Czhang-第三章 結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)

張沖南京郵電大學(xué)管理學(xué)院Email：zcbling@163.com第三章結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)3.1

引言3.2

解析結(jié)構(gòu)模型法3.3

解析結(jié)構(gòu)模型的應(yīng)用3.1引言3.1.1結(jié)構(gòu)模型系統(tǒng)是由許多具有一定功能的要素(如設(shè)備、事件、子系統(tǒng)等)所組成的，而各個(gè)要素之間總是存在相互支持或相互制約的邏輯關(guān)系。在這些關(guān)系中，又可分為直接關(guān)系和間接關(guān)系等。因此，在開發(fā)或改造一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)候，首先，要了解系統(tǒng)中各要素間存在怎樣的關(guān)系，是直接的還是間接的關(guān)系等等，要了解系統(tǒng)中各要素之間的關(guān)系，也就是要了解和掌握系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)，要建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。4

凡系統(tǒng)必有結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定系統(tǒng)功能；破壞結(jié)構(gòu)，就會(huì)完全破壞系統(tǒng)的總體功能。這說(shuō)明了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的普遍性與重要性。4.1結(jié)構(gòu)模型概論

結(jié)構(gòu)模型描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形態(tài)，即系統(tǒng)各部分間及其與環(huán)境間的關(guān)系（因果、順序、聯(lián)系、隸屬、優(yōu)劣對(duì)比等）。結(jié)構(gòu)模型是從概念模型過(guò)渡到定量分析的中介，即使對(duì)那些難以量化的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)也可以建立結(jié)構(gòu)模型，故在系統(tǒng)分析中應(yīng)用很廣泛。S4S2S3S1S5\S4S2S3S7S6S5S1節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)的要素。有向邊：要素之間的相互關(guān)系?？衫斫鉃椤坝绊憽薄ⅰ叭Q于”、“先于”、“需要”、“導(dǎo)致”或其它含義。

所謂結(jié)構(gòu)模型，就是應(yīng)用有向連接圖來(lái)描述系統(tǒng)各要素間的關(guān)系，以表示一個(gè)作為要素集合體的系統(tǒng)的模型.

結(jié)構(gòu)模型具有的基本性質(zhì)：1、結(jié)構(gòu)模型是一種幾何模型

結(jié)構(gòu)模型是由節(jié)點(diǎn)和有向邊構(gòu)成的圖或樹圖來(lái)描述一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)往往用來(lái)表示系統(tǒng)的要素，而有向邊則表示要素間所存在的關(guān)系。2、結(jié)構(gòu)模型是一種以定性分析為主的模型通過(guò)結(jié)構(gòu)模型，可以分析系統(tǒng)的要素選擇得是否合理，還可以分析系統(tǒng)要素及其相互關(guān)系變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)總體的影響等問(wèn)題。3、結(jié)構(gòu)模型除了可用有向連接圖描述外，還可以用矩陣形式來(lái)描述

4、結(jié)構(gòu)模型作為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述的一種形式，正好處在數(shù)學(xué)模型形式和以文章表現(xiàn)的邏輯分析形式之間矩陣可以通過(guò)邏輯演算用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理，因此，在研究各要素之間關(guān)系時(shí)，就能通過(guò)矩陣形式的演算，可使定性分析和定量分析相結(jié)合。因此，可以處理無(wú)論是宏觀的還是微觀的、定性的還是定量的、抽象的還是具體的有關(guān)問(wèn)題。3.1.2結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)

結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)是指建立結(jié)構(gòu)模型的方法論。下面是國(guó)外有關(guān)專家、學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)模型法的描述。1、J．華費(fèi)爾特(JohnWarfield，1974年)：結(jié)構(gòu)模型法是“在仔細(xì)定義的模式中，使用圖形和文字來(lái)描述一個(gè)復(fù)雜事件(系統(tǒng)或研究領(lǐng)域)的結(jié)構(gòu)的一種方法論?！?、M．麥克林(MickMclean)和P．西菲德(P．Shephed，1976年)：“結(jié)構(gòu)是任何數(shù)學(xué)模型的固有性質(zhì)。所有這樣的模型都是由相互間具有特定的相互作用部分組成的。一個(gè)結(jié)構(gòu)模型著重于一個(gè)模型組成部分的選擇和清楚地表示出各組成部分間相互作用?！?/p>

