道路與橋梁檢測第二章

§2-1振動的分類§2-2簡諧振動§2-3單自由度系統(tǒng)振動分析第二章振動與波動理論基礎(chǔ)道路橋梁工程動態(tài)無損檢測：1）樁基高低應變動力檢測；2）橋梁上部結(jié)構(gòu)動力檢測；3）FWD落錘式彎沉儀檢測等。振動是物質(zhì)的一種運動形式，是自然界十分廣泛的運動形式之一，波動是振動的傳播過程。美妙的音樂五顏六色的光無線電傳輸各信息………………..與振動波動相關(guān)什么是振動從狹義上說，通常把具有時間周期性的運動稱為振動。從廣義上說，任何一個物理量在某一數(shù)值附近作周期性的往復變化，都稱為振動。該物理量稱為“振動量”。振動量可以是力學量（位移，角位移），也可以是電磁學量（電量、電流、場強），也可以是其它物理量。從數(shù)學上來描述，振動量應該是隨時間變化的周期函數(shù)。2-1振動的分類1、按產(chǎn)生振動的原因分：

1）自由振動

2）強迫振動。2、按振動的振型分：

1）單向振動：僅用一個位移量或轉(zhuǎn)角就可表示質(zhì)點在某一個方向的瞬時位置（一個自由度），如圖2-4所示的豎向振動和扭轉(zhuǎn)振動。

2）耦合振動：需用兩個或兩個以上的位移量或轉(zhuǎn)角才能表示剛體在某一個方向的瞬時位置（多自由度），其振動特點是剛體在一個方向的運動必將引起另一方向的運動，如圖2-5所示剛體。3、按振動規(guī)律分：

1）諧和振動：是指能用一項正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表達體系運動規(guī)律的周期性振動。

2）復合周期振動：是指由有限個不同頻率的諧和振動所合成，且任意兩個諧和振動頻率之比為有理數(shù)的振動。3）隨機振動：是指不能用諧和振動或其簡單合成來表達運動規(guī)律的振動，也就是無規(guī)律的非周期振動。在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧運動。任何復雜的運動都可以看成是若干簡諧運動的合成。例：彈簧振子簡諧振動的動力學公式2.2簡諧振動例：彈簧振子彈簧振子的運動A→O：彈性力向右，加速度向右，加速；

O→B：向左，向左，減速；

B→O：向左，向左，加速；

O→A：向右，向右，減速。物體在A、B之間來回往復運動O點：彈簧處于自由狀態(tài)，m受力平衡。平衡位置物體受到一個始終指向平衡位置的彈性力f，稱為恢復力。在物體經(jīng)過平衡位置時，恢復力為零，但是物體由于慣性而繼續(xù)運動。由牛頓第二定律令則位移x所遵從的運動微分方程由虎克定律：

F=－kx

(負號表示彈性力的方向與位移方向相反)（簡諧振動的動力學方程）在振動學中定義：如果描述系統(tǒng)運動的物理量Ψ

遵從微分方程：則該系統(tǒng)的運動就是簡諧振動。由數(shù)學知識可以得到該微分方程的通解：描述了振動量隨時間的變化規(guī)律，因此(2)式也可以稱為簡諧振動的運動學方程。(2)(1)

A

和f

是積分常數(shù)，由初始條件決定。

(2)式是一個通解，但并不是唯一形式的解，余弦函數(shù)和復指數(shù)函數(shù)也是(1)式的解可見：Ψ與A、ω

、0

有關(guān)A、ω、0是描述簡諧振動的特征量注意1振幅A振幅A——振動量在振動過程中所能達到的最大值Ψ

在[–A,A]之間變化，A

恒為正值2周期、頻率、圓頻率周期T

：物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間彈簧振子二簡諧振動的特征量頻率f

：單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)圓頻率ω：物體在2π

秒時間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)(又叫角頻率)單位：赫茲（Hz）單位：弧度每秒（rad/s）T、v、ω反映了振動的快慢，由簡諧振動系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定，故稱它們?yōu)楣逃兄芷?、固有頻率、固有圓頻率彈簧振子：3相位(t+)在一個周期內(nèi)，振動量的振動狀態(tài)（y、dy/dt）與其相位是一一對應的。振動狀態(tài)的變化完全可以由相位的變化生動地反映出來。因此，相位是標示和決定振動狀態(tài)的重要特征量。初相位

