第10章-小波變換與多分辨率分析20160822

第十章小波變換與多分辨率分析

Chapter10Contents小波分析的發(fā)展簡(jiǎn)史連續(xù)小波變換離散小波變換多分辨率分析與Mallat算法二維離散小波分析小波包變換小波變換在圖像處理中的應(yīng)用小波分析的發(fā)展簡(jiǎn)史小波分析的發(fā)展簡(jiǎn)史：20世紀(jì)50年代起，傅里葉變換一直是圖像頻域分析的基石，但它無(wú)法描述信號(hào)的局部頻率特征。為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍的頻率特征，Gabor于1946年提出了短時(shí)傅里葉變換。20世紀(jì)80年代后期，小波變換應(yīng)運(yùn)而生，它能夠?qū)λ沧?、非平穩(wěn)、時(shí)變信號(hào)的頻率特征進(jìn)行更細(xì)致的分析，彌補(bǔ)了短時(shí)傅里葉變換在信號(hào)分析中的不足。小波是一種定義在有限時(shí)間且幅度平均值為零的函數(shù)。顧名思義，小波具有小和波動(dòng)2個(gè)特點(diǎn)：“小”，表現(xiàn)在小波具有時(shí)域局部性；“波動(dòng)性”，表現(xiàn)小波函數(shù)在時(shí)域上是正負(fù)交替的波。小波函數(shù)示意圖連續(xù)小波變換小波與連續(xù)小波變換：對(duì)于函數(shù)

，如果

，則稱(chēng)

是一個(gè)小波。連續(xù)小波：設(shè)

，其傅里葉變換為

,并滿(mǎn)足,則通過(guò)對(duì)小波函數(shù)

進(jìn)行伸縮和平移來(lái)生成基函數(shù)

：式中，

稱(chēng)為基本小波，

稱(chēng)為尺度因子，

稱(chēng)為平移因子。小波函數(shù)

具有以下性質(zhì)：由

，可知

，即

具有衰減性。特別地，

是局部非零緊支函數(shù)。由

，可知

，即

具有能量有限性。設(shè)

是小波，

是其傅里葉變換,若

在

連續(xù),根據(jù)傅里葉變換定義,由

，可知

具有波動(dòng)性。由

，可知

具有帶通性。波形的尺度伸縮和時(shí)間平移(a)不同尺度的伸縮s=1、s=2和s=4(b)時(shí)間平移τ=1連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換：設(shè)

是平方可積函數(shù)

，

是基本小波，連續(xù)小波變換定義為，式中，

是連續(xù)小波，

表示

的共軛函數(shù)，

表示函數(shù)

和小波函數(shù)

的內(nèi)積，連續(xù)小波變換的系數(shù)也可記作

。連續(xù)小波變換的4個(gè)基本步驟：將小波函數(shù)

與待分析信號(hào)

的初始時(shí)刻對(duì)齊。計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻待分析信號(hào)與小波函數(shù)的小波變換系數(shù)

，該系數(shù)反映當(dāng)前時(shí)刻的信號(hào)與小波函數(shù)的相似程度。將小波函數(shù)沿著時(shí)間軸向右平移時(shí)間

，產(chǎn)生小波函數(shù)

，重復(fù)步驟1和2，直至完成整個(gè)時(shí)間軸上的小波變換系數(shù)的計(jì)算。對(duì)小波函數(shù)

尺度

進(jìn)行伸縮，產(chǎn)生小波函數(shù)為

，重復(fù)步驟1、2和3，計(jì)算所有尺度下的小波變換系數(shù)。

(a)步驟1和2(b)步驟3

(c)步驟4

(d)尺度為1的小波系數(shù)(e)尺度為1的小波系數(shù)連續(xù)小波變換的過(guò)程連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換

(a)分段正弦信號(hào)(a)多普勒頻移正弦信號(hào)(a)分形信號(hào)分段正弦信號(hào)及其變換系數(shù)圖多普勒頻移正弦信號(hào)及其連續(xù)小波變換系數(shù)圖分形信號(hào)連續(xù)小波及其連續(xù)小波變換系數(shù)圖

(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖(b)連續(xù)小波變換系數(shù)圖連續(xù)小波變換連續(xù)小波逆變換：對(duì)于小波變換而言，基本小波

滿(mǎn)足允許條件(admissiblecondition)時(shí)：逆變換才存在。此時(shí)，才能由

反演原函數(shù)

：小波變換在頻域上的解釋?zhuān)涸O(shè)，

，根據(jù)傅里葉變換的尺度性，

，利用卷積定理，連續(xù)小波變換的等效頻域定義為，從頻域上看，連續(xù)小波變換相當(dāng)于用不同尺度的一組帶通濾波器·對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解濾波，將待分析信號(hào)分解為一系列頻帶上的信號(hào)，而連續(xù)小波逆變換則是從分解到各個(gè)頻帶的信號(hào)重建原信號(hào)。多普勒信號(hào)的連續(xù)小波變換近似(a)連續(xù)小波變換系數(shù)連續(xù)小波變換(b)用前10個(gè)系數(shù)重建的信號(hào)(c)用后10個(gè)系數(shù)重建的信號(hào)連續(xù)小波變換小波函數(shù)的傅里葉分析：設(shè)