3、D．希爾勞克(DennisCearlock，1977年)：結(jié)構(gòu)模型所強(qiáng)調(diào)的是“確定變量之間是否有聯(lián)結(jié)以及其聯(lián)結(jié)的相對(duì)重要性，而不是建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系以及精確地確定其系數(shù)。結(jié)構(gòu)模型法關(guān)心的是趨勢(shì)及平衡狀態(tài)下的辨識(shí)，而不是量的精確性”。目前已開發(fā)的結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)問(wèn)題挖掘技術(shù)結(jié)構(gòu)決定技術(shù)結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)腳本法專家調(diào)查法發(fā)想法集團(tuán)啟發(fā)法靜態(tài)結(jié)構(gòu)化技術(shù)關(guān)聯(lián)樹法動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)化技術(shù)解釋結(jié)構(gòu)模型（ISM）決策試驗(yàn)和評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)開發(fā)計(jì)劃程序工作設(shè)計(jì)交叉影響分析凱恩仿真模型快速仿真模型系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)模型化技術(shù)解釋結(jié)構(gòu)模型法（ISM）是美國(guó)J.華費(fèi)爾特教授于1973年作為分析復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有關(guān)問(wèn)題的一種方法而開發(fā)的。特點(diǎn)是把復(fù)雜的系統(tǒng)分解為若干個(gè)子系統(tǒng)（要素），利用經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)以及計(jì)算機(jī)的幫助，最終將系統(tǒng)構(gòu)造成一個(gè)多級(jí)遞階的結(jié)構(gòu)模型。ISM屬于概念模型。它可以把模糊不清的思想、看法轉(zhuǎn)化為直觀的具有良好結(jié)構(gòu)關(guān)系的模型。應(yīng)用對(duì)象從能源問(wèn)題等國(guó)際性問(wèn)題到地區(qū)經(jīng)濟(jì)開發(fā)、企事業(yè)甚至個(gè)人范圍的問(wèn)題等。尤其適用于變量眾多、關(guān)系復(fù)雜而結(jié)構(gòu)不清晰的系統(tǒng)分析中，也可用于方案的排序等。3.2解釋結(jié)構(gòu)模型法11InterpretiveStructureModel解析結(jié)構(gòu)模型屬于靜態(tài)的定性模型。它的基本理論是圖論的重構(gòu)理論，通過(guò)一些基本假設(shè)和圖、矩陣的有關(guān)運(yùn)算，可以得到可達(dá)性矩陣；然后再通過(guò)人-機(jī)結(jié)合，分解可達(dá)性矩陣，使復(fù)雜的系統(tǒng)分解成多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)形式。在總體設(shè)計(jì)、區(qū)域規(guī)劃、技術(shù)評(píng)估和系統(tǒng)診斷方面應(yīng)用廣泛。要研究一個(gè)由大量單元組成的、各單元之間又存在著相互關(guān)系的系統(tǒng)，就必須了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，一個(gè)有效的方法就是建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型，而結(jié)構(gòu)模型技術(shù)已發(fā)展到100余種。4.2解析結(jié)構(gòu)模型（ISM）12一、幾個(gè)相關(guān)的重要數(shù)學(xué)概念1、關(guān)系圖

