同濟(jì)-理論力學(xué)-第03章-空間力系

靜力學(xué)理論力學(xué)一、力的投影1).一次投影法已知：F、夾角求:Fx、Fy、Fz。Fx=Fcosa,xyzagbFcabFy=Fcosb,Fz=Fcosg。第三章空間力系

空間力系：在空間上任意作用的力系?！?-1力對(duì)點(diǎn)之矩與軸之矩關(guān)系2).合成已知：Fx、Fy、Fz，求F、夾角。

Fx=Fxycosq=Fsingcosq

Fy=FsingsinqFz=Fcong3).二次投影法已知：F、夾角q，g,求：Fx、Fy、Fz

。FFxygqxy`z

Fxy=Fsing

FRx=Fix,

FRy=Fiy,FRz=Fiz,

F3FRFR2F2F4FR1F1F2F1F4F3xy`zFR4)、合力投影定理

ijk力的矢量分解式例3-1:巳知:F1=3kN,F2=2kN,求合力值。解：xy`zF1F2354FrFxyMzzM0gMx=(yFz-zFy)，Mz=(xFy-yFx)My=(zFx-xFz)，Mz=M0cosg

力對(duì)軸之矩(代)與力對(duì)點(diǎn)之矩(矢)關(guān)糸右手法則為正二、力對(duì)點(diǎn)之矩與軸之矩關(guān)系合力矩定理

My=Miy，Mz=Miz，Mx=M1x+M2x+M3x=Mix，合力對(duì)點(diǎn)(或軸)之矩等于各分力對(duì)同點(diǎn)(或軸)之矩的矢量和(代數(shù)和)。xyzFba0AB例3-2：拖拉機(jī)搖手柄OAB在oxz平面內(nèi)，在A處作用一個(gè)力F,已知：F=50N,0A=20cm,AB=18cm,a=450,b=600,求各軸之矩。解：Fx=Fcosbcosa=17.7NFy=Fcosbsina=17.7NFz=Fsinb=43.3NMx=18·43.3-20·17.7=426N·mMy=20·17.7=354N·mMz=–18·17.7=-318N·mMx=(yFz-zFy)，Mz=(xFy-yFx)My=(zFx-xFz)，x=0,y=18,z=20,三、空間力偶AF’FrABBM右手法則為正1).任意搬動(dòng)(水平、垂直)2).力偶矩矢5105=10大小、轉(zhuǎn)向F’FM等效條件kN·m一、簡(jiǎn)化F2A2AnFNzxy0zxy0M1F1F1A1FRM2F2FnMnzxy0M0簡(jiǎn)化中心附加力偶主矢：主矩：主矢，主矩§3-2簡(jiǎn)化與平衡FRx=Fix，F(xiàn)Ry=Fiy，F(xiàn)Rz=Fiz，合力矩投影定律Mx=Mix，My=Miy，Mz=Miz，合力投影定律主矢：主矩：討論:1、FR=0，M0≠0；一個(gè)力偶；2、FR≠0，M0=0；一個(gè)力；3、FR=0，M0=0，（平衡）；4、FR≠0，M0≠0；=FR’FR”00’FR(1)FRaM0FR(2)FRM‖M(3)M0(1).M0FR；FR=FR’=

FR”，(2).M0‖F(xiàn)R；(3).M0，F(xiàn)R；M

‖F(xiàn)RM000’=a=M0/FR”；右手力螺旋；右手力螺旋。一個(gè)力等效條件任意搬動(dòng)(水平、垂直)二、平衡Fix=0，F(xiàn)iy=0，F(xiàn)iz=0，Mix=0，Miy

=0，Miz=0，空間任意物體具有六個(gè)平衡方程可解六個(gè)未知量。空間匯交力系平衡方程空間力偶力系平衡方程Fix=0，F(xiàn)iy=0，F(xiàn)iz=0，Mix=0，Miy=0，Miz

=0，空間平行力系平衡方程Fiz=0，Mix=0，Miy

=0，具有三個(gè)平衡方程可解三個(gè)未知量。例3－3：重量P=1kN，A是球鉸支座、A、B、C點(diǎn)是固定在同一墻上，求：桿AD、繩DB，DC的約束內(nèi)力。解：這是空間匯交力系，取D點(diǎn)為匯交點(diǎn)，BE=CE,DB=DC,則：FDB=FDCFDB=FDC=289N。FDCFDAFDBP[D]xyzPCBE450AD450300450450450例3－4：起重機(jī)起吊重量P=1kN，求：立柱AB、繩BC，BD，