，

，根據(jù)傅里葉變換的尺度性和時(shí)移性，可知

與

的關(guān)系為，Marr小波的表達(dá)式為，

它的傅里葉變換為，尺度因子s小的小波函數(shù)頻率高，帶寬展寬，而時(shí)間縮短，適合于對(duì)信號(hào)的高頻成分進(jìn)行分析；尺度因子s大的小波函數(shù)頻率低，帶寬收窄，而時(shí)間伸長(zhǎng)，適合于對(duì)信號(hào)的低頻成分進(jìn)行分析。不同尺度因子的小波函數(shù)及其傅里葉變換連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的時(shí)頻分析：小波變換是一種信號(hào)時(shí)頻分析的重要工具。沿著時(shí)間軸來(lái)看，它的時(shí)頻窗在低頻部分展寬，時(shí)間分辨率降低，而在高頻部分收窄，時(shí)間分辨率提高。沿著頻率軸來(lái)看，在高頻部分展寬，頻率分辨率降低，而在低頻部分收窄，頻率分辨率提高。對(duì)于信號(hào)中很短的瞬時(shí)高頻現(xiàn)象，小波變換能夠比短時(shí)傅里葉變換更好地“移近”觀察，因此，小波變換具有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱(chēng)。小波函數(shù)的窗寬、帶寬與時(shí)間中心、頻率中心之間的關(guān)系連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的性質(zhì)：線性疊加性:若

、的小波變換為

、，

則有，尺度共變性:若

的小波變換為

,有,這表明當(dāng)信號(hào)

做某一倍數(shù)的伸縮時(shí)其小波系數(shù)

在尺度和時(shí)間軸上做同一倍數(shù)的伸縮，不會(huì)發(fā)生失真變形，這就是小波變換稱(chēng)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”的重要依據(jù)。時(shí)移不變性:若的

小波變換為

，則，尺度與頻率之間的關(guān)系:小波變換的尺度所對(duì)應(yīng)的頻率實(shí)際上稱(chēng)為偽頻率(Pseudo-frequency)更為合適，偽頻率

與尺度s之間的關(guān)系為，

式中，

為采樣周期，

為小波的頻率中心。(a)db2(頻率中心為)

(b)db7(頻率中心為)(c)coif1(頻率中心為)

(d)gaus4(頻率中心為)小波函數(shù)的頻率中心及相關(guān)聯(lián)的純周期信號(hào)連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換小波變換與傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換的比較傅里葉變換：當(dāng)用傅里葉變換表示一個(gè)信號(hào)時(shí)，只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率，這就是說(shuō)，利用傅里葉分析只能獲得信號(hào)的整個(gè)頻譜，確定信號(hào)中包含的所有頻率成分，而不能確定具有這些頻率的信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置。因而，傅里葉分析無(wú)法表達(dá)瞬變信號(hào)、非平穩(wěn)信號(hào)或者時(shí)變信號(hào)的局部時(shí)頻特性。信號(hào)的傅里葉分析(a)一維函數(shù)(b)圖(a)的傅里葉變換展開(kāi)的基函數(shù)連續(xù)小波變換信號(hào)的短時(shí)傅里葉分析短時(shí)傅里葉變換：短時(shí)傅里葉變換的固有局限在于使用固定尺寸和形狀的時(shí)間窗，這對(duì)分析時(shí)變信號(hào)是不利的。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間較短，適合使用小尺寸的時(shí)間窗，相對(duì)小時(shí)間間隔可以給出較高的精度；而低頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，適合使用大尺寸的時(shí)間窗，相對(duì)大時(shí)間間隔可以給出完全的信息。因此，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，當(dāng)信號(hào)變化劇烈時(shí)，則要求窗函數(shù)有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率；而波形變化平緩時(shí)，則需要窗函數(shù)有較低的時(shí)間分辨率和較高的頻率分辨率。連續(xù)小波變換常用小波：所有滿(mǎn)足小波條件的函數(shù)均可作為小波函數(shù)，不同的實(shí)際應(yīng)用中選擇不同的小波函數(shù)。小波函數(shù)的名稱(chēng)多以構(gòu)造者的名字命名。例如，Morlet小波是Grossman和Morlet構(gòu)造的，Daubechies系列小波由著名小波學(xué)者Daubechies構(gòu)造的幾種小波之一，Meyer小波是Meyer構(gòu)造的。當(dāng)然，也有例外，Symlets系列小波也是由Daubechies構(gòu)造的，Symlets的名字由來(lái)是對(duì)稱(chēng)小波，Coiflets系列小波是應(yīng)Coifman的請(qǐng)求，由Daubechies構(gòu)造的。連續(xù)小波變換Haar(哈爾)小波：Haar小波是小波分析發(fā)展中最早也是最簡(jiǎn)單的小波函數(shù)，它本身是一個(gè)階躍函數(shù)，其小波函數(shù)與尺度函數(shù)可以用解析形式表達(dá)為，Haar小波函數(shù)及其尺度函數(shù)dbN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)db2小波函數(shù)(b)db4小波函數(shù)(c)db15小波函數(shù)連續(xù)小波變換Daubechies小波系(dbN)