假設(shè)系統(tǒng)所涉及到的關(guān)系都是二元關(guān)系。則系統(tǒng)的單元可用節(jié)點(diǎn)表示，單元之間的關(guān)系可以用帶有箭頭的邊（箭線）來(lái)表示，從而構(gòu)成一個(gè)有向連接圖。這種圖統(tǒng)稱關(guān)系圖。關(guān)系圖中，稱具有對(duì)稱性關(guān)系的單元ei和ej具有強(qiáng)連接性。13例：一個(gè)孩子的學(xué)習(xí)問(wèn)題1.成績(jī)不好 2.老師常批評(píng) 3.上課不認(rèn)真4.平時(shí)作業(yè)不認(rèn)真 5.學(xué)習(xí)環(huán)境差 6.太貪玩7.父母常打牌 8.父母不管 9.朋友不好10.給很多錢 11.缺乏自信一、幾個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念356789104121114例：溫帶草原食物鏈1.草 2.兔 3.鼠 4.吃草的鳥 5.吃草的昆蟲6.捕食性昆蟲7.蜘蛛8.蟾蜍9.吃蟲的鳥10.蛇11.狐貍12.鷹和貓頭鷹一、幾個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念解釋結(jié)構(gòu)模型法3.2.1圖的基本概念3.2.2圖的矩陣表示法3.2.3ISM的工作程序3.2.4ISM的建模步驟3.2.1圖的基本概念2、回路3、環(huán)4、樹5、關(guān)聯(lián)樹1、有向連接圖有向連接圖是指由若干節(jié)點(diǎn)和有向邊連接而成的圖像。S4S1S2S5S3有向連接圖表示方法：設(shè)節(jié)點(diǎn)的集合為S;

有向邊的集合為E,則左邊有向連接圖可表示為：

其中：1、有向連接圖

2、回路在有向連接圖的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的邊多于一條時(shí)，則該兩點(diǎn)的邊就構(gòu)成了回路。S4S1S2S5S3回路圖如左圖中，節(jié)點(diǎn)S2和節(jié)點(diǎn)S3之間的邊就構(gòu)成了一個(gè)回路3、環(huán)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向邊若直接與該節(jié)點(diǎn)相連接，則就構(gòu)成了一個(gè)環(huán)。環(huán)S1S2S3如左圖中，節(jié)點(diǎn)S2的有向邊就構(gòu)成了一個(gè)環(huán)4、樹當(dāng)圖中只有一個(gè)源點(diǎn)（指只有有向邊輸出而無(wú)輸入的節(jié)點(diǎn)）或只有一個(gè)匯點(diǎn)（指只有有向邊輸入而無(wú)輸出）的圖，稱作樹。樹的兩個(gè)相鄰點(diǎn)間只有一條通路相連，不存在回路或環(huán)。樹圖5、關(guān)聯(lián)樹指節(jié)點(diǎn)上帶有加權(quán)值W，而在邊上有關(guān)聯(lián)值r的樹稱作關(guān)聯(lián)樹。關(guān)聯(lián)樹圖W=0.7W=0.3r=0.4r=0.6r=0.5r=0.5W=0.3ⅹ0.6=0.18W=0.3ⅹ0.4=0.12W=0.7ⅹ0.5=0.35W=0.7ⅹ0.5=0.35解釋結(jié)構(gòu)模型法3.2.1圖的基本概念3.2.2圖的矩陣表示法3.2.3ISM的工作程序3.2.4ISM的建模步驟3.2.2圖的矩陣表示法鄰接矩陣（adjacencymatrix）可達(dá)矩陣（reachablilitymatrix

