山東省聊城市陽谷縣師范中學2021年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析

山東省聊城市陽谷縣師范中學2021年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線是

（

）

A

B

C

D參考答案：Ｄ2.設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為

（）參考答案：D略4.在極坐標系中，A為直線上的動點，B為曲線上的動點，則的最小值為（

）A．1

B．2

C.

D．3參考答案：A利用平面直角坐標系與極坐標系間的轉(zhuǎn)化關系，可得直線方程，曲線．圓心到直線的距離，則．故本題答案選．

5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．

B．

C． D．均為的最大值參考答案：B6.將兩個數(shù)交換,使,下面語句中正確的一組是（

）a=cc=bb=a

b=aa=b

c=bb=aa=c

a=bb=a

A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.在區(qū)間和分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓時，（a，b）點對應的平面圖形的面積大小和區(qū)間和分別各取一個數(shù)（a，b）點對應的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計算公式進行求解．【解答】解：∵表示焦點在x軸上且離心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：則方程表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為P==1﹣=，故選B．8.如果sinx+cosx=-,且0<x<π,那么cotx的值是(

)

A.-

B.-或-

C.-

D.或-

參考答案：A9.設，則導函數(shù)等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5、S4、S6成等差數(shù)列．則數(shù)列{an}的公比為q的值等于（）A．﹣2或1 B．﹣1或2 C．﹣2 D．1參考答案：C【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】S5、S4、S6成等差數(shù)列，可得：2S4=S5+S6成等差數(shù)列．當q=1時，不成立，舍去．當q≠1時，0=2a5+a6，解出即可得出．【解答】解：∵S5、S4、S6成等差數(shù)列，∴2S4=S5+S6成等差數(shù)列，∴當q=1時，不成立，舍去．當q≠1時，0=2a5+a6，∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2．則數(shù)列{an}的公比為q=﹣2．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA=3，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑為________．參考答案：

2設圓的半徑為R,由得解得R=2．12.集合，，若，則實數(shù)的值為

參考答案：13.在等差數(shù)列中,=2，=8，則=_______參考答案：17略14.已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表：的導函數(shù)的圖象如圖所示，下列關于函數(shù)的命題：①函數(shù)的值域為；②函數(shù)在上是減函數(shù)；③如果當x∈時，的最大值是2，那么t的最大值為5；④當1<a<2時，函數(shù)有4個零點．其中真命題為________(填寫序號)．參考答案：②③試題分析：由f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．結(jié)合表格可得函數(shù)f（x）的圖象：由圖象可得：①函數(shù)f（x）的值域為，正確；②函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，正確；③如果當x∈時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，因此不正確；④當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個零點，正確．綜上可得：正確命題的個數(shù)為：3考點：命題的真假判斷與應用15.已知正方體棱長為2，與該正方體所有的棱都相切的球的表面積是_________，該正方體的外接球的體積是____________.參考答案：

8π,

4π

16.命題“若，則”的逆否命題為__________．參考答案：則．【考點】25：四種命題間的逆否關系．【分析】根據(jù)逆否命題的定義進行求解即可．【解答】解：根據(jù)逆否命題的定義得命題的逆否命題為：若則，故答案為：則．17.過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在數(shù)列中，，（Ⅰ）求出,，

（II）猜想數(shù)列通項，并證明你的結(jié)論.參考答案：(1)(2)略19.某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數(shù)學成績(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題．（1）求分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；（2）若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值(如：組區(qū)間[100,110)的中點值為＝105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此估計本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段[120,130)內(nèi)的概率．參考答案：（1）分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為：；（2）估計平均分為：（3）由題意，[110,120)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．[120,130)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．

∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，20.已知拋物線C的頂點在坐標原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標為2，且|AF|=4．（1）求拋物線的方程；（2）過點M（8，0）作直線l交拋物線于B，C兩點，求證：OB⊥OC．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出p，即可求拋物線C的方程；（2）法一：因為直線當l的斜率不為0，設直線當l的方程為x=ky+8，與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可；法二：①當l的斜率不存在時，l的方程為x=8，當l的斜率存在時，設l的方程為y=k（x﹣8），與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可．【解答】（1）解：設拋物線方程為C：y2=2px（p＞0），由其定義知|AF|=4=2+，所以p=4，y2=8x；（2）證明：法一：設B、C兩點坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），因為直線l的斜率不為0，設直線l的方程為x=ky+8，由方程組得y2﹣8ky﹣64=0，y1+y2=8k，y1y2=﹣64，因為，所以=（k2+1）y1y2+8ky（y1+y2）+64=0所以OB⊥OC．法二：①當l的斜率不存在時，l的方程為x=8，此時B（8，8），C（8，﹣8），即，有，所以OB⊥OC．②當l的斜率存在時，設l的方程為y=k（x﹣8），方程組得k2x2﹣（16k2+8）x﹣64k2=0，ky2﹣8y﹣64k=0，所以x1x2=64，y1y2=﹣64，因為，所以，所以OB⊥OC，由①②得OB⊥OC．21.已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l1：x﹣y﹣2=0相切（Ⅰ）求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．（Ⅱ）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程（Ⅲ）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由直線與圓相交的性質(zhì)可知，（）2=r2﹣d2，要求AB，只要求解圓心到直線4x﹣3y+5=0的距離．即可求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．（Ⅱ）求出圓C的方程以及以G（1，3）為圓心，QM為半徑的圓，利用圓系方程求直線MN的方程．（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯(lián)立x2+y2=4，設直線l與圓的交點P（x1，y1），Q（x2，y2），利用△＞0，以及韋達定理，通過∠POQ為鈍角，求出﹣2＜b＜2，當與反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，即可得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x﹣y﹣2的距離為圓的半徑，r==2，所以圓C的標準方程為：x2+y2=4，…所以圓心到直線l2的距離d=

…∴…（Ⅱ）因為點G（1，3），所以，所以以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6（1）又圓C方程為：x2+y2=4（2），由（1）﹣（2）得直線MN方程：x+3y﹣4=0…（Ⅲ）設直線l的方程為：y=﹣x+b聯(lián)立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，設直線l與圓的交點P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b，（3）…因為∠POQ為鈍角，所以，即滿足x1x2+y1y2＜0，且與不是反向共線，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以（4）由（3）（4）得b2＜4，滿足△＞0，即﹣2＜b＜2，…當與反向共線時，直線y=﹣x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，故直線l縱截距的取值范圍是﹣2＜b＜2，且b≠0

…22.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，側(cè)面APD為等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E為棱PC上的一點．（1）求證：PA⊥DE；（2）在棱PC上是否存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為﹣，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】幾何法：（1）推導出CD⊥平面PAD，從而PA⊥CD，進而PA⊥平面PCD，由此能證明PA⊥DE．（2）取AD的中點O，連接PO，CO，設CO與BD交于點F．推導出CD⊥平面ABCD，從而∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．向量法：（1）取AD的中點O，連接PO，OB，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA⊥DE．（2）求出平面BDA的一個法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．【解答】（本小題滿分12分）幾何法：證明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性質(zhì)定理），∴PA⊥CD（線面垂直的定義），又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD（線面垂直的判定定理）∴PA⊥DE（線面垂直的定義）．解：（2）如圖，取AD的中點O，連接PO，CO，設CO與BD交于點F．等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性質(zhì)定理）．∴PO⊥CO，PO⊥BD（線面垂直的定義）由題意知四邊形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（線面垂直的判定定理），∴BD⊥EF（線面垂直的定義），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，∴，∴，由題意知PO=1，，∴注意到直角△POC中，，∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，∴，∴，即．故棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．向量法：證明：（1）取AD的中點O，連接PO，OB∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性質(zhì)定理），由題意知四邊形BCDO是正方形，OA⊥O