高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-第10章曲線積分2012版

第十 曲線積分與曲面積一、教學(xué)目標及基本要求：3、掌握（Green）公式，會使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配：2242222三、教學(xué)內(nèi)容的重點及難點：第一節(jié)對弧長的曲線積分（第一型內(nèi)前面我們已經(jīng)講過好幾種積分，如單積分（定積分一 對弧長的曲線積分的概念與性,（連續(xù)L的質(zhì)量M在曲L上插入若干個分點，比如(n1)點：M1M2Mn1，把L分成n個小段，(xy(xy變化不大，可在這段上任取一點(i,i)，其線密度值(i,i)作為整個小段上的線密度值，即把這段看成是密度為(i,i)的均質(zhì)曲線段，其質(zhì)量(i,i

Si為弧Mi1Minn作和得整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量的近似值M(i,i為了提高精度，讓弧長的最大值0，其極限值即為曲線構(gòu)件的質(zhì)量nMlim(i,i)Si0定義Lxoyf(xyLL上任意插入一點列M1M2Mn1L分成n個小段，設(shè)第i個小段的長度為si，又(i,i)n第if(i,i)si(i12,n并作和f(i,i)si如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值0f(xyL上對弧長的曲線積分或第一類（型）曲線積分，記作f(xy)dsL即f(xy)dslim

0積分記為vf(x,y)ds。L注：1.可積條件f(xyLf(x,y,z)dslimf(,, 0幾何意義f(xy0f(xy)dsxoyLLf(i,i

f(x,

事實上，在L上任意插入一點列M1M2ML分成n個小段，設(shè)第i個小段的長度為L

M M

(, f(i,i為高，以sinf(i,i)si(i12,n，柱面面積的近似值為f(i,i)siAlimf(,)sf(xy)ds 0 對弧長曲線積分的性質(zhì)性質(zhì) f(x,y)g(x,y)dsf(x,y)dsg(x,y)ds（線性性 性質(zhì) f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds（對弧段的可加性L 性質(zhì) 設(shè)(x,y)L有f(x,y)g(x,y)，f(x,y)dsg(x,y)ds（單調(diào)性 f(x,y)dsf(x,y) f(x,y)dsf(L二、對弧長的曲線積分的計算法x(ty(t),tf(x,y)dsf((t),(t))[(t)]2[(t)]2 其中(t),(t具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(t)2(t)20證明：假定當(dāng)參數(shù)tL上的點MABLAM0,M1,M2,Mn1,Mn它們對應(yīng)于一列單調(diào)增加的參數(shù)值：t0t1"tn1tnf(xy)dslimf(, 0設(shè)(i,i對應(yīng)于參數(shù)值i，即(i,i(i),(i)),ti1i利用積分中值定理si

2(t)2(t)dt2()2( 其中ttiti1,ti1if(x,y)dslim

f(,)Slim

f((t),(t))2()2(ii iilim

f((t),(t))2(t2(t)t（將換為t，用到一致連續(xù)，解釋 f((t),

yy(xx1xx2xxyy1y11[f(x,y)dsf(x, 11[x( f(x,y)dsf(x(y), (),f(x,y)dsf(()cos,()sin)[()]2[()]2 若積分弧段為(abb f(x,y)ds f(cos(),sin())122( xyy(t，tz

，則ds[x'(t)]2y'(t)]2z'(t)]2dt f(x,y,z)ds=

f(x(t),y(t),

[x'(t)]2y'(t)]2z'(t)]2dt 例 ）設(shè)橢圓柱面x2y

1zy

0 x2xALzdsLydsLLx 5cost,y3sint(0t

y9

1（y0 A

yds3sint5sin2t9cos2tdt

54cos2tdcost915lnL

xa2a2x2xa2

a2a2 ln(x2

)計算L

ydsLyx2上從點(0,0到點(1,1 551 yds

1x21y2dx 0

114x2dx 例 計算

R2x2y2dsLx2y2Rxy0Rcos(02則

R2x2y2ds 0

R2sin2

(Rsin)2(Rcos)22R0

R2dR22sindR0計算L

a,0,4

xx2 ds

x2y2 2a2 edeaaded2(ea1) xa2ex2y2dsaexdxaxa22a2e 2a ex2y2ds exdxeaaded2(ea1) 例計算

(x2y2z2)ds，其中xcostysintzt0t 因為x2y2z2=cos2tsin2tt2=1t2，ds (sint)2(cost)21dt 2dt所以

(x2y2z2)ds

(1t2)2dt2(2

) |y|ds，其中為球面x2y2z22與平面xy的交線 的參數(shù)方程為xycost,z

2sint，0t2，dsx'2y'2z'2dt2dt根據(jù)對稱性得到

|y|ds=

2costdt202x2y22 計算2

(x2y2z2)ds，其中

z

(axa解yasint0t2dsz

[x'(t)]2[y'(t)]2[z'(t)]2dt a2(sin2tcos2t)dt

(x2y2z2)ds0

(a21)adt2a(a2x2y2z2中的點(xyz位于曲線上，即(xyz必須滿足x2y2z2a21

(x2y2z2)ds

(a21)ds=(a21)ds2a(a2x y例設(shè)L為橢圓 1，其周長記為a，則v(2xy3x24y2)ds 三、第一類曲線積分的應(yīng)用：）、曲線s=d

