《函數(shù)與方程》習(xí)題

《函數(shù)與方程》習(xí)題（1）一、選擇題1．下列函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上有零點的是（）A．f（x）＝3x2－4x＋5 B．f（x）＝x3－5x－5C．f（x）＝lnx－3x＋6 D．f（x）＝ex＋3x－6[答案]D[解析]對于函數(shù)f（x）＝ex＋3x－6來說f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2＞0∴f（1）f（2）＜0，故選D.2．已知函數(shù)f（x）＝mx2＋（m－3）x＋1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（0,1] B．（0,1）C．（－∞，1） D．（－∞，1][答案]D[解析]解法1：取m＝0有f（x）＝－3x＋1的根x＝eq\f(1,3)＞0，則m＝0應(yīng)符合題設(shè)，所以排除A、B，當m＝1時，f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2它的根是x＝1符合要求，排除C.∴選D.解法2：直接法，∵f（0）＝1，∴（1）當m＜0時必成立，排除A、B，（2）當m＞0時，要使與x軸交點至少有一個在原點右側(cè)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝(m－3)2－4m>0，,－\f(m－3,2m)>0，))∴0＜m≤1.（3）當m＝0時根為x＝eq\f(1,3)＞0.∴選D.3．函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝2x－3的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則函數(shù)y＝f（x）與直線y＝x的一個交點位于區(qū)間（）A．（－2，－1） B．（2,3）C．（1,2） D．（－1,0）[答案]B[解析]y＝2x－3的反函數(shù)為y＝log2（x＋3）由圖象得：交點分別位于區(qū)間（－3，－2）與（2,3）內(nèi)，故選B.4．函數(shù)f（x）＝lgx－eq\f(9,x)的零點所在的大致區(qū)間是（）A．（6,7） B．（7,8）C．（8,9） D．（9,10）[答案]D[解析]∵f（9）＝lg9－1＜0，f（10）＝1－eq\f(9,10)＞0，∴f（9）·f（10）＜0，∴f（x）在（9,10）上有零點，故選D.5．已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2，并且α、β是函數(shù)f（x）的兩個零點，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系可能是（）A．a(chǎn)＜α＜b＜β B．a(chǎn)＜α＜β＜bC．α＜a＜b＜β D．α＜a＜β＜b[答案]C[解析]∵α、β是函數(shù)f（x）的兩個零點，∴f（α）＝f（β）＝0，又f（x）＝（x－a）（x－b）－2，∴f（a）＝f（b）＝－2＜0.結(jié)合二次函數(shù)f（x）的圖象可知，a、b必在α、β之間．6．若函數(shù)f（x）＝ax＋b的零點是2，則函數(shù)g（x）＝bx2－ax的零點是（）A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)[答案]C[解析]由條件2a＋b＝0，∴b＝－2a∴g（x）＝－ax（2x＋1）的零點為0和－eq\f(1,2).7．函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點個數(shù)為（）A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴l(xiāng)nx＝2∴x＝e2＞0，故函數(shù)f（x）有兩個零點．8．函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象的交點為（x0，y0），則x0所在區(qū)間為（）A．（－2，－1） B．（－1,0）C．（0,1） D．（1,2）[答案]C[解析]令f（x）＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，則f（0）＝－1＜0，f（1）＝eq\f(1,2)＞0，故選C.9．有下列四個結(jié)論：①函數(shù)f（x）＝lg（x＋1）＋lg（x－1）的定義域是（1，＋∞）②若冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（2,4），則該函數(shù)為偶函數(shù)③函數(shù)y＝5|x|的值域是（0，＋∞）④函數(shù)f（x）＝x＋2x在（－1,0）有且只有一個零點．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,x－1>0))，得x＞1，故①正確；∵f（x）＝xα過（2,4），∴2α＝4，∴α＝2，∴f（x）＝x2為偶函數(shù)，故②正確；∵|x|≥0，∴y＝5|x|≥1，∴函數(shù)y＝5|x|的值域是[1，＋∞），故③錯；∵f（－1）＝－1＋2－1＝－eq\f(1,2)＜0，f（0）＝0＋20＝1＞0，∴f（x）＝x＋2x在（－1,0）內(nèi)至少有一個零點，又f（x）＝x＋2x為增函數(shù)，∴f（x）＝x＋2x在（－1,0）內(nèi)有且只有一個零點，∴④正確，故選C.10．若函數(shù)f（x）＝x2－ax＋b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g（x）＝bx2－ax－1的零點是（）A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)[答案]B[解析]由于f（x）＝x2－ax＋b有兩個零點2和3，∴a＝5，b＝6.