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機(jī)械控制工程基礎(chǔ)第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1系統(tǒng)的微分方程
2.2拉氏變換與反變換2.3傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)方框圖及其簡(jiǎn)化2.5反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.6信號(hào)流圖與梅遜公式2.7物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)2.8本章小結(jié)▼
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學(xué)習(xí)重點(diǎn)簡(jiǎn)單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫(xiě)及計(jì)算;(重點(diǎn)掌握)了解非線性模型的線性化方法;
結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的變換與化簡(jiǎn);(重點(diǎn)掌握)
開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和計(jì)算。1、什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、研究系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義3、數(shù)學(xué)模型的表示形式4、如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)的任務(wù)是將系統(tǒng)的輸入信號(hào)(包括控制輸入與擾動(dòng)輸入)的變化,及時(shí)地、準(zhǔn)確地、穩(wěn)定可靠地傳到系統(tǒng)的輸出端,驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作,使被控量按照輸入信號(hào)的要求而變化或保持恒定。數(shù)學(xué)模型定義:描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的表達(dá)式。一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際機(jī)構(gòu)參數(shù)及計(jì)算所要求的精度忽略一些次要因素,使模型既能反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性又能簡(jiǎn)化分析、計(jì)算數(shù)學(xué)模型:描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的主要形式:引言數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)頻率特性結(jié)構(gòu)框圖信號(hào)流圖頻域時(shí)域※LL-1Ui(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+建立數(shù)學(xué)模型的方法:解析法(機(jī)理分析法)
根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程。實(shí)驗(yàn)法(系統(tǒng)辨識(shí)法)
給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào),記錄輸出響應(yīng),并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性?!?.1系統(tǒng)的微分方程2.1.1建立微分方程模型的步驟分析系統(tǒng)的工作原理,確定輸入量和輸出量;將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié),建立各環(huán)節(jié)輸入量、輸出量之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。
消去中間變量,求出系統(tǒng)的微分方程。
標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。2.1.2系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)1、機(jī)械平動(dòng)系統(tǒng)平動(dòng)即直線運(yùn)動(dòng),其主要元件為質(zhì)量、彈簧、阻尼器。(一)機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)分為平動(dòng)系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型的建立主要應(yīng)用牛頓定理來(lái)列寫(xiě)。mf(t)x(t)質(zhì)量Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)彈簧Cf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼器x2’(t)預(yù)備知識(shí)圖2-1機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)X1X解:取f(t)為輸入量,x為輸出量2、機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)用途極其廣泛,其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼。BJ-粘性液體圖2-2機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)KJJ例2.2:下圖為在扭矩T作用下的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng),包含有慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫(xiě)出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,轉(zhuǎn)角為θ,回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)為BJ,扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為KJ。消去中間變量,整理得微分方程:解:(二)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電阻、電感、電容是電路中最基本的三個(gè)元件。電氣系統(tǒng)遵循的基本定律為:基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律,并由此來(lái)建立電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。預(yù)備知識(shí)