））

f(x,y,z)ds質(zhì)心坐標為(xyzx

xf(x,y,z)ds

,y

yf(x,y,z)ds

,z

zf(x,y,;MxIx

y2z2f(xyz)ds例R，中心角為2L （設(shè)密度 I yLLxRcosyRsin,I y2dsL

R2sin2

(Rsin)2(Rcos)2dR3(sincos例（）一根位于yoz平面沿半圓y2z21,z0的彎曲金屬弧（見圖弧上點(xyz(xyz)2z，即該金屬弧由下至上其密度逐漸減少，解由于弧yOzzxy0，zz(x,y, (x,y, 其中

x(t)0,y(t)cost,z(t)sint,0t(x,y,z)ds(2sin

x2(t)y2(t)z2(t)dt(2sint)1dt20 z(x,y,z)dssint(2sin

x2(t)y2(t)z2sint(2sint)dt8x18 8 x1

y2z2z 2 4（0，0，0.57教學(xué)要求和第二節(jié)對坐標的曲線積一、對坐標的曲線積分的概念與性 變力沿曲線所作的 設(shè)有變力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j(P,Q連續(xù))把一G G G G 功WFABFABcosFeAB現(xiàn)在是變力沿曲線作功，采用以前的方法化變?yōu)椴蛔僉L上插入n1AM0M1Mn②取近似：用 代替 ,且 M

G G，同時取(,M xi yi F(x,y)沿曲線弧M作功，用恒力F(i,i)沿直線段Mi1Mi作功近 即 wiF(i,i)Mi1Mi(P(i,i)iQ(i,i)j)(xiiyijP(i,i)xiQ(i,in③求和Wn

n Bn nnWlim0nlimP(i,i)xiQ(i,i)y0PdxQdyPdx

AM

也可寫成向量形式PdxQdy(PQdxdyF定義

另：wi也可看成是恒F(i,i)在點(i,i)沿曲L的單位切線方向e(i,i)G,)長s所做的功，即w ,))s，從

(F( G

e( Wlimwilim(F(i,i)e(i,i0 0 變力作功為：WF(xyexLW L

G F(x,y)drF(x,y)e(x, 或：WPdxQdy(PcosQcos)ds WPdxQdyRdz(PcosQcosRcos 或WF(xyzdrF(xyze 性質(zhì)⒈（線性性質(zhì) (k1F1(x,y,z)k2F2(x,y,z)) k1F1(x,y,z)drk2F2(x,y,z)性質(zhì)⒉（對于積分曲線弧的可加性設(shè)有向曲線被分成兩條有向曲線弧1和21和2的方向與的方 JJG

1

F(x,y,z) F(x,y,z)dr

F(x,y,z) 性質(zhì)⒊（方向性 F(x,y,z)drF(x,y,z)二 對坐標的曲線積分的計算Lx(ty(t，起點對應(yīng)的參數(shù)值為，終點對應(yīng)的參數(shù)值為PdxQdy[P((t),(t))(t)Q((t),(t))L]22LLP(xy)dxQ(xy)dy[P]22L[P((t),

[P((t),(t))(t)Q((t),(t))Lyy(xA(x1y1B(x2y2則PdxQdy[P(x,y(xQ(x,y(x PdxQdy[P(x(y),y)x(y)Q(x(y), 設(shè)xx(t),yy(tzz(t，起點的參數(shù)值t，終點的參數(shù)值為tPdxQdyRdz[P(x(t),y(t),z(t))x(t)Q(t)y(t) 例計算xydxLy2xA(1,1)Lxydx1y2y2ydy 例計算Ly2dxL半徑為a

y2dx

(a2x2)dxa

43（2）Ly2dx 0dxa例計算2xydxx2dyL為L（1）yx2上從點O(0,0)（2）xy2上從點O(0,0)（3）有向折線OABO(0,0),A(1,0計算