決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài)15

動力學4.振動的分類：單自由度系統(tǒng)的振動

按振動系統(tǒng)的自由度分類多自由度系統(tǒng)的振動彈性體的振動

按振動產(chǎn)生的原因分類：自由振動：無阻尼的自由振動有阻尼的自由振動，衰減振動強迫振動：無阻尼的強迫振動有阻尼的強迫振動自激振動本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強迫振動。如果振動系統(tǒng)中還存在阻尼力，那么振子在運動中所受到的作用力就是回復力與阻尼力的疊加。而阻尼力總是減小回復力，因此使得振動的振幅隨時間而減小。從能量的角度來看，阻尼的發(fā)生有兩種形式，振動系統(tǒng)的能量變成熱運動的能量，摩擦阻尼振動系統(tǒng)的能量變成波動形式的能量，輻射阻尼阻尼振動實際的振動系統(tǒng)總是阻尼振動，那么系統(tǒng)要把振動維持下去必須從外邊獲得能量，也就是說有外部力的作用。外部作用力有兩種作用形式，即單方向的力和周期作用力。一個振動系統(tǒng)如果受到周期性的外部驅(qū)動力，就稱為強迫振動。它在運動中所受到的力，就是在阻尼振動的方程中再加一項周期驅(qū)動力，如果外部的周期驅(qū)動力也是按照簡諧振動的規(guī)律變化，則得到受迫振動就會穩(wěn)定為簡諧振動。強迫振動共振最重要的特征就是振幅和外力的頻率有關(guān)，而且當外力頻率滿足一定條件時，振幅存在一個最大值，這就是說外力與振動系統(tǒng)發(fā)生了共振。在外力不大的情況下，也能導致振子產(chǎn)生很大的振幅。在周期性外力作用下的強迫振動中，會發(fā)生一種特別的現(xiàn)象，就是共振。共振19

單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動

一、自由振動的概念：20

21

運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：

22二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解

對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標（從平衡位置開始量取），則自由振動的運動微分方程必將是：

a,c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令則自由振動的微分方程的標準形式：

解為：23

設(shè)

t=0時，則可求得：或：C1，C2由初始條件決定為24

三、自由振動的特點：

A——物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。

nt+——相位，決定振體在某瞬時t

的位置

——初相位，決定振體運動的起始位置。

T——周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。

f——頻率，每秒鐘振動的次數(shù)，

f=1/T。

——固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。反映振動系統(tǒng)的動力學特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。25

無阻尼自由振動的特點是：

(2)振幅A和初相位取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1)振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期T和固有頻率僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I)。四、其它

1.

如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。26

2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)271.

由系統(tǒng)的振動微分方程的標準形式2.

靜變形法：3.能量法：

求系統(tǒng)固有頻率的方法：集中質(zhì)量在全部重力作用下的靜變形由Tmax=Umax,求出28

無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。當振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。如：29

能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。

例1

圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量m

，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。30

解：以x

為廣義坐標（靜平衡位置為坐標原點）則任意位置x時：靜平衡時：31

應用動量矩定理：由，有振動微分方程：固有頻率：32

解2

：用機械能守恒定律以x為廣義坐標（取靜平衡位置為原點）

以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2x因平衡時33

由T+U=有：對時間

t

求導，再消去公因子，得34

例2

鼓輪：質(zhì)量M，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑

r

，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m,不計輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。

解：取靜平衡位置O為坐標原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標。系統(tǒng)的最大動能為：35

系統(tǒng)的最大勢能為：36

設(shè)則有根據(jù)Tmax=Umax,解得37

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念：

阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。

粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。投影式：c——粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。38

二、有阻尼自由振動微分方程及其解：質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動微分方程的標準形式。39

其通解分三種情況討論：

1、小阻尼情形—有阻尼自由振動的圓頻率40

衰減振動的特點：(1)振動周期變大，頻率減小。——阻尼比有阻尼自由振動：當時，可以認為41

(2)振幅按幾何級數(shù)衰減

對數(shù)減縮率2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù)相鄰兩次振幅之比42

可見，物體的運動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。代入初始條件3、過阻尼（大阻尼）情形

所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時間的增長，x0，不具備振動特性。43

例3

質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c。解：由于很小，44

單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動一、強迫振動的概念強迫振動：在外加激振力作用下的振動。簡諧激振力：

H—力幅；

—激振力的圓頻率；

—激振力的初相位。無阻尼強迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無阻尼強迫振動微分方程及其解45

為對應齊次方程的通解為特解全解為：穩(wěn)態(tài)強迫振動3、強迫振動的振幅大小與運動初始條件無關(guān)，而與振動系統(tǒng)的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強迫振動亦為簡諧振動。2、強迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。46

(1)=0時(2)時，振幅b隨增大而增大；當時，(3)時，振動相位與激振力相位反相，相差。

b

隨增大而減??；—振幅比或稱動力系數(shù)

—頻率比—

曲線幅頻響應曲線（幅頻特性曲線）147

4、共振現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為共振。此時，48

單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動一、有阻尼強迫振動微分方程及其解將上式兩端除以m

，并令有阻尼強迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。49

x1是齊次方程的通解小阻尼：（A、積分常數(shù)，取決于初始條件）x2是特解：代入標準形式方程并整理—強迫振動的振幅—強迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為

衰減振動