電容兩端電壓為:解:設(shè)電路中電流為i(t)整理得:例2.3無(wú)源電器網(wǎng)如圖2-3所示,為輸入電壓,為輸出電壓,列寫(xiě)其關(guān)于輸入輸出微分方程模型。圖2-3uo(t)Ui(t)CLR機(jī)械系統(tǒng)(a)和電系統(tǒng)(b)具有相同的數(shù)學(xué)模型,故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。(即電系統(tǒng)為機(jī)械系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò))物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)可有相似的數(shù)學(xué)模型,同一數(shù)學(xué)模型可以描述不同的系統(tǒng)。我們可以利用簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)(如電的系統(tǒng))去模擬其它難于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)(機(jī)械系統(tǒng))......2.1.3非線性數(shù)學(xué)模型線性化嚴(yán)格地講,線性系統(tǒng)并不存在。所謂的線性系統(tǒng),也只是在一定的范圍內(nèi)保持其線性關(guān)系。目前,非線性系統(tǒng)理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不完善,往往在一定條件下,將描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程線性化處理,使其成為線性微分方程來(lái)處理。系統(tǒng)x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)系統(tǒng)ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)通??刂葡到y(tǒng)工作狀態(tài)為穩(wěn)態(tài),系統(tǒng)受到各種擾動(dòng),產(chǎn)生偏差。線性化即在小偏差范圍內(nèi)用直線代替曲線,即在平衡點(diǎn)附近,用一次線性函數(shù)取代高次函數(shù)?!鵻1x2y系統(tǒng)對(duì)于多元函數(shù),如y=f(x1,x2),平衡點(diǎn)為(y0,x10,x20)在平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行小偏差線性化:1)只有一個(gè)變量的非線性函數(shù)y=f(x)線性化忽略二階以上各項(xiàng),可寫(xiě)成
小偏差線性化的數(shù)學(xué)處理:
※2)具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù),設(shè)輸入量為x1(t)和x2(t),輸出量為y(t),系統(tǒng)正常工作點(diǎn)為y0=f(x10,x20)。忽略二階以上各項(xiàng),可寫(xiě)成
※.4阻尼:使自由振動(dòng)衰減的各種摩擦和其他阻礙作用。阻尼器:安置在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的“特殊”構(gòu)件可以提供運(yùn)動(dòng)的阻力,耗減運(yùn)動(dòng)能量的裝置,稱之為阻尼器。工程中常見(jiàn)的阻尼有各種不同的形式,如物體在介質(zhì)(空氣、水、油等)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的粘滯阻尼、物體沿接觸面滑動(dòng)時(shí)的干摩擦阻尼等。由實(shí)驗(yàn)得知:當(dāng)物體以不大的速度在阻尼介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí),介質(zhì)給與物體的阻尼力近似地與物體速度的一次方成正比,而方向與速度方向相反,即FD=-cvc稱為粘性阻尼系數(shù)單位:N.S/cm§2.3傳遞函數(shù)已知微分方程:定義:當(dāng)零初始狀態(tài)下時(shí),線性定常系統(tǒng)輸出量與輸入量的拉氏變換之比,稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。G(s)Xi(s)Xo(s)框圖表示系統(tǒng)的變換關(guān)系:2.3.1傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明:G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),與輸入量的形式(幅度與大小)無(wú)關(guān)
;傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律;傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),m≤n,且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì);
一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系,故傳遞函數(shù)只適用于單輸入單輸出系統(tǒng);傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng),否則拉氏變換無(wú)法導(dǎo)出.2.3.2關(guān)于傳遞函數(shù)的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)令N(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn);令D(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式,D(S)=0稱為特征方程,極點(diǎn)稱為特征根。根據(jù)多項(xiàng)式定理,傳遞函數(shù)的一般形式也可寫(xiě)成:2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié);任何復(fù)雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成,控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有:比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。tt1xo(t)0xi(t)KXo(s)Xi(s)z1xoz2xi