x3dx3zy2dyx2ydz，其中A(3,2,1)B(0,0,0

tAB對應(yīng)t1txyAB對應(yīng)t1txyz3210x3dx3zy2dyx2ydz[(3t)333t(2t)22(3t)22t]dt0 或x3dx3zy2dyx2ydzx3dx

yy2dy09z22zdz87 例計算

x2dxzdyydz，其中xkyacoszasin上從0到 3

k32xdxzdyydz[kasinacos]d= a2 例計算曲線積分c(zydx(xzdy(xydz，其中Cx2y2 先寫出曲線C的參數(shù)方程，可令xcos，ysin，則z2cossin，為參數(shù)，由題設(shè)，C的起點、終點對應(yīng)的參數(shù)值分別為2和0；在代入計算公式解曲線C是

xcosysinz2cossin20原式0[(2cos)(sin2cos2sincos(cossin)(cossin 0(2sin2cos2cos21)

0d20 例2F(xy)xyix2j⑴一質(zhì)點從O(0,0yx2B(1,1⑵一質(zhì)點從解 據(jù)第二型曲線積分的物理意義力場所做的功Wxydxx2dy1(xx2x22x)dx31x3dx x定向直線OAy

x：01，定向直線AB：x y：0yWxydxx2dyxydxx2dyxydxx2dy1x0dx1dy 方向垂直于z軸并且指向z軸，試求一質(zhì)點沿圓弧xcost,y1,zsint從點(1,1,0)依t增加的方向移動到點(0,1,1)時場力所作的功 解：設(shè)作用點的坐標為(x,y,z) G(x,y,x2場力的大小F ，場力的方向與(x,y,0)x2G 對應(yīng)的單位向量為e , ,0x2x2x2GGG

, F x2y2x2 d(x2y2 場力作功為Wx2y2dxx2y2dy2 x2 k2d(cos2t

lncos2t1 ln0 0

三 二類曲線積分之間的聯(lián)x(t),y給出，起點A對應(yīng)的參數(shù)為t1，終點B對應(yīng)的參數(shù)值為t2t1t2，2LP(x,y)dxQ(x,y)dy[P((t),(t))(t)Q((t),(t2[P((t),

Q((t),

[[(t)]2[[PcosQcosLP(xyz)dxQ(xyz)dyR(xyz)dz[PcosQcosRcosGA

(P,Q,

Gdxdydz),G(coscoscos)，則上式 G AdrAdsAG 其中Gdxdydz(t),222222222222例1把第二類曲線積分P(x,yz)dxQ(x,yz)dyR(x,yz)dz其中為從點(0,0,0)到點(22

22解的方向向量為(2,2,1)，其方向余弦cos1,cos1,cos 2 2.把第二類曲線積分LP(xy)dxQ(xy)dyL為從點(0,0)沿上半圓周x2y22x到點(1,1)2x解L的參數(shù)方程為2x

x01，切向量(xy')(

1 2x單位切向量為(2xx21x)cos2xP(xy)dxQ(xy)dy[P(xycosQ(xycos]ds[2xx2P(xy1x)Q(xy)]ds 教學(xué)要求和第三節(jié)格林(Green)公式及其應(yīng)講稿內(nèi)容一 格林公 Pdx y D y2

Pdxdy yyox x b 2(x) bydxdydxdyP(x,2(x))P(x,1(x)) 1(x) 而P(x,y)dx P(x,1(x))dx0 P(x, bP(x,2(x))P(x,1a所以PdxdyD D為Y-QdxdyD ③若區(qū)域DX-型區(qū)域，又是Y- Pdx y D D1D2X-型區(qū)域，又是Y-型區(qū)域。 BLo BLox 則

dxdy

PdxQdy1 1

y

L1

Pdx 222 2

D Ly xy

dxdyPdxD ①PyQx，則有2dxdyxdy DAdxdy1xdy 2P0,QxALPyQ0AL

例xacosybsin 1 xdyydx [acosbcosbsinasin]d 例求2xydxx2dyLL2xydxx2dy(2x2x)dxdy 例計算ey2dxdyD是以O(shè)(0,0A(1,1B(0,1D )ey2dxdydyey2dx1(1) 2P0,Qxey2)1ey)1ey2dxdy xey2dy0dxxe100dxDOAAB0110eydy (1 例計算積分xy2dyx2ydxLaLL:xacost,yasint,t0txy2dyx2ydx2a4sin2tcos2tdt1a4(1cos4t)dt1a xy2dyx2ydx(y2x2)dxdydr2rdr

1aL xy2dyx2ydx1a4xy2dyx2ydx1a4 例 計算

(x22y)dx3xyey)dyLA(2,0)B(0,1)的直線段1yx2y2及從B(0,1)到C(1,0)的圓弧x1y JJJG(x22y)dx(3xyey)dy5dxdy5(121112)5(11則

