)。可以看出，積分環(huán)節(jié)具有消除穩(wěn)態(tài)誤差的作用。單位斜坡函數輸入的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡函數輸入下控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定義(3.93)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.94)式中，稱為速度誤差系數。對于0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.95)對于Ⅰ型系統(tǒng)(3.96)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.97)式中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數。對于Ⅱ型系統(tǒng)(3.98)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.99)在單位斜坡函數輸入下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大。這說明 0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡函數。I型系統(tǒng)雖然可以跟蹤單位斜坡輸入函數，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，即I型系統(tǒng)對斜坡輸入是有差的。若要在單位斜坡函數作用下達到無穩(wěn)態(tài)誤差的控制精度，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數必須含有二個以上的積分環(huán)節(jié)。單位拋物線函數輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位拋物線輸入函數作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.100)定義(3.101)則有(3.102)式中稱為加速度誤差函數。對0型系統(tǒng)(3.103)對表3.2 典型輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類型誤差系數輸入r(t)=1輸入r(t)=t輸入r(t)=0型K00Ⅰ型K0０Ⅱ型K００Ⅰ型系統(tǒng)(3.104)對Ⅱ型系統(tǒng)(3.105)為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數。在拋物線函數輸入下，0型、Ⅰ型系統(tǒng)都不能使用。Ⅱ型系統(tǒng)則是有差的。若要消除穩(wěn)態(tài)誤差，必須選擇Ⅲ型以上的系統(tǒng)。但系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)太多，動態(tài)特性就會變壞，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。工程上很少應用Ⅱ型以上的系統(tǒng)。表 3.2給出了典型輸入函數作用下各型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。從以上討論中可以得出結論：積分環(huán)節(jié)具有消除穩(wěn)態(tài)誤差的作用。這就是許多控制系統(tǒng)中引入積分環(huán)節(jié)的原因。誤差系數是利用拉普拉斯變換終值定理得出的，它只是時間趨于無窮大時的值，因此是靜態(tài)誤差系數，它們并不反映誤差隨時間變化的情況。 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差以上我們討論了控制系統(tǒng)對給定值信號的穩(wěn)態(tài)誤差。在控制系統(tǒng)受到擾動時，即使給定值不變，也會產生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的元件受環(huán)境影響、老化、磨損等會使系統(tǒng)特性發(fā)生變化，也可以產生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差大小反映了系統(tǒng)抗干擾的能力。圖3.24是一個控制系統(tǒng)的結構圖。我們現在來討論這個系統(tǒng)在擾動d(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。按疊加原理，我們假定R(s)=0,系統(tǒng)中只有擾動輸入。系統(tǒng)在擾動作用下的輸出為圖3.24控制系統(tǒng)結構圖誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得(3.106)值得說明的是，擾動穩(wěn)態(tài)誤差與干擾的作用點有關。所以式（3.106）只適用圖3.24所示的系統(tǒng)。若要求系統(tǒng)在給定值輸入和擾動輸入同時作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，只要將二者疊加就可以了。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差也是系統(tǒng)的一項重要