：db1小波等價(jià)于Haar小波，其余的db系列小波函數(shù)沒(méi)有解析式。Daubechies小波系是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長(zhǎng)度為2N-1，濾波器長(zhǎng)度為2N，小波函數(shù)

的消失矩為N。當(dāng)N≠1時(shí)，dbN小波函數(shù)不具有對(duì)稱(chēng)性。Daubechies小波系在給定緊支集長(zhǎng)度下具有最大消失矩。symN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)sym2小波函數(shù)(b)sym4小波函數(shù)(c)sym15小波函數(shù)連續(xù)小波變換Symlets小波系(symN)

：symN小波在保持dbN小波特征的基礎(chǔ)上提高了小波的對(duì)稱(chēng)性。盡管它們不是完全對(duì)稱(chēng)，但是在給定緊支撐設(shè)計(jì)下具有最小不對(duì)稱(chēng)性和最大消失矩。Symlets系列小波是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長(zhǎng)度為2N-1，濾波器長(zhǎng)度為2N，最大程度上接近對(duì)稱(chēng)性，小波函數(shù)

的消失矩為N。coifN小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)(a)coif2小波函數(shù)(b)coif4小波函數(shù)(c)coif5小波函數(shù)連續(xù)小波變換Coiflets小波系(coifN)

：Coiflets系列小波函數(shù)是正交的，也是雙正交的，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。它的緊支集長(zhǎng)度為6N-1，濾波器長(zhǎng)度為6N，接近對(duì)稱(chēng)性，小波函數(shù)

的消失矩為2N

，尺度函數(shù)的消失矩為2N-1。連續(xù)小波變換雙正交樣條小波系(bior)

：雙正交樣條系小波是雙正交小波，不具有正交性，存在緊支集，可做離散小波變換和連續(xù)小波變換。重建小波的緊支集長(zhǎng)度為2Nr-1，分解小波的緊支集長(zhǎng)度為2Nd-1。具有對(duì)稱(chēng)性，小波分解函數(shù)

的消失矩為Nr。bior小波系的小波函數(shù)及其尺度函數(shù)

(a)bior4.4小波分解函數(shù)(c)bior5.5小波分解函數(shù)(e)bior6.8小波分解函數(shù)

(b)bior4.4小波重建函數(shù)(d)bior5.5小波重建函數(shù)(f)bior6.8小波重建函數(shù)(a)為偶數(shù)(b)為奇數(shù)連續(xù)小波變換Gaussian小波函數(shù)Gaussian小波：Gaussian小波定義為高斯概率密度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

式中，

滿(mǎn)足

的2-范數(shù)等于1。Gaussian小波不存在尺度函數(shù)，不具備正交性和雙正交性，也不存在緊支集。它滿(mǎn)足連續(xù)小波的允許條件，可做連續(xù)小波變換，但不可做離散小波變換。支撐長(zhǎng)度為∞，有效支撐域?yàn)閇-8,8]

。Gaussian小波是對(duì)稱(chēng)小波，n為偶數(shù)時(shí)，具有對(duì)稱(chēng)性；n為奇數(shù)時(shí)，具有反對(duì)稱(chēng)性。連續(xù)小波變換Marr小波函數(shù)Marr小波(墨西哥草帽小波)：Marr小波簡(jiǎn)寫(xiě)為mexh，是一個(gè)具有解析表達(dá)式的小波函數(shù)。Marr小波定義為高斯概率密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：式中，

為歸一化因子。Marr小波的截面類(lèi)似墨西哥草帽，因此也被稱(chēng)為墨西哥草帽小波。Marr小波不存在尺度函數(shù)，也不具有正交性，不存在緊支集，也不可做離散小波變換，支撐長(zhǎng)度為∞，有效支撐域?yàn)閇-5,5]，是對(duì)稱(chēng)小波。Marr小波是以高斯概率密度函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)定義的Gaussian小波中n=2時(shí)的特例。連續(xù)小波變換Morlet小波函數(shù)Morlet小波：Morlet小波簡(jiǎn)寫(xiě)為morl，是一個(gè)具有解析表達(dá)式的小波函數(shù)，Morlet小波的解析表達(dá)式為：Morlet小波不存在尺度函數(shù)，不具備正交性和雙正交性，也不存在緊支集，滿(mǎn)足連續(xù)小波的允許條件，可做連續(xù)小波變換，但不可做離散小波變換。支撐長(zhǎng)度為∞，有效支撐域?yàn)閇-5,5]