∴g（x）＝6x2－5x－1有兩個零點1和－eq\f(1,6).二、填空題11．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分對應(yīng)值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406則使ax2＋bx＋c＞0的自變量x的取值范圍是______．[答案]（－∞，－2）∪（3，＋∞）12．已知關(guān)于x的不等式eq\f(ax－1,x＋1)＜0的解集是（－∞，－1）∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).則a＝________.[答案]－2[解析]eq\f(ax－1,x＋1)＜0?（ax－1）（x＋1）＜0，∵其解集為（－∞，－1）∪（－eq\f(1,2)，＋∞），∴a＜0且－1和－eq\f(1,2)是（ax－1）（x＋1）＝0的兩根，解得a＝－2.[點評]由方程的根與不等式解集的關(guān)系及題設(shè)條件知，－eq\f(1,2)是ax－1＝0的根，∴a＝－2.三、解答題13．已知函數(shù)f（x）＝2x－x2，問方程f（x）＝0在區(qū)間[－1，0]內(nèi)是否有解，為什么？[解析]因為f（－1）＝2－1－（－1）2＝－eq\f(1,2)＜0，f（0）＝20－02＝1＞0，而函數(shù)f（x）＝2x－x2的圖象是連續(xù)曲線，所以f（x）在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點，即方程f（x）＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．14．討論函數(shù)f（x）＝lnx＋2x－6的零點個數(shù)．[解析]函數(shù)的定義域為（0，＋∞），任取x1、x2∈（0，＋∞），且x1＜x2.f（x1）－f（x2）＝（lnx1＋2x1－6）－（lnx2＋2x2－6）＝（lnx1－lnx2）＋2（x1－x2），∵0＜x1＜x2，∴l(xiāng)nx1＜lnx2.∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)．又f（1）＝ln1＋2×1－6＝－4＜（3）＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0∴f（x）在（1,3）內(nèi)有零點．由f（x）是單調(diào)函數(shù)知，f（x）有且僅有一個零點．15．定義在R上的偶函數(shù)y＝f（x）在（－∞，0]上遞增，函數(shù)f（x）的一個零點為－eq\f(1,2)，求滿足f（logeq\f(1,4)x）≥0的x的取值集合．[解析]∵－eq\f(1,2)是函數(shù)的零點，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（eq\f(1,2)）＝0，∵f（x）在（－∞，0]上遞增，f（logeq\f(1,4)x）≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴0≥logeq\f(1,4)x≥－eq\f(1,2)，∴1≤x≤2，∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）在[0，＋∞）上單調(diào)減，又f（logeq\f(1,4)x）≥f（eq\f(1,2)），∴0≤logeq\f(1,4)x≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)≤x≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤2.故x的取值集合為{x|eq\f(1,2)≤x≤2}．16．二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的零點是－2和3，當x∈（－2,3）時，f（x）＜0，且f（－6）＝36，求二次函數(shù)的解析式．[解析]由條件知f（x）＝a（x＋2）（x－3）且a＞0∵f（－6）＝36，∴a＝1∴f（x）＝（x＋2）（x－3）滿足條件－2＜x＜3時，f（x）＜0.∴f（x）＝x2－x－6.17．已知函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a＞1）．（1）證明：函數(shù)f（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f（x）＝0沒有負數(shù)根．[解析]（1）任取x1、x2∈（－1，＋∞），不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.∴ax2－ax1＝ax1（ax2－x1－1）＞0.又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f((x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1),(x1＋1)(x2＋1))＝eq\f(3(x2－x1),(x1＋1)(x2＋1))＞0于是f（x2）－f（x1）＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＞0，故函數(shù)f（x）在（－1，＋∞）上為增函數(shù)．（2）證法1：設(shè)存在x0＜0（x0≠－1），滿足f（x0）＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0＜ax0＜1，∴0＜－