第12講菱形同步教學(xué)講義 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第12講菱形知識(shí)導(dǎo)航1、菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；2、菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四邊都相等的四邊形是菱形?！景鍓K一】菱形的性質(zhì)與判定題型一、菱形的判定方法技巧判定四邊形為菱形時(shí)，對(duì)于容易判斷為平行四邊形的，另外看鄰邊是否相等或?qū)蔷€是否垂直；還可以從四條邊相等去判定。【例1】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=900，CDAB，垂足為點(diǎn)D，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)G∥BC，交AB于點(diǎn)G，連接EG，求證：四邊形CFGE是菱形?！纠?】如圖，將矩形紙片ABCD沿FG折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕的一端點(diǎn)G在邊BC上，另一端點(diǎn)F在AD上，AB=8，BG=10。（1）求證：四邊形BGEF為菱形；（2）求FG的長(zhǎng)。針對(duì)練習(xí)11．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥CA交AB于點(diǎn)F，已知CD＝3．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．2．如圖，在△ABC中，分別以AB，AC，BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD，等邊△ACE和等邊△BCF，連接DF，EF．（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BAC＝時(shí)，四邊形DAEF是矩形；（3）當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形．3．如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，AD是邊BC上的高，點(diǎn)E，F(xiàn)分別AB，AC是的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AEDF是菱形；（2）如果四邊形AEDF的周長(zhǎng)為12，兩條對(duì)角線和為7，求四邊形AEDF的面積S．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE，CF，相交于點(diǎn)D．（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【板塊二】菱形中的全等三角形構(gòu)造題型二菱形中全等三角形構(gòu)造——旋轉(zhuǎn)方法技巧有一內(nèi)角為60°的菱形，較短的對(duì)角線將菱形分為兩個(gè)全等的等邊三角形，形成5條邊相等，6個(gè)60°的角，易于構(gòu)造旋轉(zhuǎn)式的全等三角形．【例1】已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F(xiàn)分別為射線BC和CD上的一點(diǎn)，∠EAF＝60°．（1）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD的中點(diǎn)，直接寫出BE，DF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上任一點(diǎn)，探究BE，DF，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD的延長(zhǎng)線上，探究BE，DF，AB之間的數(shù)量關(guān)系．圖1圖2圖3題型三菱形中全等三角形同型構(gòu)造方法技巧菱形中相等的邊較多，當(dāng)兩個(gè)三角形中有一對(duì)邊一對(duì)角相等時(shí)，可以以此為條件，再構(gòu)造一對(duì)邊或一對(duì)角相等，形成全等三角形．【例2】已知菱形ABCD中，對(duì)角線交于點(diǎn)O．（1）如圖1，點(diǎn)F在邊BC上，AF交BD于E，若BE＝BF，求證：CF＝2OE；（2）如圖2，點(diǎn)P在邊AC上，已知AC＝16，CP＝CD＝10，求DP的長(zhǎng)；（3）如圖3，點(diǎn)Q在菱形外部，點(diǎn)P在AC上，CP＝CD，點(diǎn)M為DP中點(diǎn)，DQ＝DM，∠QDA＝∠CDP．連接QM，射線QM交AC于點(diǎn)N，交DA于點(diǎn)H．求證：CN＝AH．圖1圖2圖3題型四菱形動(dòng)點(diǎn)最值問題【例3】已知菱形ABCD中的兩條對(duì)角線分別為6和8，M，N分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，求PM＋PN的最小值．題型五菱形綜合探究【例4】已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為A’，連接OA’．（1）如圖1，求OA’的長(zhǎng)；（2）如圖2，OA’的中點(diǎn)為F，連接CF，求證：CF∥BD；（3）如圖3，若點(diǎn)D關(guān)于OA’的對(duì)稱點(diǎn)為D’，則BD’的長(zhǎng)為．圖1圖2圖3針對(duì)練習(xí)21．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，DE，BF相交于點(diǎn)G，連接BD，CG．有下列結(jié)論：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1＝∠2．（1）若CE＝1，求BC的長(zhǎng)；（2）求∠BCD的度數(shù)．3．如圖，在菱形ABCD和等邊△BGF中，∠ABC＝60°，P為DF的中點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)．①判斷△BDF的形狀，并證明；②連接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)F在邊AB延長(zhǎng)線上時(shí)，連接PG，PC，試判斷PG，PC有怎樣的關(guān)系，并給予證明．圖1圖24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，E是邊BC的延長(zhǎng)線一點(diǎn)，PE＝PA．（1）如圖1，求∠APE的度數(shù)；（2）