(x22y)dx(3xyey)dy2x2dx (x22y)dx(3xyey)dy5(1)32 例計算L

x2y解：易知P y2x

(x2y2

x2 林公式條件，可用格林公式x2

0dxdy vxdyydxL

x2

0dxdy0DLx2yLx2y

x2y2

（稱為閉路變形原理，可作結(jié)論使用Kx2y2r2KDKxdy 2rcosrcosrsinr

x2y r d20xdyydxLx2y例 計算xdyydx，其中L為不通過(0,0)點的簡單光滑閉曲線L4x2y:xcos,ysin

:0例計算曲線積分(exsinyy)dxexcosy1)dyC其中C是上半圓周(xa)2y22

(a)2

A(a,0)到O(0,0解：不能直接使用格林公式，添加輔助線OA(exsinyy)dx(excosy1)dydxdy1(a)21a (exsinyy)dx(excosy1)dy1a2(exsinyy)dx(excosy1)dy1a 二 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條與B的兩條曲線l1,l2，恒有PdxQdyPdxQdy 則說曲線積分PdxQdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)，否則便說積分與路徑有L論成立。

PdxQdy0AB及l(fā)1l2的任意性，可知下面2l1l2曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)對于G內(nèi)的任意閉曲線C有PdxQdyC定理 P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則積PdxQdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)在G內(nèi)有PQ 證明：充分性：即已知G內(nèi)有PQ，要證閉CGPdxQdy0 林公式PdxQdyQP)dxdy 必要性：即任意閉CGPdxQdy0，要證G內(nèi)有PQ 設(shè)MG，使QP 0，由于QP連續(xù)，所以存在以M為中心 y0 0

x 半徑rK，使QP0 PdxQdy(QP)dxdyr20 2xx例計算(x2y)dx(xsin2y)dy其中L是在圓周y2xxL)解：易驗證P1Q，所以積分與路徑無關(guān) 沿O(0,0)A(1,0)B(1,1)的直線段，如 (x2y)dx(xsin2y)dyx2dx(1sin2Lsin2

例 計 (2xy3xsinx)dx(x2yey)dy，其中L為擺線xtsint從 y1cos O(0,0B(,2)B(,C(, 本例若通過L的參數(shù)方程直接計算積分之值，顯然是非常的。注意到：QB(,C(, B(,2) (2xy3xsinx)dx(x2yey)dyJJJG 3xsinxdx2(2yey)dy223e2 三、二元函數(shù)的全微分求積的全微分，并求出該二元函數(shù)。即找u(x,y)，使duPdxQdy.定理 設(shè)函數(shù)P,Q在單連通區(qū)域G內(nèi)具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則PdxQdy在G為u(x,y的全微分(x,yGPQ 必要（）duPdxQdy，則uPuQ，進一步有2u P

yyxxy,x連續(xù)，所以xyyxyx充分性：若(xyGPQ2知，在G 只與起點、終點有關(guān)。設(shè)M0x0y0M(xy)為終點，曲線積分可記為(x,y Qdyx,y的二元函數(shù)，記為u(x,y(x,y0

u(x,y)

(x,y(x,y)Pdx0下證duPdxQdy，只須證uPuQ u(xx,y)u(x,

1(xx,y

PdxQdyu(x, (x,y 0 1(x,y (xx,y

x

PdxQdy PdxQdyu(x,y)（取平行坐標軸的直線段 (x,y (x,y 0 lim

P(x,y)dx

P(xx,

P(x,yx0

同理可證u當(dāng)存在u(x,y)，使得du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy成立時，稱u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy的原函數(shù)。可以利用原函數(shù)u(x,y)PdxQdy

Aduu(B)u(A)u(M)AA這個定理的證明也提供了u(xy的求法：在定理條件下，積分與路徑無關(guān)，取平行與坐標軸的直線段，得求u(x,y)的公式。 u(x,y)P(x,y0)dxQ(x,y)dyQ(x0,y)dyP(x, 由前面的討論知，曲線積分與路徑無關(guān)有下面四個等命題PQ在單連通區(qū)域GCG,PdxQdyC任意連接起點與終 徑l1,l2，有PdxQdyPdx u(x,y，使duPdx(x,y)G,P 例解：因在全平面成立P2xyQxy2dxx2ydy

