《有理數(shù)及其運(yùn)算》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)精講

有理數(shù)及其運(yùn)算》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解有理數(shù)及其運(yùn)算的意義，提高運(yùn)算能力．2．能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大?。唤柚鷶?shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值．3．體會(huì)轉(zhuǎn)化、歸納等思想；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運(yùn)算并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．4．會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】正有理教*＜逆數(shù)性質(zhì)解為T(mén)負(fù)宥理數(shù)I有關(guān)概念卜相反數(shù)迤對(duì)值-倒數(shù)有關(guān)概念卜有理數(shù)l運(yùn)算律卜|結(jié)合律T分配律」有理數(shù)T分配律」有理數(shù)的運(yùn)算pH0減「科學(xué)記數(shù)疾—利用運(yùn)算律解有理數(shù)的混舍運(yùn)算算法要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：2）按性質(zhì)分類：（1）2）按性質(zhì)分類：「正整數(shù)整數(shù)］零VI員整數(shù)-分?jǐn)?shù)「正整數(shù)整數(shù)］零VI員整數(shù)-分?jǐn)?shù)f正分?jǐn)?shù)工員分?jǐn)?shù)非員劉數(shù)【自然數(shù)〉菲止整數(shù)止有理數(shù)有理數(shù)4 零奐有理救非負(fù)數(shù)非正數(shù)要點(diǎn)詮釋：(1)用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒(méi)有3個(gè)蘋(píng)果用+3表示，沒(méi)有蘋(píng)果用0表示表示某種狀態(tài)0°C表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線．要點(diǎn)詮釋(1)一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如兀?在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點(diǎn)詮釋：(1)一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“-”號(hào)即可.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù).4.絕對(duì)值：代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.數(shù)a的絕對(duì)值記作a.幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.②任何數(shù)同0相乘，都得0.除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a^b=a?(bM0).b乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.要點(diǎn)詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－(－3)]=－3，－[+(－3)]=3．有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：(一3)X(—2)X(—6)=—36，而(一3)X(—2)X6=36.有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如:(-3)2二9，(一3)3=-27.2.運(yùn)算律：交換律：①加法交換律:a+b二b+a；②乘法交換律:ab二ba；結(jié)合律： ①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac要點(diǎn)三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小；(3)作差比較法.(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法.要點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axlO"的形式(其中iw|a|<10，n是正整數(shù))，此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.例如：200000=2X105.【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念若一個(gè)有理數(shù)的：⑴相反數(shù)；(2)倒數(shù)；(3)絕對(duì)值；(4)平方；⑸立方，等于它本身.則這個(gè)數(shù)分別為(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ．【答案(1)0； (2)1和-1；(3)正數(shù)和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫(xiě)全.【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念.舉一反三：222TOC\o"1-5"\h\z【變式】⑴-13的倒數(shù)是 ；-13的相反數(shù)是 ；-1亍的絕對(duì)值是 .-(-8)的相反數(shù)是 ；-1的相反數(shù)的倒數(shù)是 .2某種食用油的價(jià)格隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的變化漲落，規(guī)定上漲記為正，貝卜5.8元的意義是 ；如果這種油的原價(jià)是76元，那么現(xiàn)在的賣(mài)價(jià)是 .上海浦東磁懸浮鐵路全長(zhǎng)30km，單程運(yùn)行時(shí)間約為8min,那么磁懸浮列車(chē)的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表示約為 m/min.2若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則3cd+§(a+b)= .322【答案】(1)―5；13；13；-8；2(2)降價(jià)5.8元，70.2元；(3)3.75x103；⑷3；已知|x|=|-3|，則x的值為 .【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知|x|=3,由絕對(duì)值的性質(zhì)，即可推出x=±3.【答案】±3．【解析】解:V|-3|=3,|x|=3，???|±3|=3,x=±3.【總結(jié)升華】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出3和-3的絕對(duì)值都為3.

a3?在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：2006 2007?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“a-b>0,a-b=0,a-bV0分別得到a>b,a=b,aVb"來(lái)比較兩數(shù)的大小.【答案】V【解析】解法一：作差法由于— 一2005x2007由于— 一2005x2007-2006x2006_20062007<0，所以 < 2006x2007 2006x2007 2006 200720061 1 1 1 2007解法二：倒數(shù)比較法：因?yàn)?005—+2005>*2006—2006所以2005<^0062006 2007總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法,要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用．舉一反三：a,A．a(chǎn)+bV0B.a-bV0aD.>0bC．a(chǎn)b>0變式】有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,下列各式正確的是（）答案】a,A．a(chǎn)+bV0B.a-bV0aD.>0bC．a(chǎn)b>0變式】有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,下列各式正確的是（）答案】B．類型二、有理數(shù)的運(yùn)算4.計(jì)算：10+8x思路點(diǎn)撥】原式先計(jì)算乘方運(yùn)算,再計(jì)算乘除運(yùn)算,最后算加減運(yùn)算即可得到結(jié)果．【答案與解析】1解：原式=10+8X -2X54=10+2-10=2．【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序,先乘方,再乘除,最后算加減,有括號(hào)先算括號(hào)里邊的,同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算,然后利用各種運(yùn)算法則計(jì)算,有時(shí)可以利用運(yùn)算律來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)(-2)x1-1x(-2)(2)-24+16—10-3xC-l)2006【答案】解：(1)(-2)x一—x(-2)=(-1)一x(-2)=(-1)x2x(-2)=4(2)-24+6-10-3x(-1)2006=-16+4-3X1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用(1)數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則a,-a,1的大小關(guān)系.A.-a<a<1B.1<-a<aC.1<-a<aD.a<1<-a分類討論思想：已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.( 3) 1轉(zhuǎn)化思想：計(jì)算：-35萬(wàn)一(-萬(wàn))I 14丿 7【答案與解析】解：(1)將-a在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖所示，得到aV1V-a，所以大小關(guān)系為：aV1V-a.所以正確選項(xiàng)為：D.(2)因?yàn)閨x|=5，所以x為-5或5因?yàn)閘yl=3，所以y為3或-3.當(dāng)x=5,y=3時(shí)，x-y=5-3=2當(dāng)x=5,y=-3時(shí)，x_y=5-(_3)=8當(dāng)x=-5,y=3時(shí)，x-y=-5_3=-8當(dāng)x=-5,y=-3時(shí)，x-y=-5-(-3)=-2

故（x-y）的值為±2或±8（ 3\ 3 1（3）原式=—35—肓x（—7）二35x7+—x7二246-j 14丿 14 2【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問(wèn)題的有效手段．?dāng)?shù)形結(jié)合——“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”．舉一反三：【變式】若a是有理數(shù)，|a|-a能不能是負(fù)數(shù)?為什么？【答案】解：當(dāng)a>0時(shí)，|a|-a=a-a=O；當(dāng)a=0時(shí)，|a|-a=O-O=O；當(dāng)aVO時(shí)，|a|-a=-a-a=-2a>0.所以，對(duì)于任何有理數(shù)a，|a|-a都不會(huì)是負(fù)數(shù).類型四、規(guī)律探索6?將1,…，按一定規(guī)律排列如下:第［行10第序行II12136?將1,…，按一定規(guī)律排列如下:第［行10第序行II121314請(qǐng)你寫(xiě)出第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是 思路點(diǎn)撥】通過(guò)觀察題目所給的圖形、表格或一段語(yǔ)言敘述，然后歸納總結(jié)，尋找規(guī)律.答案】1答案】1200【解析】認(rèn)真觀察可