《1勾股定理的逆定理》設(shè)計(jì)

勾股定理第1課時(shí)勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用；(難點(diǎn))2．理解勾股數(shù)的定義，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律．(重點(diǎn))教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入據(jù)說幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道，在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子，這樣圍成的三角形中最長邊所對的角就是直角，你知道為什么嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的逆定理【類型一】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三邊長a、b、c滿足(a＋b)(a－b)＝c2.解析：(1)已知兩角可以求出另外一個(gè)角；(2)使用勾股定理的逆定理驗(yàn)證；(3)將式子變形即可使用勾股定理的逆定理驗(yàn)證．解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．方法總結(jié)：在運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)，要特別注意找到最大邊，定理描述的是最大邊的平方等于另外兩邊的平方和．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題【類型二】利用勾股定理的逆定理求角的度數(shù)如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．解析：根據(jù)已知條件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一個(gè)三角形中，可構(gòu)造邊長分別為3、4、5的直角三角形來解決問題．解：在△ABC所在的平面內(nèi)，以A為頂點(diǎn)，AC為邊在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.連接DC，PD，則△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因?yàn)镻A＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD為等邊三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因?yàn)镈C＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC為直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．把長度分別為3、4、5的線段轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形的三邊，利用勾股定理的逆定理判斷此三角形是直角三角形，進(jìn)而求出角度．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題【類型三】利用勾股定理的逆定理解決面積問題如圖所示，已知AD是△ABC邊BC上的中線，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S△ABC.解析：由△DAC的三邊長，易判定該三角形是直角三角形，再由面積公式求出DC邊上的高，進(jìn)而可求△ABC的面積，也可根據(jù)中線等分三角形面積求解．解：過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E.∵AD是△ABC的中線，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．∵CD2＝52＝25，AD2＋AC2＝32＋42＝25，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△DAC是直角三角形．∵S△ADC＝eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(1,2)DC·AE，∴AE＝eq\f(AD·AC,DC)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×10×eq\f(12,5)＝12(cm2)．方法總結(jié)：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面積法求AE的長，進(jìn)而求出△ABC的面積．還可先求出S△ADC，再由AD是中線，得S△ABD＝S△ADC，即S△ABC＝2S△ADC，從而得解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型四】利用勾股定理的逆定理證垂直如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC＝5，BD＝12，兩底AD、BC的和為13.求證：AC⊥BD.解析：由于兩底的和已知，且對角線長度已知，應(yīng)先將對角線平移，再尋找解題途徑，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，從而證明AC⊥BD.證明：過D作DE∥AC交BC的延長線于E點(diǎn)．又∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且52＋122＝132，DE2＋BD2＝BE2，∴△BDE為直角三角形，即∴∠BDE＝90°，則DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.方法總結(jié)：利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判定直角三角形，從而推出兩線的垂直關(guān)系．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點(diǎn)二：勾股數(shù)下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的是________(填序號(hào))．①32，42，52；②9，40，41；③eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)；④，，.解析：第①組不符合勾股數(shù)的定義，不是