，具有對(duì)稱(chēng)性。連續(xù)小波變換Meyer小波函數(shù)及其尺度函數(shù)離散Meyer小波函數(shù)及其尺度函數(shù)Meyer小波：Meyer小波簡(jiǎn)寫(xiě)為meyr，它的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻域中定義的。Meyer小波是正交小波，也是雙正交小波，不存在緊支集。可以做離散小波變換和連續(xù)小波變換，但是，沒(méi)有快速小波變換。支撐長(zhǎng)度為∞，有效支撐域?yàn)閇-8,8]

，具有對(duì)稱(chēng)性。離散Meyer小波：離散Meyer小波簡(jiǎn)寫(xiě)為dmey，是Meyer小波的FIR近似。離散Meyer小波具有正交性和雙正交性，存在緊支集，可做快速小波變換。離散小波變換離散小波變換：連續(xù)小波變換實(shí)際上是使用離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的，只是所用的尺度因子和平移因子是連續(xù)的，計(jì)算量龐大。為了解決計(jì)算量的問(wèn)題，離散小波變換使用離散的尺度因子和平移因子。二進(jìn)小波變換：尺度的離散化：對(duì)尺度按冪級(jí)數(shù)做離散化，即尺度因子只取整數(shù)次冪

。位移的離散化是與尺度的離散化密切相關(guān)的，當(dāng)j=0時(shí)，

以某一基本間隔

做均勻采樣。在其余各尺度下由于·的寬度是

的

倍，因此采樣間隔可以擴(kuò)大

倍。也就是說(shuō)，在尺度j下沿

軸以

為間隔做均勻采樣仍可保證不丟失信息。這樣，相應(yīng)的離散小波函數(shù)可表示為，二進(jìn)小波通過(guò)對(duì)基本小波的二進(jìn)伸縮和整數(shù)平移來(lái)構(gòu)成基函數(shù)，二進(jìn)小波變換系數(shù)圖(a)分段正弦信號(hào)(b)多普勒頻移正弦信號(hào)(c)分形信號(hào)離散小波變換平面的二進(jìn)柵格離散小波變換小波框架：在離散小波變換中，能否由二進(jìn)小波系數(shù)

數(shù)值穩(wěn)定地完全重建

，可利用小波框架加以研究。小波框架定義：當(dāng)由基本小波

經(jīng)伸縮和平移引出的小波函數(shù)族·具有下述性質(zhì)時(shí)，則稱(chēng)

構(gòu)成一個(gè)框架：式中，A和B為框架的上下界。若框架界A=B，則稱(chēng)框架為緊框架。對(duì)于緊框架，可由下式完全重建原函數(shù)：若A=B=1，

是一組正交基；若還滿(mǎn)足

，則是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；上式稱(chēng)為離散小波逆變換。在非緊框架的情形下，原函數(shù)可由下式重建：其中，

是

的對(duì)偶框架。離散小波變換時(shí)頻分辨率：根據(jù)離散小波變換的Parseval定理，信號(hào)的能量是平移因子k和尺度因子j的函數(shù)：為了定性描述二進(jìn)小波變換，根據(jù)二進(jìn)小波變換中的k和尺度因子j將時(shí)間頻率平面剖分為塊。在低頻部分(對(duì)應(yīng)大尺度j)，塊較寬(平移k較大)且較短，時(shí)間分辨率較低而頻率分辨率較高；而在高頻部分(對(duì)應(yīng)小尺度

j)

，塊較窄(平移k較小)且較長(zhǎng)，時(shí)間分辨率較高而頻率分辨率較低。二進(jìn)小波基函數(shù)短時(shí)傅里葉變換基函數(shù)—寬窗短時(shí)傅里葉變換基函數(shù)—窄窗傅里葉變換基函數(shù)多分辨率分析與Mallat算法多分辨率分析與Mallat算法：小波是一種能夠自動(dòng)適應(yīng)各種頻率成分的有效信號(hào)分析工具，這種由粗到細(xì)的逐級(jí)分析稱(chēng)為多分辨率分析。多分辨率分析：Mallat和Meyer從函數(shù)的多分辨率空間分解概念出發(fā)，在小波變換與多分辨率空間分解之間建立聯(lián)系。平方可積函數(shù)空間

的一個(gè)多分辨率分析是一系列嵌套閉子空間序列：且滿(mǎn)足以下4個(gè)條件：完備性：當(dāng)

時(shí)，;當(dāng)

時(shí)，

。平移不變性：若

，則有尺度相似性：若

，則有正交基存在性：存在平方可積函數(shù)

，它的所有整數(shù)平移

構(gòu)成

空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，即，

式中，符號(hào)上方的直線表示閉空間。多分辨率分析與Mallat算法稱(chēng)為多分辨率分析的尺度函數(shù)，稱(chēng)為尺度j下的尺度空間。由大尺度的尺度函數(shù)張成的閉子空間嵌套在由小尺度函數(shù)張成的閉子空間內(nèi)，由此，多分辨率分析也稱(chēng)為多尺度分析。