1、比例環(huán)節(jié):()()()KsXsXsGio==T()()txKtxio=
()tui()tuo
2R
1R
例1:2、積分環(huán)節(jié):Xo(s)Xi(s)txo(t)0xi(t)當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時(shí):uoR++-CRici1ui例2:圖示放大器積分電路,3、微分環(huán)節(jié):例3:圖示放大器微分電路。RuoR++-ici1uiCτsXi(s)Xo(s)4、慣性環(huán)節(jié):Xi(s)Xo(s)RuiCiuo例4:如圖所示電路。當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時(shí):txo(t)0xi(t)5、振蕩環(huán)節(jié):tξ=0.2ξ=0.5ξ=101Xi(s)Xo(s)例5:如圖所示電路。6、一階微分環(huán)節(jié):TDs+1Xi(s)Xo(s)7、二階微分環(huán)節(jié):Xi(s)Xo(s)8、延遲環(huán)節(jié):txo(t)0xi(t)※延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別:慣性環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始時(shí)刻起就已有輸出,僅由于慣性,輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值;延遲環(huán)節(jié)從輸入開(kāi)始之初,在0~τ時(shí)間內(nèi),沒(méi)有輸出,但t=τ之后,輸出完全等于輸入。
Xi(s)Xo(s)2.3.4傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式:1.首1標(biāo)準(zhǔn)型(零、極點(diǎn)形式)2.尾1標(biāo)準(zhǔn)型(典型環(huán)節(jié)形式)
1.首1標(biāo)準(zhǔn)型(零、極點(diǎn)形式)2.尾1標(biāo)準(zhǔn)型(典型環(huán)節(jié)形式)
2.尾1標(biāo)準(zhǔn)型(典型環(huán)節(jié)形式)
§2.4系統(tǒng)方框圖及其簡(jiǎn)化2.4.1系統(tǒng)方框圖1、方框圖的概念
方框圖也是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型,構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種:X(S)信號(hào)線相加點(diǎn)X2(S)X3(S)X1(s)_+環(huán)節(jié)方框G(s)X2(S)Xi(S)分支點(diǎn)X3(S)X2(S)X1(S)G1H1H2YB1B2+E--X例:求圖示系統(tǒng)閉環(huán)傳函。2、方框圖的連接形式G2(s)G1(s)Xo(s)X(s)Xi(s)1)串聯(lián)連接X(jué)i(s)Xo(s)簡(jiǎn)化為:2)并聯(lián)連接簡(jiǎn)化為:Xi(s)Xo(s)Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G1(s)++G2(s)HX2+X1GX2+X1反饋連接:Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)3)反饋連接※
注意區(qū)分反饋與并聯(lián):Xi(s)Xo(s)簡(jiǎn)化為:G1G2G1G2G1G2GHG1±
G2總結(jié)3、系統(tǒng)方框圖的建立列寫(xiě)關(guān)于各元部件的原始微分方程;求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),畫(huà)出個(gè)體方框圖
從輸入端入手,按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖,即系統(tǒng)方框圖
繪制方框圖的步驟對(duì)微分方程組進(jìn)行拉氏變換,得到相應(yīng)的S空間代數(shù)方程組;①②③④例:如圖所示無(wú)源電路網(wǎng),設(shè)輸入端電壓ui(t),輸出端電壓為uo(t),畫(huà)出相應(yīng)方框圖。解:①列寫(xiě)各環(huán)節(jié)的微分方程,得i1i2
CR1R2uiuoi(4)(3)(2)(1)②零初始條件下,進(jìn)行拉氏變換,得由(2)式有:對(duì)(1)式進(jìn)行等效變換有:③畫(huà)出個(gè)體方框圖由(3)式有:由(4)式有:1/R1+-(1)(2)R1Cs(3)
R2+(4)④按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖,即系統(tǒng)方框圖如下:1/R1R1CsR2+-?思考:如何化簡(jiǎn)?1/R1R1CsR2+-系統(tǒng)方框圖的化簡(jiǎn):Step1:串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R1R1CsR2+-Step2:并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R11+R1CsR2-Step3:串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.(1+R1Cs)R2/R1-Step4:反饋環(huán)節(jié)等效變換.4、方框圖的化簡(jiǎn)對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng),其方框圖甚為復(fù)雜,為便于分析和計(jì)算,需將其化簡(jiǎn)。通?;?jiǎn)方法有:方框圖等效化簡(jiǎn)利用梅遜增益法化簡(jiǎn)2.4.2方框圖的等效變換思路:通過(guò)變換相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)的,變換中主要掌握好如下兩點(diǎn):①前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變;②反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積不變;通過(guò)等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián),并聯(lián)和局部反饋連接的結(jié)構(gòu)圖,最終變換為輸入量對(duì)輸出量的一個(gè)方框?!