）1、鄰接矩陣鄰接矩陣是圖的基本的矩陣表示，它用來(lái)描述圖中節(jié)點(diǎn)兩兩之間的關(guān)系。鄰接矩陣A的元素aij可定義為：Si與Sj有關(guān)系表明從Si到Sj有長(zhǎng)度為1的通路，Si可直接到達(dá)Sj舉例下面有向連接圖的鄰接矩陣為：S4S1S2S6S3S5鄰接矩陣所具有的特征矩陣A的元素全為零的行所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，即只有有向邊進(jìn)入該點(diǎn)，而沒(méi)有有向邊離開該節(jié)點(diǎn)。矩陣A的元素全為零的列所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，即只有有向邊離開該點(diǎn)，而沒(méi)有有向邊進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)每一節(jié)點(diǎn)的行中，其元素值為1的數(shù)量，就是離開該節(jié)點(diǎn)的有向邊數(shù)。對(duì)應(yīng)每一節(jié)點(diǎn)的列中，其元素值為1的數(shù)量，就是進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的有向邊數(shù)。1.草2.兔子3.老鼠4.吃草籽的鳥5.吃草的昆蟲6.捕食性昆蟲7.蜘蛛8.蟾蜍9.吃蟲子的鳥10.蛇11.狐貍12.鷹123456789101211課堂練習(xí)請(qǐng)按圖示關(guān)系作出鄰接矩陣答案：2、可達(dá)矩陣可達(dá)矩陣是指用矩陣的形式來(lái)描述有向連接圖各節(jié)點(diǎn)之間，經(jīng)過(guò)一定長(zhǎng)度的通路后可以到達(dá)的程度?？蛇_(dá)矩陣R的一個(gè)重要特性：推移律特性推移律特性是指，當(dāng)Si經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為1的通路直接到達(dá)Sk，而Sk經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為1的通路直接到達(dá)Sj，那么Si經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為2的通路必可到達(dá)Sj。繼續(xù)引用鄰接矩陣的有向連接圖為例布爾代數(shù)運(yùn)算規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，0ⅹ1=0，0ⅹ0=0，1ⅹ0=0，1ⅹ1=1矩陣A1描述了各節(jié)點(diǎn)間經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度不大于1的通路后的可達(dá)程度。設(shè)矩陣A2=(A+I)2，即將A1平方，并用布爾代數(shù)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算后，可得矩陣A2矩陣A2描述了各節(jié)點(diǎn)間經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度不大于2的通路后的可達(dá)程度。通過(guò)依次運(yùn)算后可得式中，n—矩陣階數(shù)則矩陣R

稱為可達(dá)矩陣，它表明各節(jié)點(diǎn)間經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度不大于（n-1）的通路后的可達(dá)程度。對(duì)于節(jié)點(diǎn)數(shù)為n的圖，最長(zhǎng)的通路其長(zhǎng)度不超過(guò)（n-1）。本例中，A2繼續(xù)運(yùn)算，得到矩陣A3可知：，從矩陣A2中可以看出，節(jié)點(diǎn)S2和S3在矩陣中的相應(yīng)行和列，其元素值完全相同，出現(xiàn)這種情況，即說(shuō)明S2和S3是一回路集。因此，只要選擇其中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)即可代表回路集中的其他節(jié)點(diǎn)。簡(jiǎn)化后的可達(dá)矩陣稱為縮減可達(dá)矩陣R’：課堂練習(xí)根據(jù)鄰接矩陣A，求出可達(dá)矩陣答案：可達(dá)矩陣R=A3=(A+Ⅰ)3解釋結(jié)構(gòu)模型法3.2.1圖的基本概念3.2.2圖的矩陣表示法3.2.3ISM的工作程序3.2.4ISM的建模步驟3.2.3ISM的工作程序1、組織實(shí)施ISM的小組2、設(shè)定問(wèn)題3、選擇構(gòu)成系統(tǒng)的要素4、根據(jù)要素明細(xì)表構(gòu)思模型，并建立鄰接矩陣和可達(dá)矩陣5、對(duì)可達(dá)矩陣進(jìn)行分解后建立結(jié)構(gòu)模型6、根據(jù)結(jié)構(gòu)模型建立解釋結(jié)構(gòu)模型ISM工作原理圖意識(shí)模型要素及其關(guān)系集合可達(dá)矩陣骨干矩陣遞階結(jié)構(gòu)模型(多級(jí)遞階有向圖)要素及其關(guān)系集合SiRSj分析報(bào)告修正計(jì)算機(jī)人解釋作圖分檢推斷解釋結(jié)構(gòu)模型法3.2.1圖的基本概念3.2.2圖的矩陣表示法3.2.3ISM的工作程序3.2.4ISM的建模步驟3.2.4ISM的建模步驟Step1、建立鄰接矩陣Step2、建立可達(dá)矩陣Step3、可達(dá)矩陣的分解Step4、求縮減可達(dá)矩陣Step5、做出階梯有向圖Step1.建立鄰接矩陣一般先根據(jù)小組成員的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有一個(gè)大體或模糊的認(rèn)識(shí)，建立一個(gè)構(gòu)思模型。接下來(lái)判斷要素之間有無(wú)關(guān)系：(1)Si×Sj，即Si與Sj和Sj與Si互有關(guān)系，即形成回路；(2)Si○Sj，即Si與Sj和Sj與Si均無(wú)關(guān)系；(3)Si∧Sj，即Si與Sj有關(guān)，而Sj與Si無(wú)關(guān)；(4)Si∨Sj，即Sj