為閉子空間

的標(biāo)準(zhǔn)正交基，根據(jù)多分辨率分析的尺度相似性，可知，

必為閉子空間

的標(biāo)準(zhǔn)正交基，若

，則可以用

線性展開(kāi)表示為，由尺度函數(shù)張成的嵌套閉子空間多分辨率分析與Mallat算法小波函數(shù)與小波空間：給定滿(mǎn)足多分辨率要求的尺度函數(shù)，定義相鄰兩個(gè)尺度空間

和

的差空間為小波空間

,并構(gòu)造小波函數(shù)使其經(jīng)過(guò)二進(jìn)尺度伸縮后的所有整數(shù)平移能夠張成小波空間

。則在尺度函數(shù)的子空間

中，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的子空間

和

互為補(bǔ)空間，

是

中

的正交補(bǔ)空間，

，即子空間

的所有函數(shù)與子空間

中的所有函數(shù)都是正交的：以j=0開(kāi)始，嵌套子空間可寫(xiě)為，尺度與小波函數(shù)空間關(guān)系多分辨率分析與Mallat算法由于小波函數(shù)屬于由相鄰雙倍分辨率尺度函數(shù)張成的空間中，也就是，

包含于

中，所以，子空間中的小波函數(shù)可以表示為子空間

的尺度函數(shù)的線性展開(kāi)，式中，

為小波函數(shù)系數(shù)，或者小波向量。任意相鄰尺度空間與小波空間

的基函數(shù)的關(guān)系可表示為，根據(jù)尺度函數(shù)和小波函數(shù)的互補(bǔ)性，對(duì)于任意函數(shù)

，可由小波函數(shù)

和尺度函數(shù)

線性展開(kāi)為：

式中，

稱(chēng)為j級(jí)近似系數(shù)，

稱(chēng)為j級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù)。若滿(mǎn)足正交小波條件，則展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算如下：若滿(mǎn)足雙正交小波條件，則展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算如下：多分辨率分析與Mallat算法Haar尺度空間

中的基函數(shù)Haar尺度函數(shù)和小波函數(shù)分解多分辨率分析與Mallat算法凹凸函數(shù)凹凸函數(shù)在Haar各級(jí)尺度空間

中的投影

凹凸函數(shù)投影在各個(gè)尺度空間中凹凸函數(shù)投影在各個(gè)小波空間中多分辨率分析與Mallat算法正交子空間的直和多分辨率分析與Mallat算法多分辨率分析與Mallat算法雙尺度方程與多分辨率分析：多分辨率分析的核心是選擇尺度空間

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

，并由小波空間構(gòu)造出小波函數(shù)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。雙尺度方程：雙尺度方程是多分辨率分析賦予尺度函數(shù)

和小波函數(shù)

的基本特性，它描述了相鄰兩個(gè)尺度空間

和

的基函數(shù)·和

，以及相鄰的尺度空間

和小波空間

的基函數(shù)·和

之間的關(guān)系。由于，

可見(jiàn)，雙尺度方程中的尺度函數(shù)系數(shù)

和小波函數(shù)系數(shù)

與尺度級(jí)j無(wú)關(guān)，多分辨率分析的雙尺度方程描述的是任意相鄰兩級(jí)分辨率空間之間的關(guān)系。多分辨率分析與Mallat算法雙尺度方程中系數(shù)的性質(zhì)：在雙尺度方程中，尺度函數(shù)系數(shù)

和小波函數(shù)系數(shù)

滿(mǎn)足如下3點(diǎn)性質(zhì)。尺度函數(shù)系數(shù)之和滿(mǎn)足

，其范數(shù)滿(mǎn)足

；小波函數(shù)系數(shù)之和滿(mǎn)足，其范數(shù)滿(mǎn)足和本身都具有偶次移位的標(biāo)準(zhǔn)正交性：與之間具有偶次移位的正交性：多分辨率分析與Mallat算法正交小波分解與重建：Mallat于1989年提出了一種實(shí)現(xiàn)二進(jìn)小波變換快速計(jì)算的快速小波變換，推導(dǎo)出相鄰兩級(jí)分辨率尺度系數(shù)與小波系數(shù)之間的遞推關(guān)系，也稱(chēng)為Mallat算法。Mallat算法：快速小波變換的Mallat算法是將信號(hào)分解為尺度系數(shù)和小波系數(shù)，這一過(guò)程稱(chēng)為小波分解。快速小波逆變換是利用信號(hào)的小波分解系數(shù)來(lái)恢復(fù)原信號(hào)，這一過(guò)程稱(chēng)為小波重建。Mallat小波分解：是將子高一級(jí)空間

的尺度系數(shù)

分解為更低一級(jí)子空間

的尺度系數(shù)

和子空間

的小波系數(shù)

，

由

分解為

和

的過(guò)程完全、相同。Mallat小波重建：是逆向推導(dǎo)由低一級(jí)子空間

的尺度系數(shù)

和子空間

的小波系數(shù)

重建高一級(jí)子空間

的尺度系數(shù)

，

由

和

重建

的過(guò)程完全相同。多分辨率分析與Mallat算法頻譜分解：Mallat小波分解和重建過(guò)程是在任意相鄰的兩個(gè)尺度空間中推導(dǎo)的，因此可以表示為小波展開(kāi)系數(shù)的一般形式