(x,y 法1公式法（線積分法）u(x,y)xy2dxx2ydyx2ydy x2y 2偏積法，所求u滿足uxy2ux2 所以u xy2dx(y)1x2y2(y)，2x2yux2y(y)(y)0(y)Cu1x2y2 例6 求u(x,y)，使du(xy1)dx(xy23)dy。 因為Q1P (x,y)R2， 線積法u(xy)xy)(xy1)dxxy2x(x1)dxy(xy23)dyCx2xxy1y33y 偏積法 x由于 xy1，兩端對x積分得：u(x,y) xyx(y)，(y)待定 求 x'(y)，又由 Q(x,y) 則y)

23，'(y) 3yC，u(x,y) xxy1y

3yy3 y3 下面給出曲線積分與路徑無關(guān)的四個等價命題中（1）（2）（3）穩(wěn)定場：場中的物理量只與點M的位置有關(guān)，與時間t無關(guān)，稱為穩(wěn)定場，通常記為u(M),A(M).時變場：場中的物理量不僅與點M的位置有關(guān)，還與時間t有關(guān)，稱為時變場，通常記為u(M,t),A(M,t).等值面：給定空間數(shù)量場u(xyz)，把取相同值C的點所構(gòu)成的曲面u(xyz)Cu(xyzx2y2z2等值線：給定平面數(shù)量場u(x,y，把取相同值C的點所構(gòu)成的曲線u(x,y)u(xyx2y2向量線：給定空間區(qū)域GA(xyzG內(nèi)這樣的因PdxQdy(PQdxdyv(M eG(Me

(PQ)，由物理

知， G表示速度 在曲線v(M v(M) v(M上沿單位切向量的分速度，積分 Gds表示單位時間內(nèi)，場

沿閉曲線Cv(M)

v(MC動流體的數(shù)量，稱為環(huán)流量。所以，四個

G0沿任意閉路曲線積分等于零，即C

eds v(M)CGv(M

C上任意一點無旋轉(zhuǎn)趨勢，稱v(M為無旋場積分CPdxQdyAPQ為保守場給定數(shù)量場u(xygradu

uG

u

PQ；這里是x y問題，給定向量場APQ)，能否存在數(shù)量場u(x,y)graduA。命題（3）給出肯定回答，這樣的數(shù)量場u(xy存在，此時稱u(x,y)為向量場A的勢函數(shù)A例A(3x26xy,3y23x2是有勢場，并求其勢函數(shù)。教學(xué)要求和舉2個例子說明格林公式的用法第四 對面積的曲面積講稿內(nèi)容定義設(shè)曲面是光滑的，函數(shù)f(x,yz在上有界。把任意分成n小塊（Si同時也代表第i小塊曲面的面積，設(shè)(i,i,i是Sin

f(i,i,i)Si，如果當(dāng)各小塊曲面的直最大值0f(xyz在曲面的曲面積分或第一類曲面積分，記為n

f(x,y ，即f(x,y,

0

f(i,i,i)Sif(x,yz曲面的直徑：曲面中任意兩點距離的 (fg)dSfdS （線性性 fdSfdS （可加性1 (x,y),f(x,y)g(x,y)，則fdSgdS（單調(diào)性 二、對面積的曲面積分的計算法對曲面積分的計算法：化曲面積分為二重積分，一代二換三投影①設(shè)zz(xy，xoyDxy，zz(xyDxy f(x,yz)在 f(x,y,z)dS f(x,y,z(x,y))1z2(x,y)z2(x, 一代：被積函數(shù)中的某個變量用曲二換dS三投影：將 投影到相應(yīng)的坐標面上 ②設(shè)xxyzyozDyz f(x,y,z)dS f(x(y,z),y,z)1x2x2 ③設(shè)yy(xzxozDxz f(x,y,z)dS f(x,y(x,z),z)1y2y2 ④設(shè)曲面方程由參數(shù)方程給出:xx(uv),yy(uvzz(uvGif(x,y,z)dSf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

zu f(u,

EGF2

Ex2y2z2GG記Gx(uvy(uvz(u ruru Gx2y2z2GFxv

vyyv

vzzGvu u u ru計算曲面積分1dS，其中x2y2z2a2zh(0ha2x2a2x21xya2x2y a2x2ydS dxdy

aa2x2yxoyx2y2a2h2z1dSz

dxdy

a2x2ya2a2x2y

a2a2

aa2x2y

2

a2

h計算xyzdS，其中x0,y0,z0,xyz1所圍成的四面體解：題中的四個平面分別記為12,34，xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS 4:x1y11x2x 3 1 xyzdSdy(1yz)yz 3dydz120