與Si有關(guān)，而Si與Sj無(wú)關(guān)。采用上三角陣法比較，對(duì)于一個(gè)n×n的矩陣來(lái)說(shuō)，只需比較(n2-n)/2次即可，不必去比較n2。下面舉例說(shuō)明：例：現(xiàn)有由7個(gè)要素組成的系統(tǒng)，試建立它的關(guān)系，并求出鄰接矩陣和可達(dá)矩陣。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中各要素之間的關(guān)系，可得到一個(gè)三角關(guān)系陣：11234567234561123456723456由此可得到關(guān)聯(lián)矩陣A由右圖求其鄰接矩陣A另解（補(bǔ)充）Step2、建立可達(dá)矩陣建立可達(dá)矩陣有兩種方法：一種是利用前面我們所學(xué)的鄰接矩陣加上單位陣，經(jīng)過(guò)至多(n-1)演算后能得到可達(dá)矩陣。上例另一種方法是通過(guò)分析可達(dá)矩陣的推移性，直接得出可達(dá)矩陣。（略）Step3、劃分先介紹幾個(gè)有關(guān)的定義：可達(dá)集合(Reach)先行集合(Ahead)共同集合(1)A(Si)——沒(méi)有回路的上位集，指Si與A(Si)中的要素有關(guān)，而A(Si)中的要素與Si無(wú)關(guān)，即存在著從Si到A(Si)單向關(guān)系，從有向圖上看，從Si到A(Si)有有向邊存在，而從A(Si)到Si不存在有向邊。(2)B(Si)——有回路的上位集，指Si與B(Si)間的要素具有回路的要素集合，從有向圖上看，從Si到B(Si)有有向邊存在，而從B(Si)到Si也存在有向邊。(3)C(Si)——無(wú)關(guān)集，指既不屬于A(Si)，也不屬于B(Si)的要素集合，即Si與C(Si)中要素完全無(wú)關(guān)。(4)D(Si)——下位集，即下位集D(Si)要素與Si有關(guān)，反之則無(wú)關(guān)。從有向圖上看，只有從D(Si)到Si的有向邊存在，反之，則不存在。B(Si)A(Si)D(Si)SiC(Si)四種要素的集合關(guān)系10000001100000011110001110000010000011101100001S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7R=要素R（ni）1121，233，4，5，644，5，65564，5，671，2，7可達(dá)集合(Reach)：系統(tǒng)要素Si的可達(dá)集是可達(dá)矩陣或有向圖中由Si可到達(dá)的諸要素所構(gòu)成的集合。

R（ni）={nj∈N︱mij=1}R（ni）是由可達(dá)矩陣中第ni行所有矩陣元素為1的列所對(duì)應(yīng)的要素集合而成；N為所有節(jié)點(diǎn)的集合。Step3、劃分先行集合(Ahead)：系統(tǒng)要素Si的先行集合是可達(dá)矩陣或有向圖中可以到達(dá)Si的諸要素所構(gòu)成的集合。

A（ni）={nj∈N︱mji=1}A（ni）是由可達(dá)矩陣中第ni列所有矩陣元素為1的行所對(duì)應(yīng)的要素集合而成；N為所有節(jié)點(diǎn)的集合。要素A（ni）11，2，722，73343，4，63，4，5，6563，4，67710000001100000011110001110000010000011101100001S1S2S3S4S5S6S7