BE的拉力。解：B點(diǎn)有四個(gè)未知力匯交，故先從C點(diǎn)求解，[C]

平面匯交力系Fix’=0,FCBsin300一Psin450=0,FCB=1.414P，xyzPCBE450AD450300450450450例3－4A：起重機(jī)起吊重量P=1kN，求：立柱AB、繩BC，BD，

BE的拉力。解：B點(diǎn)有四個(gè)未知力匯交，x’FCAFCB450P750FBEFBDFBAFBC[B]

空間匯交力系Fix=0,FBDcos2450一FBEsin2450=0,FBD=FBEFiy=0,–2FBDcos450sin450+FBCsin750=0,Fiz=0,–2FBDsin450–

FBA+FBCcos750=0,FBA=–1.564P。柱AB受壓。例3－5：三叉桿件上作用已知力偶M1=5N·m，為平衡桿件在桿上作用約束力偶M2、M3，求：約束力偶值。解:這空間力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，300M1zyM2M3My=0,M1+M3sin300=0,M3=–10N·m,Mz=0,M2+M3cos300=0,

例3－6：工件如圖所示，它的四個(gè)面上同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的切削力偶矩均為80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。

將作用在四個(gè)面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A點(diǎn)。可得所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦解：例3－7：三輪平板車放光滑地面上，自重為：W，貨重為F，已知：F=10kN,W=8kN,求：各輪約束反力值。解：這是空間平行力系，六個(gè)平衡方程僅有三個(gè)獨(dú)立的，而Fix0，F(xiàn)iy0，MZi0，F(xiàn)AFBFCFiz=0，xyzMix

=0,(200–80)W–200·FA

=0；FA=4.8kN，F(xiàn)A

+FB+FC–W–F=0；Miy

=0，60W+(60–20)F–60·FA–2·60·FB

=0；FB=4.93kN，F(xiàn)C=8.27kN；例3－8：直角三棱柱上有作用力：F1=200N,F2=F’2=100N，求：所有力對(duì)各軸投影值與力矩值。M2解：空間力偶矢M2=F2·0.2=100N·mMx=(yFz–zFy)=–0.4·111.41–0=–44.56N·m例3－9：均質(zhì)矩形板重P=200N,板用球形鉸鏈A、蝶形鉸B與繩CE固定在墻上，若=300，求：所有約束力值。FAX=86.6N,解：這是空間力系，有六個(gè)平衡方程FBXFBZPxyzFAZFAXFAYMiz

=0,FBX=0,Miy

=0,Mix

=0,FBZ=0Fix=0,FAX+FBX–Fcos300cos600=0,Fiy=0,FAY–

Fcos2300=0,FAY=150N,Fiz=0,FBZ+FAZ–P+Fsin300=0,FAZ=100N,校核:

MDB

=0。

FF=200N例3－10：水平圓盤(pán)繞AB轉(zhuǎn)軸，A點(diǎn)為軸承，B點(diǎn)止推軸承，已知：P=100kN，r1=0.2m,r2=0.5m,a=1m,

=300，

=600，求：平衡時(shí)F力與所有約束力值FAYFAxFBxFByFBzyxzP解：

F力是任意力，可分解成Mix

=0,–3aFAy+2aP+aFy–r2cos300Fz=0;FAy

=63.6kN,Miy

=0,3aFAx+aFx+r2cos600Fz=0;FAx

=–7.32kN,Fx=Fcos600cos300=34.64kN,Fy=Fcos2600=20kN,Fz=–Fsin600=69.28kN,Miz

=0,Pr1–Fcos600r2=0;F=80kN;Fix=0,FAx+FBx+Fx=0;Fiy=0,FAy+FBy–Fy–P=0;FAYFAxFBxFByFBzyxzPFBx=–17.32kN;FBy=56.6kN;Fiz=0,–

FBz+Fz=0;FBz=69.28kN;解：

Miz

=0,Pr1–Fcos600r2=0;F=80kN;

