浙江省寧波市2023屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題部分，共40分）一、選擇題：本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A．B．C．D．2.已知，則條件“”是條件“”的（）條件.A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件3.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．04.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)等于（）A．3B．C.5D．5.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為，則（）A．1B．2C.4D．86.已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像是（）A．B．C.D．7.一個(gè)箱子中裝有形狀完全相同的5個(gè)白球和個(gè)黑球.現(xiàn)從中有放回的摸取4次，每次都是隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為，若，則（）A．1B．2C.3D．48.《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問(wèn)最小1份為（）A．B．C.D．9.若函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則（）A．B．2C.D．10.已知向量，，滿足，，，為內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），，若，則以下結(jié)論一定成立的是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（非選擇部分，共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知，則．12.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為，模為．13.對(duì)給定的正整數(shù)，定義，其中，，則；當(dāng)時(shí)，．14.在銳角中，已知，則角的取值范圍是，又若分別為角的對(duì)邊，則的取值范圍是．15.已知雙曲線的漸近線方程是，右焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為，又若點(diǎn)，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．16.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠四個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別為1,2,3,4,5,6.若同時(shí)擲這四個(gè)骰子，則四個(gè)骰子朝上的數(shù)字之積等于24的情形共有種（請(qǐng)用數(shù)字作答）．17.如圖，在平面四邊形中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，分別在線段上，則的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.18.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值與最小值.19.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為矩形，為中點(diǎn)，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知函數(shù).（Ⅰ）若方程只有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，過(guò)不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線，為切點(diǎn).且.（Ⅰ）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.22.已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）若，求證：對(duì)任意正整數(shù)均有；（Ⅱ）若，求證：對(duì)任意恒成立.試卷答案一、選擇題1-5:ABCDB6-10:ABACB二、填空題11.212.-2，13.64，14.，15.，16.5217.1三、解答題18.解：（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，.即的最小值為.19.解：（Ⅰ）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)闉榫匦?，所以為的中點(diǎn).在中，由已知為中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在中，，，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，?又因?yàn)?，平面，所以平面，故就是直線與平面所成的角.在直角中，，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.20.解：（Ⅰ）由已知.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故.又當(dāng)時(shí)，.且（對(duì)足夠小的）.又當(dāng)時(shí)，.即所求的取值范圍是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.所以對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于.∵.（1）當(dāng)時(shí)，，與式矛盾，故不合題意.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.，所以.綜合（1）（2）知實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.解：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，以為切點(diǎn)的切線方程分別為，.由消去得.則，.這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，得.所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（Ⅱ）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，則，可得，當(dāng)時(shí)，則，，，同樣可得.所以.由.所以.令，..所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以.（或當(dāng)時(shí)取等號(hào).）22.證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，根據(jù)和在均為增函數(shù).從而當(dāng)時(shí)，必