S1S2S3S4S5S6S7R=共同集合：用T表示所有要素ni的可達(dá)集合R(ni)與先行集合A(ni)的交集為A(ni)的共同集合。

T={ni∈N︱R(ni)∩A(ni)=A(ni)}要素R（ni）A（ni）R（ni）∩A（ni）111，2，7121，22，7233，4，5，63344，5，63，4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777要素A（ni）11，2，722，73343，4，63，4，5，6563，4，677要素R（ni）1121，233，4，5，644，5，65564，5，671，2，7T={3,7}不難看出，R(ni)≥A(ni)，T代表那些源的集合，即系統(tǒng)的底層要素。通過(guò)可達(dá)矩陣的分解，可求得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，其分解方法與步驟為：（1）區(qū)域分解，即把元素分解成幾個(gè)區(qū)域，不同區(qū)域的元素相互之間是沒(méi)有關(guān)系的；（2）級(jí)間分解，對(duì)屬于同一區(qū)域內(nèi)的元素進(jìn)行分級(jí)分解；劃分的具體步驟（3）強(qiáng)連通快劃分，對(duì)每級(jí)要素中可能有強(qiáng)連接要素。（1）區(qū)域劃分區(qū)域劃分就是把要素之間的關(guān)系分為可達(dá)與不可達(dá)，并判斷哪些要素是連通的，即把系統(tǒng)分為有關(guān)系的幾個(gè)部分或子部分。首先,確定R(ni)與A(ni)及R(ni)∩A(ni)接著，求出共同集合T，即求出底層要素的集合;然后，找出同一部分的要素，如兩要素在同一部分，則有共同的可達(dá)集。即R(ni)∩R(nj)≠Ф。否則，它們屬于兩個(gè)連通圖。例如，可達(dá)矩陣如右圖，進(jìn)行區(qū)域劃分。要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)1

1

1,2,712

1,2

2,723

3,4,5,6

334

4,5,6

3,4,6

4,65

5

3,4,5,656

4,5,6

3,4,6

4,67

1,2,7

77要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)1

1

1,2,712

1,2

2,723

3,4,5,6

334

4,5,6

3,4,6

4,65

5

3,4,5,656

4,5,6

3,4,6

4,67

1,2,7

77通過(guò)定義可知，T={3,7}且R(3)∩R(7)=Ф,則系統(tǒng)可分為兩個(gè)連通域：{1,2,7}，{3,4,5,6}。（2）級(jí)間劃分級(jí)間劃分就是把系統(tǒng)中的所有要素，以可達(dá)矩陣為準(zhǔn)則，劃分成不同級(jí)（層）次。首先,確定R(ni)與A(ni)及R(ni)∩A(ni)接著，求出R(ni)=R(ni)∩A(ni)的要素集合，即求出最上一級(jí)的要素集合;然后，從可達(dá)矩陣中劃去最高級(jí)要素的行和列，再?gòu)氖Ｏ碌目蛇_(dá)矩陣中尋找新的最高級(jí)要素。若用L1,L2,…,Lk表示從上到下的級(jí)次，則有k個(gè)級(jí)次的系統(tǒng)，級(jí)間劃分可用下式來(lái)表示：若定義第零級(jí)為空集，即L0=Ф,則可以列出求其迭代算法：式中Rk-1(ni)和Ak-1(ni)分別是由N-L0-L1-…-Lk-1要素組成的子圖求得的可達(dá)集合和先行集合。要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)1

1

1,2,712

1,2

2,723

3,4,5,6

334

4,5,6

3,4,6

4,65

5

3,4,5,656

4,5,6

3,4,6

4,67

1,2,7

77滿足R(ni)=R(ni)∩A(ni)的要素有n1和n5,再由N-L0-L1，即去掉L0和L1，進(jìn)行第二級(jí)劃分得到R(ni)與A(ni)及R(ni)∩A(ni)。要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)2

2

2,723

3,4,6

334

4,6

3,4,6

4,66

4,6

3,4,6

4,67

2,7

77滿足R(ni)=R(ni)∩A(ni)的要素有n2、n4、n6再由N-L0-L1-L2，進(jìn)行第三級(jí)劃分得到R(ni)與A(ni)及R(ni)∩A(ni)。要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)3