和

。當(dāng)討論離散小波變換時(shí)，利用離散小波變換系數(shù)

和

來(lái)表示小波分解式為，由此可見(jiàn)，可以通過(guò)卷積和下采樣操作來(lái)實(shí)現(xiàn)小波分解。首先將尺度級(jí)j的近似系數(shù)

分別與時(shí)序反轉(zhuǎn)的尺度向量

和小波向量

做卷積，然后以因子2對(duì)卷積結(jié)果進(jìn)行下采樣，計(jì)算得出尺度級(jí)j+1的尺度系數(shù)

和小波系數(shù)

。多分辨率分析與Mallat算法小波分解方框圖頻譜分解三尺度小波分解方框圖頻譜分解這些系數(shù)可用多采樣率濾波器組形式表現(xiàn)出來(lái)。通過(guò)尺度向量

和小波向量

，將高一級(jí)分辨率的尺度系數(shù)分解為近似成分的尺度系數(shù)

和細(xì)節(jié)成分的小波系數(shù)

，和

構(gòu)成分析濾波器組。多分辨率分析與Mallat算法小波重建方框圖三尺度小波重建方框圖可通過(guò)上采樣和卷積操作來(lái)實(shí)現(xiàn)小波重建。首先對(duì)小波系數(shù)

和尺度系數(shù)

進(jìn)行因子2的上采樣，并分別與小波向量

和尺度向量

做卷積，然后相加產(chǎn)生高一級(jí)分辨率尺度系數(shù),

和

構(gòu)成合成濾波器組。多分辨率分析與Mallat算法使用Haar小波分析濾波器組的快速小波變換使用Haar小波合成濾波器組的快速小波逆變換多分辨率分析與Mallat算法正交濾波器組：通過(guò)離散小波變換實(shí)現(xiàn)多分辨率分析的有效途徑是使用多采樣率濾波器組，本節(jié)討論雙通道正交濾波器組的完全重建問(wèn)題。插值和抽取是多采樣率信號(hào)處理的兩個(gè)基本環(huán)節(jié)，設(shè)

為輸入序列，·為輸出序列，插值(上采樣)的時(shí)域關(guān)系和Z變換的關(guān)系分別為，

抽取(下采樣)的時(shí)域關(guān)系和Z變換的關(guān)系分別為，

因子2的上采樣因子2的下采樣多分辨率分析與Mallat算法根據(jù)Z變換域中卷積、插值和抽取的輸出與輸入之間的關(guān)系，可知，輸出

與輸入

之間的關(guān)系為，根據(jù)前一節(jié)Mallat小波分解中的定義，

可得分解與重建濾波器組之間的Z變換域關(guān)系滿(mǎn)足，可以證明，在此分解與重建濾波器組下，，這就是說(shuō)，能夠完全重建。雙通道濾波器組分解與重建濾波器組的頻率響應(yīng)特性多分辨率分析與Mallat算法(a)4階Daubechies小波(db4)

(b)4階Symlets小波(sym4)從尺度函數(shù)的FIR濾波器

，可以定義4個(gè)階數(shù)為N的FIR濾波器，它們是分解濾波器

和

、重建濾波器

和

。4個(gè)濾波器的計(jì)算關(guān)系多分辨率分析與Mallat算法在使用正交濾波器組執(zhí)行快速小波變換和逆變換的三尺度小波分解和重建過(guò)程中，小波分解包括濾波和抽取兩個(gè)過(guò)程，小波分解濾波器組由低通分解濾波器

和高通分解濾波器

構(gòu)成。低通濾波器輸出的近似系數(shù)是以更低分辨率對(duì)待分析信號(hào)的平滑近似，保留了待分析信號(hào)的低頻成分，因而集中了大部分能量，而高通濾波器輸出的細(xì)節(jié)系數(shù)就是二進(jìn)柵格上各點(diǎn)的離散小波變換，是待分析信號(hào)的高頻成分。小波重建包括插值和濾波兩個(gè)過(guò)程，小波重建濾波器組由低通重建濾波器

和高通重建濾波器

構(gòu)成。使用正交濾波器組的三尺度小波分解和重建過(guò)程純頻率混合正弦波的5級(jí)小波分解(a)純頻率混合正弦波(b)各尺度的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)多分辨率分析與Mallat算法加性噪聲正弦波的5級(jí)小波分解(a)加性噪聲正弦波(b)各尺度的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)多分辨率分析與Mallat算法二維離散小波分析二維離散小波分析：由于小波變換具有好的局部時(shí)頻分析能力，利用小波的多分辨率分析特性可以聚焦到圖像的任意細(xì)節(jié)，既可以描述圖像的平坦區(qū)域，又可以描述圖像的局部突變。二維離散小波變換：張量積方法是最簡(jiǎn)單且常用的構(gòu)造多維小波基的方法，這種方法可將一維多分辨率分析很容易地?cái)U(kuò)展到二維多分辨率分析。設(shè)