娇驁D等效變換法則:GGGGG1/GGGGGG1/G(重點(diǎn)掌握)例:簡(jiǎn)化如圖所示系統(tǒng)方框圖。+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC-+方法一:將相加點(diǎn)2后移,然后與相加點(diǎn)3交換;+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC+-G1-+XiG2XoG3H2?①③②ABC-+-+方法二:將相加點(diǎn)3前移,然后與相加點(diǎn)2交換;+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法三:分支點(diǎn)A后移;+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法四:分支點(diǎn)B前移;-+-+方框圖化簡(jiǎn)步驟小結(jié):
確定輸入量和輸出量;若結(jié)構(gòu)圖中有交叉連接,應(yīng)運(yùn)用移動(dòng)規(guī)則,首先將交叉連接消除,化為無(wú)交叉的多回路結(jié)構(gòu);對(duì)多回路結(jié)構(gòu),可由內(nèi)向外進(jìn)行變換,直至變換為一個(gè)等效的方框,即得到所求的傳遞函數(shù)?!⒁馐马?xiàng):有效輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的相加點(diǎn)盡量不要移動(dòng);盡量避免相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間的移動(dòng)?!?.6信號(hào)流圖與梅遜公式信號(hào)流圖是另一種表示復(fù)雜系統(tǒng)中變量之間關(guān)系的圖解方法。
2.6.1信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ)
(1)節(jié)點(diǎn)
表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn),用“○”表示,在“○”旁邊注上信號(hào)的代號(hào)。(2)源點(diǎn)
只有輸出的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。(3)匯點(diǎn)
只有輸入的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。(4)混合節(jié)點(diǎn)
既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。(5)支路
定向線段稱為支路,其上的箭頭表明信號(hào)的流向,各支路上還標(biāo)明了增益,即支路的傳遞函數(shù)。(6)通路
從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始,沿支路箭頭方向經(jīng)過(guò)各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)(或同一節(jié)點(diǎn))構(gòu)成的路徑,稱為通路。通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸(通路增益)。(7)前向通路
是指從源點(diǎn)開(kāi)始并終止于匯點(diǎn)且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路,該通路的各傳輸乘積稱為前向通路增益。(8)回路
如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn),并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為回路。(9)回路增益
回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路增益(或傳輸)。(10)不接觸回路
如果一信號(hào)流圖有多個(gè)回路,各回路之間沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn),就稱為不接觸回路,反之稱為接觸回路。
(11)自回路
只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)相交的回路稱為自回路。2.6.2梅遜增益公式
式中:
P——系統(tǒng)的總傳遞函數(shù);
Pk——第k
條前向通道的傳遞函數(shù);
n
——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路數(shù);
——信號(hào)流圖的特征式;
特征式的意義為:
——信號(hào)流圖中所有不同回路的傳輸之和;
——每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路的傳輸乘積之和;——每三個(gè)互不接觸回路的傳輸乘積之和;
——稱為第k條通路特征式的余因子,是在中除去與第k條前向通路相接觸的各回路傳輸(即將其置零)。
+-G1-+XiG2XoG3H2H1G4+-+例:利用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)
XiXo1G11G2G311G4-H2-H1解:-1Xi(s)+G1(s)E(s)B(s)H(s)Xo(s)-N(s)+C(s)+G2(s)(圖a)§2.5反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)
若將H(s)的輸出通道斷開(kāi),這時(shí)前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。Gk(s)稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)輸入為Xi(s),視干擾N(s)=0,輸出為Xoi(s)。Xi(s)+G1(s)H(s)Xoi(s)-N(s)+G2(s)+(圖b)2.5.2Xi(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)
注:
開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要概念,它并不是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)輸入為N(s),視Xi(s)=0,輸出為XOn(s)。N(s)H(s)C(s)B(s)Xon(s)+G2(s)+(圖c)G1(s)-Xi(s)=0+E(s)2.5.3干擾
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