3

337

7

77滿足R(ni)=R(ni)∩A(ni)的要素有n3、n7,第三級(jí)要素集合：這樣，經(jīng)過(guò)三級(jí)劃分，可將M的7個(gè)單元?jiǎng)澐衷谌?jí)內(nèi)：SiR(Si)—可達(dá)集合A(Si)—先行集合T(Si)—共同集合T(Si)=R(Si)111,2,711√L1={S1,S5}21,22,7233,4,5,63344,5,63,4,64,6553,4,5,655√64,5,63,4,64,671,2,777SiR(Si)—可達(dá)集合A(Si)—先行集合T(Si)—共同集合T(Si)=R(Si)33333√L3={S3,S7}77777√SiR(Si)—可達(dá)集合A(Si)—先行集合T(Si)—共同集合T(Si)=R(Si)222,722√L2={S2,S4,S6}33,4,63344,63,4,64,64√64,63,4,64,66√72,777L1L2L3新的可達(dá)矩陣M0（3）強(qiáng)連通塊劃分在進(jìn)行級(jí)間劃分后，每級(jí)要素中可能有強(qiáng)連接要素。在同一區(qū)域內(nèi)同級(jí)要素相互可達(dá)的要素，就稱為強(qiáng)連通塊，即有向圖中有回路，或者在矩陣中，兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)的行元素和列元素完全相同。如前面所講的例子中，{4，6}就屬于強(qiáng)連通塊。Step4、求縮減可達(dá)矩陣由于要素中存在著強(qiáng)連通塊，而且在構(gòu)成它的要素集中相互可達(dá)且互為先行的，它們就構(gòu)成一個(gè)回路，在上例中第二級(jí)要素n4和n6行和列的相應(yīng)元素完全相同，所以只要選擇其中一個(gè)代表元素即可。選擇n4為代表，則可得經(jīng)過(guò)排序的縮減可達(dá)矩陣：Step5.做出梯階有向圖經(jīng)過(guò)前面的劃分，就可以構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。對(duì)于前面的例子，可將其步驟歸結(jié)如下：（1）通過(guò)區(qū)域劃分，得出最底層的要素為：n3，n7，并有分布劃分可知，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可分為兩個(gè)連通域{1，2，7}與{3，4，5，6}。（2）通過(guò)級(jí)間劃分，n各要素分在三個(gè)級(jí)別內(nèi)。1、5為第一級(jí)，2、4、6為第二級(jí)，3、7在第三級(jí)。（3）從強(qiáng)連通塊劃分，4，6為強(qiáng)連通塊。

注：在做出梯階有向圖時(shí)，要遵循得到最小邊的矩陣或最小邊的有向圖。即可去掉鄰接二元關(guān)系的元素間的越級(jí)二元關(guān)系，得到最簡(jiǎn)化的梯階有向圖。進(jìn)一步，去掉縮減可達(dá)矩陣中自身到達(dá)的二元關(guān)系，即減去單位矩陣（將主對(duì)角線上的1變?yōu)?）。L1L2L31275463利用上述信息，可以得出該系統(tǒng)的分級(jí)遞階結(jié)構(gòu)模型：至此，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型即告建成。例：現(xiàn)有由7個(gè)要素組成的系統(tǒng)，試建立它的關(guān)系，并求出鄰接矩陣和可達(dá)矩陣?？偨Y(jié)做題步驟可得到關(guān)聯(lián)矩陣AStep1、建立鄰接矩陣Step2、建立可達(dá)矩陣經(jīng)過(guò)至多(n-1)演算后能得到可達(dá)矩陣。要素R（ni）1121，233，4，5，644，5，65564，5，671，2，7可達(dá)集合(Reach)：Step3、劃分先行集合(Ahead)要素A（ni）11，2，722，73343，4，63，4，5，6563，4，677共同集合要素R（ni）A（ni）R（ni）∩A（ni）111，2，7121，22，7233，4，5，63344，5，63，4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777要素A（ni）11，2，722，73343，4，63，4，5，6563，4，677要素R（ni）1121，233，4，5，644，5，65564，5，671，2，7T={3,7}要素

R(ni)

A(ni)R(ni)∩A(ni)1

1

1,2,712

1,2

2,723

3,4,5,6

334

4,5,6

3,4,6

4,65

5

3,4,5,656

4,5,6

3,4,6

4,67

1,2,7

77T={3,7}且R(3)∩R(7)=Ф,則系統(tǒng)可分為兩個(gè)連通域：{