是嵌套子空間序列的一個(gè)子空間，表示張量積，則

是

的多分辨率分析的充要條件是

為

的一個(gè)多分辨率分析。這里只討論可分離的二維多分辨率分析，即二維函數(shù)是可分離的兩個(gè)一維函數(shù)的積。在二維情況下，需要1個(gè)二維尺度函數(shù)

和3個(gè)三個(gè)方向敏感的二維小波函數(shù)

、

和

，分別對(duì)應(yīng)列、行和對(duì)角方向上的灰度變化。(a)

(b)

(c)

(d)

4階Daubechies小波(db4)的二維小波變換二維離散小波分析(a)

(b)

(c)

(d)

4階Symlets小波(sym4)的二維小波變換二維離散小波分析二維離散小波分析與一維多分辨率分析類(lèi)似，在二維情況下二維尺度函數(shù)

的尺度伸縮和時(shí)間平移

構(gòu)成二維尺度空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基：二維小波函數(shù)

的尺度伸縮和時(shí)間平移

構(gòu)成二維小波空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基：對(duì)于二維函數(shù)

，相應(yīng)的二進(jìn)小波變換定義為，其中，構(gòu)成函數(shù)

的二維正交分解，分別代表在最低分辨率下的尺度系數(shù)以及三個(gè)方向上的小波系數(shù)。二維離散小波分析二維小波分解濾波器組圖像分解過(guò)程二維小波重建濾波器組二維快速小波變換的頻譜分解二維離散小波變換(a)灰度圖像(b)行變換(c)列變換二維離散小波分析二維離散小波分析二維離散小波多尺度分析：通常低分辨率圖像用于分析大的結(jié)構(gòu)或圖像的整體內(nèi)容，而高分辨率圖像用于分析單個(gè)目標(biāo)的細(xì)節(jié)特性，這樣由粗到細(xì)的分析策略就是多分辨率分析。將輸入圖像

作為最高分辨率的近似系數(shù)，即

。對(duì)于

的寬高最小值為

的情況，這個(gè)過(guò)程最多可以執(zhí)行K次迭代而生成尺度為

的K尺度快速小波變換。需要注意的是邊界延拓問(wèn)題。由于濾波器在卷積過(guò)程中會(huì)落在圖像的外部，不可避免地發(fā)生信號(hào)的邊界失真問(wèn)題。因此，在進(jìn)行小波分解前，需要對(duì)信號(hào)的邊界進(jìn)行延拓，主要有對(duì)稱(chēng)延拓、周期延拓、平滑延拓、零延拓等延拓方式。二尺度小波分解表示二維離散小波三尺度分解(a)一級(jí)小波分解(b)二級(jí)小波分解(c)三級(jí)小波分解二維離散小波分析二維離散小波分析三級(jí)小波分解樹(shù)小波包變換小波包變換：小波包變換不僅對(duì)信號(hào)的低頻成分進(jìn)行連續(xù)分解，而且對(duì)高頻成分也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可獲得許多較低分辨率的低頻成分，也可獲得許多較低分辨率的高頻成分。小波包變換：將三尺度小波分解表示二叉樹(shù)的形式，稱(chēng)為小波分析樹(shù)。小波分析樹(shù)所示的帶寬之間呈以2為底對(duì)數(shù)關(guān)系的頻譜分解，以及時(shí)間頻率平面剖分。如同對(duì)低通尺度函數(shù)分支，對(duì)高通小波函數(shù)分支同樣地迭代使用Mallat算法，從而生成允許在高頻成分進(jìn)行多尺度分解的基函數(shù)。三尺度小波包分析樹(shù)是完全二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，完全二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生間隔完全均勻的頻率分辨率?？焖傩〔ㄗ儞Q的時(shí)間復(fù)雜度為

，而快速小波包變換的浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)為

，這個(gè)過(guò)程類(lèi)似于快速傅里葉變換。小波包變換在某種程度上與短時(shí)傅里葉變換類(lèi)似，小波包因此得名。小波包變換小波變換小波包變換小波包分解頻譜分解三尺度小波和小波包分析樹(shù)三尺度小波包分解及其頻譜分解小波包變換正交小波的小波包生成過(guò)程：設(shè)FIR濾波器