所以xyzdS1203 3x2y例計算(x2y2x2y12

z11:z x2y2(0z2z1(0x2y21)12xoyDxyx2y2(x2y2)dS(x2y2)dS(x2y2 (x2y2)2dxdy(x2y2

x2yd22dd2dx2y 計算I(xyyzx2y22ax

，其中為錐面z 被曲1xyx2y x21xyx2y x2y

dxdy

xoyx2y22ax，對應(yīng)的極坐標方程為r2aI

2a(r2cossinrsinrrrcos)0

2 dr3(cossinsincos2 4

(2acos

(cossinsincos（利用被積函數(shù)的奇偶性4 8

cosd

2a4 x2y2a2z0,zmx(m0xb(ba所a2xa2xa2a2x1y2y a2xa2xa2dSa2xa2xa2 zz3z x3z4計算zdS，其中x2y21z0z1x 如圖，123y①1z(x,y)0，則zdS0dSy 21x1x后兩部分的方程分別為：y1x1x1Dzx：0z1x，1x111y2y1y2y 11x 1 11 zdSzdSzdS2z

1

2dzdx

dz

dx11 2111z2z 121z2z 12

(x,y)x2y21, 故zdS(1x)2dxdy2d1(1rcos rdr 22(11cos)d （若利用對稱性：zdS(1x)2dxdy 2dxdy 2 ) 從而zdS=zdS+zdS+zdS=03 2 3) 解：由于密度為常數(shù)，所以xy0,z xRsin球缺面的參數(shù)方程為yRsinzR

02,04dSR2sindS

3R2sind(2 1 31 zdSdRcosRsind 2(2 z2(2 教學(xué)要求和講稿內(nèi)容

第五節(jié)定義：光滑曲面，在曲面上任取一點M，在這一點有一法線，讓M沿曲面連續(xù)移動但不經(jīng)過曲面的邊界，若M回到出發(fā)點時，其法線的方向與出發(fā)點的方向雙側(cè)曲面又分左右側(cè)、內(nèi)外側(cè)、上下側(cè)等，我們把選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面設(shè)S為xoy面的投影記為(Sxy，投影面積為()xy，則規(guī)定：()xy,cos(Sxy)cos 為Sz

cos注意Sxoy面的投影(Sxy實際上就是Sxoy面的投影區(qū)域的面積(xy附上一定的正負號。即：若小塊曲面S的上側(cè)投影到xoy面為正，則下側(cè)投影到xoy面就為正，說明()xy前的正負號是用來確定曲面的側(cè)的。由的光滑性及S的任意性可以保證Scos0或cos類似可規(guī)定有向曲面S對其它坐標面的投影。引例流向曲面一側(cè)的流量Gv(x,y,G

P(x,yzQ(x,yzR(x,yzv(MC(流量：單位時間內(nèi)通過有向曲面 （通過曲面 若有向曲面變?yōu)橛邢蚱矫鍭 流速v(x,y,z)變?yōu)槌Ａ緼上給定側(cè)的單位法向量為G則Av G AvcosA(vGnicosi,cosiGv(Mi)P(Mi),Q(Mi),R(MiSiMi(i,i,ii①劃分（分：把分成n小塊Si（同時也表相應(yīng)的面積曲面片上任取一點M( ,)，把S上各點的流速視為常量v(M)，并把 G v(Mi)的流量近似等于以Si為底、斜高為v(Mi)的斜柱 M) (v(i

求和（合：v(MininP(i,i,i)cosiQcosiRcosin④求極限（精：記為小曲面Si的直徑的最大值n P(,,)cosQcosR0

注意cosiSi是小曲面Si在yoz坐標面的投影，記為(SilimP(,,)(S Q(S R(S)0 iyz izx ixyi1 P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y, 積分P(xyz)dydzP(x,yz在有向曲面yz的曲面積分定義：設(shè)為光滑的有向曲面，函數(shù)R(xyz在上有界，把任意分成n面面Si（Si同時又表i塊小區(qū)域的面積，Sixoy面上的投影為(S)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一點，如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0nlimR(i,i,i)(Si)xyR(xyz在有向曲面xyi記作R(xyz)dxdy，即R(xyz)dxdylimR(,,)(Si 0R(xyz叫做被積函數(shù)叫做積分曲面類似可定義函數(shù)P(x,yz)在有向曲面上對坐標yz的曲面積分，P(x,y,

，及函數(shù)Q(x,yz)在有向曲面上對坐標zx的曲面積分Q(x,y,z)dzdx。以上三種曲面積分稱為第二類曲面積分注：①積分P(xyz)dydzQ(x,yz)dzdxR(x,yz)dxdy簡記 PdydzQdzdxRdxdyA ②可積條件A(x,yz)(P(x,yzQ(x,yzR(x,yz PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos 或AdSA

