chap 4 平穩(wěn)時間序列模型的建立

第四章平穩(wěn)時間序列模型的建立4.1平穩(wěn)序列建模

建模步驟：1、模型識別2、參數(shù)估計3、模型檢驗4、模型優(yōu)化建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測YN計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)模型識別基本原則模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會衰減至零值附近作小值波動當(dāng)或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

對于每個k>0，分別考察樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouille模型定階經(jīng)驗方法95％的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。時間序列的偏自相關(guān)系數(shù)截尾當(dāng)k>n時，例2.5續(xù)選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當(dāng)連續(xù)，相當(dāng)緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾

偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)例3.8美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列

序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1)

例3.91880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列。若自相關(guān)系數(shù)序列與偏自相關(guān)系數(shù)序列無以上特征，而是出現(xiàn)了緩慢衰減或者周期性衰減等情況，則說明序列不是平穩(wěn)的，可以采用后面相關(guān)章節(jié)的方法處理。4.2模型定階對于單純的AR與MA模型而言，在判定模型的同時模型的階數(shù)已初步判定；對于ARMA模型，用ACF,PACF判定其階次有一定的困難，需要用其他方法模型定階：殘差方差圖方法當(dāng)階數(shù)擬合不足時，殘差方法將比真正模型的殘差方差大；當(dāng)階數(shù)擬合過度時，并不會使殘差方差有顯著減小，甚至有所增加。

F檢驗定階法AIC準(zhǔn)則最小信息量準(zhǔn)則（AkaikeInformationCriterion）

指導(dǎo)思想似然函數(shù)值越大越好

未知參數(shù)的個數(shù)越少越好

AIC統(tǒng)計量最佳參數(shù)量BIC準(zhǔn)則（SIC）AIC準(zhǔn)則的缺陷在樣本容量趨于無窮大時，由AIC準(zhǔn)則選擇的模型不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多。

BIC統(tǒng)計量定義不同的準(zhǔn)則，目的是為了對擬合殘差與參數(shù)個數(shù)進行不同的權(quán)衡4.3模型參數(shù)估計待估參數(shù)個未知參數(shù)常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計矩估計：計算量小，估計精度低原理樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù)樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差例:求AR(2)模型系數(shù)的矩估計AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計（Yule-Walker方程的解）Yule-Walker方程中心化模型的向量形式：其中協(xié)方差矩陣記則由中心化模型的向量形式可得由于Yule-Walker方程則AR(p)序列的自協(xié)方差函數(shù)的Yule-Walker方程：根據(jù)(q+1)個方程組可解得方法：線性迭代法，Newton-Raphson法缺點:解不唯一，不一定可逆MA(q)模型系數(shù)的估計例:求MA(1)模型系數(shù)的矩估計MA(1)模型方程矩估計MA(q)系數(shù)的估計另一方法：記例:求ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估計ARMA(1,1)模型方程矩估計ARMA(p,q)參數(shù)估計則延伸的Yule-Walker方程若系數(shù)矩陣可逆，則可解得其中自回歸系數(shù)1,…,p。可以證明，可逆。對矩估計的評價優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設(shè)總體分布計算量?。ǖ碗A模型場合）缺點信息浪費嚴(yán)重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值

極大似然估計原理在極大似然準(zhǔn)則下，認(rèn)為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大的參數(shù)值

似然方程由于和都不是的顯式表達式。因而似然方程組實際上是由p+q+1個超越方程構(gòu)成，通常需要經(jīng)過復(fù)雜的迭代算法才能求出未知參數(shù)的極大似然估計值

對極大似然估計的評價優(yōu)點極大似然估計充分應(yīng)用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高同時還具有估計的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計性質(zhì)缺點需要假定總體分布最小二乘估計原理使殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值即為最小二乘估計值

條件最小二乘估計實際中最常用的參數(shù)估計方法假設(shè)條件殘差平方和方程解法迭代法對最小二乘估計的評價優(yōu)點最小二乘估計充分應(yīng)用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高條件最小二乘估計方法使用率高例：確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑

擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑例確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑

擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑例確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑

擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑4.4模型檢驗?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的適應(yīng)性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡模型的適應(yīng)性檢驗?zāi)康臋z驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效{at}序列的獨立性檢驗ARMA模型相關(guān)函數(shù)法檢驗統(tǒng)計量BP統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列LBP統(tǒng)計量4.5Pandit-Wu方法前面的建模方法是以時間序列的自相關(guān)系數(shù)，偏自相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計特性為依據(jù)的，該方法不可避免的會產(chǎn)生一定的誤差。Pandit-Wu方法：任一平穩(wěn)序列總可以用一個ARMA(n,n-1)模型來表示，而AR(n)，MA(m),ARMA(n,m)(m≠n-1)都是A