Fx=Fcos600cos300=34.64kN,Fy=Fcos2600=–20kN,Fz=–Fsin600=–69.28kN,FAy

=63.6kN,Miy

=0,3aFAx+aFx+r2cos600Fz=0;Mix

=0,–3aFAy+2aP+aFy–r2cos300FZ=0;Fix=0,FAx+FBx+Fx=0;Fiy=0,FAy+FBy–Fy–P=0;FBx=–17.32kN;FBy=56.6kN;Fiz=0,–FBz+Fz=0;FBz=69.28kN;FAyFAxFBxFByFBzyxzPFAx

=–7.32kN,三力矩平衡方程:Mix=0，Miy

=0，Miz

=0，F(xiàn)ix=0，F(xiàn)iy=0，F(xiàn)iz=0，四力矩平衡方程:Mix=0，Miy

=0，Miz=0，F(xiàn)ix=0，F(xiàn)iy=0，MAB

=0，五力矩平衡方程:Mix=0，Miy

=0，Miz=0，F(xiàn)ix=0，MBC=0，MAB

=0，六力矩平衡方程:Mix=0，Miy

=0，Miz

=0，MCD=0，MBC=0，MAB

=0，每個(gè)空間平衡物體僅六個(gè)獨(dú)立平衡方程，證明其獨(dú)立條件很困難，但一個(gè)方程中僅一個(gè)未知量，這個(gè)方程是獨(dú)立方程。例3－11：邊長(zhǎng)為a的等邊三角形水平板上作用著力偶M，並用六根二力桿支撐，板自重不計(jì)，求：各桿的內(nèi)力。解:F1F3F6F4F5F2MAD

=0,F5cos300a·cos300+M=0;MFB

=0,F6cos300a·cos300+M=0;`MEC

=0,F4cos300a·cos300+M=0;MCA

=0,–F5a·sin600–

F2sin300a·sin600=0;MAB

=0,–F3a·sin600–

F6sin300a·sin600=0;MBC

=0,–F1a·sin600–

F4sin300a·sin600=0;例3－12：長(zhǎng)度相等、互為直角的AB、CD桿在中點(diǎn)E以鉸鏈連接，並在D端懸掛重物P=25kN，求：各約束反力。解:Fix

=0,FAx+F

Cx=0; （1） Fiy

=0,FAy+F

Cy–Fcos450=0;（2） Fiz

=0,FAZ+FCZ+Fsin450=25;（3）Mx

=0,Fsin450·AD–P·AD=0;（4）My

=0,–FAz·AC+P·AC=0; （5）Mz

=0,FAy=0; （6）六個(gè)方程有七個(gè)未知量，應(yīng)一個(gè)補(bǔ)充方程。FAyFAZFAXFCXFCyFCZF[CD]用有關(guān)的簡(jiǎn)單物體分析；聯(lián)立求解這7個(gè)方程，可解得：

FAx=–25kN，

FCx

=25kN，

FAy=0,

FCy=25kN，

FAx=25kN，

FCx=–25kN， F=35.5kN。FAyFFAZFAXFCXFCyFCZMz‘

=0,F

CxCE

·sin450–F

Cy·CEcos450=0;（7）§3-3重心My=0,Pxc=PixirirCPi(xi,yi,zi)P

(xc,yc,zc)ycxcyxzyixiMx=0,Pzc=PiziMx=0,

Pyc=Piyi繞x轉(zhuǎn)90度,有：均質(zhì)物塊：P=U,(比重

×體積U)xc=Uixi/Uyc=Ui

yi/Uzc=Uizi/U均質(zhì)板殼：P=At,(比重

×面積A

×t厚度)xc=Aixi/Ayc=Aiyi/Azc=Ai

zi/A均質(zhì)梁桿：P=LA,(比重

×長(zhǎng)度L×截面積A)xc=Lixi/Lyc=Liyi/Lzc=Lizi/LLAU積分法積分法積分法例3－13：圖示均質(zhì)扇形薄板，求：重心的位置。解：取對(duì)稱軸故yc=0，再用極坐標(biāo)示積分式。xyC如：=/2，則:xc=(4r/3)積分法rxydSd例3－14：圖示槽鋼橫截面，求：此截面重心的位置。A1