AnG G 1(k1A1k1A1)dSk1A1dSk1A1 AdSAdSA1 3AdSA 二、對坐標的曲面積分的計算法設(shè)積分曲面zz(xyxoyDxyR(x,y,z)dxdylimR(,,)(S i 0因為(i,i,i所以iz(i,i又cos0,故(SixyinlimR(i,iz(i,i))(ixy（利用二重積分的DR(x,y,z(x,D若積分曲面取下側(cè)，則有R(x,yz)dxdyR(x,yz(x, 解釋：設(shè)曲面積分的面積元為dxdy一代：將曲面zz(xy代入被積函數(shù)；二投：將曲面投影到xoy坐標面；三定向：上側(cè)為正，下其余同理，如若曲面積分的面積元為一代：將曲面yy(xz代入被積函數(shù)；二投：將曲面投影到xoz坐標面；三定向：右側(cè)為正，左例計算xyzdxdy，其中x2y2z2x0,y11x21x2y1x2y1x2y

xyzdxdyxyzdxdy DD

1x2y2dxdyDD

1x2y22

1x2ydxdy21x2y

cossin rdr2

1r1r 2例If(x)dydzgy)dxdzh(z)dxdy，式f(xgyh(z是長方體0xa,0y 2解123451x02:xa3:y

4:y

5z06:zc則h(z)dxdy 0000h(0)dxdyh(c)dxdyab[(h(c) f(x)dydzbcf(afg(y)dxdzac(g(b)所以Iabcf(af(0)g(bg(0)h(ch(0) 例計算yz)dydzzx)dzdxxy)dxdy，式中x2y2z2(0z的外表面。解11zh2z2x2y2(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy00(x dr2(cossin)dr (cossin)dr2 (yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy(yz)dydz(yz)dydz0

0 （yoz面為正，后側(cè)投影為負，都為同一個投影區(qū)域，所以三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)有有向曲面zz(xyxoyDxy（zz(xyDxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)在上連續(xù)）R(x,y,z)dxdyR(x,y,z(x, 由對面積的曲面積分計算方 R(x,y,z)dS R(x,y,z(x,y))1z2z2

（注意兩式不同的地方1z2z 并注意到有向曲1z2z 即有dS1z2z2dxdy dxdy，亦即cosdS R(xyz)dxdyR(xyz 1z2z 如果取下側(cè)，雖1z2z P(xyz)dydzP(xyz Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cos PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos (P,Q,R)(dydz,dzdx,dxdy)(P,Q,R)(cosdS,cosdS, AdSAndSAn, , dS(dydz,dzdx,dxdy)(cosdS,cosdS,cosdS) A GAnprjGA 說明：對坐標的曲面積分必須將曲面可以投影到你覺得方便的某一個坐標面上（合一投影，這就是兩種積分在應(yīng)用上區(qū)別。特別注意曲面的側(cè)。上

(P(zx)Q(zy)RDD計算(z2x)dydzzdxdy，其中z1(x2y2z0z 首先，計算(z2x)dydz2zy2zy其中12，1:x ，前側(cè)；2zy2zy(z2x)dydz(z2x)dydz(z2 (z2

2zy)dydz(z2 2zy2zy

(2, (2,2) oDD

2zy2dydz21

y2

2zy2dz1 其次，zdxdy (x2y2)(dxdy) dr2rdr 原積分

2 11(z2x)dydz(z2x)cosds

x2y2)2x)cos1z2z2xy(xy Dxy注意取下側(cè)，cos0,cos 11z2z 1(x2y2)2x)xdxdyDxy2

22

2

x)dydz

(4

y)x)zdxdyx

(4

y

0x2dxdydr2cos2rdr

zdxdyzcosdszdxdy1(x2y2)dxdy12d2r2rdr Dxy 2 教學(xué)要求和講稿內(nèi)容

第六節(jié)高斯公式散一、高斯(Gauss)公格林公式表達了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)定 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z)Q(x,yzR(x,yz在 yzdxdydzPdydzQdzdx (PcosQcosQcos該公式稱為高斯公式其中是(coscoscos是在點(xyz處的單z軸的直線穿過時與邊界的交點恰有兩個。如圖這時，設(shè)123xoyDxy。zz2(x,1zz1(x,zz2(x,1zz1(x,2:zz2(x,y(x,yDxy在以上假設(shè)下，可以證明Rdv z2(x,y)因為：zdvdxdy zdzR(x,y,z2)R(x,y,z1)dxdy

z1(x,y

RdxdyRdxdyR(x,y,z1)dxdyR(x,y,z2)dxdy 3 R(x,y,z2)R(x,y,z1

所 Rdv PdvPdydz y軸的直線穿過時與邊界的交點恰有兩個。QdvQdzdx 時與邊界的交點都恰有兩個，個輔助曲面，劃分使其滿足④。如圖y1y1的邊界曲面為1S2的邊界曲面為2S2 yzdxdydzPdydzQdzdxRdxdy

1 1 xy dxdydzPdydzQdzdxRdxdy S 兩式相加得

例計算(xy)dxdyyz)xdydz，其中x2y21z0z3所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。(xy)dxdyyz)xdydzyz ddr(rsinz)rdz2 例計算yz)dydzzx)dzdxxy)dxdy，式中(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy(000)dxdydz 例計算xdydzydxdzzdxdy，式中x2y2z2a2z0:xdydzydxdzzdxdy(111)dxdydz32 所以xdydzydxdzzdxdy2a3xdydzydxdzzdxdy2a3 例2Iy2x)dydzz2y)dzdxx2其中z2x2y21z2) 由于非封閉曲面，添加曲面1:z1，1取下側(cè)(y2x)dydz(z2y)dzdx(x223dxdydz3

x2y2232(2z)dz 又y2x)dydzz2y)dzdxx24(x21)dxdy2d1(2cos21)d4 x2y2所以Iy2x)dydzz2y)dzdxx2z)dxdy33 設(shè)u(x,y,z),v(x,y,z)在上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證2v2v (uvuvuu( 2

uG

)d z

z其中為n為的外法線方向。PQR zdxdydz

(PcosQcosQcos PuvQuvRuv ：（A）式稱為格林第一公式。引入符

（ 斯算子， , ,)（哈密頓算子x

y

z

xy格林第一公式可表為uvduvdSu 在格林第一公式換u,v的位置，vudvudSu

(uvvu)d(uvvu 二 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條PdydzQdzdxRdxdy在G內(nèi)與所取的曲面無關(guān)，而只取決于 條件是(x,y,z)G, 一維單連通區(qū)域：空間區(qū)域G內(nèi)，任一簡單閉曲線C都可以作出一張以C為邊界而完全屬于G的曲面。如同心球所圍成的區(qū)域。三、通量與散度 yzdxdydzPdydzQdzdx (PcosQcosQcosGv(x,yz)(P(x,yzQ(x,yzR(x,yz是速度場中一片有向曲面，速度v(MC(nGcoscoscos為上點(xyzn 指定側(cè)的流體的總質(zhì)量，稱 PdydzQdzdxRdxdyw(P Q Qcos)dS

G

v vn 又由于有向閉曲面 是 的外側(cè)，所以高斯公式右端的又可解釋為：單位時間內(nèi)離閉區(qū)域由于流體是不可壓縮的，且流動是穩(wěn)定的，因此在流體離開的同時，必須產(chǎn)的在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量與流出的邊界的質(zhì)量相等。下面給出強度——散度（通量密度）的概念高斯公式兩端同除的體積V得1PQR 1 yzdxdydzVvn PQR (,,)x z Vw 讓(x,yzP

R

n (x,y,z)Vn上式左端表示單位時間單位體積所產(chǎn)生流體的質(zhì)量，稱為通量密度或散度 為divv，即divvxy直接給出定義為： 定義：設(shè)向量場由A(x,yz)P(x,yz)iQ(x,yz)jR(x,yz)kPQR具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場內(nèi)一有向曲面，n是曲面上點(x,yz)

G

(PcosQcosQcos)dSAA G叫做向量場A通過曲面指定側(cè)的通量（或流量G xyzA的散GdivAdvAndS 它說明A通過閉曲面A的散度在所包圍的散度的運算：div(cA)div(AB)divAdiv(uA)udivAgradu （u為數(shù)量值函數(shù) (uP)(uQ) uPQRuPuQuR Ggradu z div(gradu)G例R為半徑的球面S的電通量e，（2）D的散度(xx)2(y(xx)2(yy)2(zzD4r

er,r

,er2 G 2（1） DndS4r2erndS4r2dS4R24R G

G xx0,yy0,zz0qx y zz0 4r2 4r r r xx r23(xx 0 x r ryy r23(yy zz r23(zz 0 0 y r r z r rG x y zz0 4divr r r

教學(xué)要求和講稿內(nèi)容

第七節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度一、斯托克斯(Stokes)公的邊界為光滑曲線PQR具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有PdxQdyRdzRQ)dydzPR)dzdxQP)dxdy [(RQ)cos(PR)cos(QP)cos 為了便于斯托克斯公式寫為下面的形式： PdxQdyRdz

cos z zf(x,y的正向邊界曲線為xoy面的投影為CCDxy（顯然也是xoy面的投影區(qū)域則可以證明

zf(x,PdxPdzdxP （左右兩端均化為二重積分設(shè)Cxx(tyy(t),t（取參數(shù)增大的方向與曲線正向一致則xx(ty