和

的長(zhǎng)度均為2N，通過(guò)下面的遞推定義函數(shù)序列

：式中，

是尺度函數(shù)，

是小波函數(shù)。對(duì)于小波包序列

，小波包的分析函數(shù)族可表示為，

式中，j、k為尺度與時(shí)間參數(shù)，n為頻率階數(shù)。集合

稱(chēng)為小波包；對(duì)于正整數(shù)j和n，小波包可以表示為樹(shù)結(jié)構(gòu)。由

張成的子空間表示為：函數(shù)族

是子空間

中正交基。

可以分解為兩個(gè)子空間：

張成的子空間

和

張成的子空間

，這給出了小波包結(jié)構(gòu)樹(shù)分解的解釋。小波包變換小波包正交基的每一級(jí)下具有不同的時(shí)間頻率剖分，各塊的面積仍是相等的。不同于小波變換僅對(duì)低頻成分做更細(xì)致的分解，小波包變換對(duì)高頻成分和低頻成分都做更細(xì)致的分解，因而，小波包基函數(shù)具有均勻的時(shí)間頻率平面剖分。在最細(xì)的尺度階段，本質(zhì)上是時(shí)域基函數(shù)——單位脈沖函數(shù)。在小波包逐級(jí)分解的過(guò)程中，沿著頻率軸看，第1級(jí)分解將頻譜帶寬分解為高頻子帶和低頻子帶，第2級(jí)分解將已分解的高頻帶寬和低頻帶寬進(jìn)一步分解為兩個(gè)部分，依此類(lèi)推。小波包變換基函數(shù)的時(shí)間頻率剖分小波包變換按照小波包基函數(shù)的頻率次序，從底部的高頻率到頂部的低頻率繪制小波包系數(shù)，可以看出，1)小波包變換系數(shù)在不同頻率具有均勻的時(shí)間間隔；2)隨著分解級(jí)數(shù)的增加，頻率分辨率增大，而時(shí)間分辨率減小。L尺度小波變換能夠提供L種惟一的空間分解，三尺度小波分析樹(shù)有如下三種可能的空間分解，分別單尺度、二尺度和三尺度小波分解：、和。四尺度小波包分解五尺度小波包分解六尺度小波包分解完全不重疊時(shí)間窗的短時(shí)傅里葉變換小波包變換與短時(shí)傅里葉變換的比較小波包變換小波包分解小波包分析樹(shù)最優(yōu)小波包基函數(shù)的時(shí)間頻率剖分某種準(zhǔn)則下的三尺度最優(yōu)小波包分解小波包變換Haar小波包分解4階Daubechies小波(db4)小波包基函數(shù)小波包變換小波包變換二維小波包分解：二維小波包分解用四叉樹(shù)表示。對(duì)于二維完全小波包分析樹(shù)，設(shè)根節(jié)點(diǎn)的層數(shù)為0，第l層的節(jié)點(diǎn)數(shù)為4l

，當(dāng)n=0,1,2,3時(shí)，·，

，

和。L尺度的二維小波包變換支持P(L)=P(L-1)4+1種惟一的空間分解。顯然，二維小波包變換可能的分解個(gè)數(shù)隨著尺度L的增大更加迅速地增長(zhǎng)。單尺度分解二尺度完全小波包分解二維完全小波包分析樹(shù)二維完全小波包分解(a)單尺度(b)二尺度(c)三尺度小波包變換小波包變換最優(yōu)小波包的選?。盒〔ò治鰳?shù)存在多種分解選擇，無(wú)法列舉每一種分解來(lái)逐一檢驗(yàn)最優(yōu)性，需要找到一種有效的準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)分解。加法類(lèi)型的函數(shù)能夠很好地適用于二叉樹(shù)和四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的搜索。經(jīng)典的熵準(zhǔn)則是加法代價(jià)函數(shù)，4種常用的熵函數(shù)是非歸一化香農(nóng)熵、

范數(shù)、對(duì)數(shù)能量熵和閾值熵。設(shè)

表示二維函數(shù)在正交基下的系數(shù)，非歸一化香農(nóng)熵定義為，；

范數(shù)定義為，。對(duì)于非葉子節(jié)點(diǎn)p以及特定熵準(zhǔn)則

，最優(yōu)子樹(shù)剪枝方法可描述為：計(jì)算父節(jié)點(diǎn)和4個(gè)子節(jié)點(diǎn)的熵函數(shù)和，父節(jié)點(diǎn)是二維近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)，4個(gè)子節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)分解輸出的二維近似系數(shù)與水平、垂直、對(duì)角細(xì)節(jié)系數(shù)。設(shè)

為最優(yōu)熵值，初始狀態(tài)時(shí)對(duì)每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)c賦值

。若子節(jié)點(diǎn)熵之和小于父節(jié)點(diǎn)的熵，則分析樹(shù)中包含這些子節(jié)點(diǎn)，并設(shè)置；若子節(jié)點(diǎn)熵之和大于父節(jié)點(diǎn)的熵，則裁剪掉這些子節(jié)點(diǎn)而只保留父節(jié)點(diǎn)，并設(shè)置

。該父節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為最優(yōu)分析樹(shù)中的葉子節(jié)點(diǎn)。三尺度完全小波包分解小波包變換(b)小波包系數(shù)(a)小波包分析樹(shù)(c)系數(shù)標(biāo)記某種準(zhǔn)則下的一種三尺度最優(yōu)小波包分解小波包變換(b)小波包系數(shù)(a)小波包分析樹(shù)(c)系數(shù)標(biāo)記小波變換在圖像處理中的應(yīng)用小波變換在圖像處理中的應(yīng)用：小波變換是以不同分辨率來(lái)描述圖像的數(shù)學(xué)工具。多尺度小波分解廣泛應(yīng)用于金字塔表示、邊緣檢測(cè)、圖像去噪、圖像數(shù)據(jù)壓縮和漸進(jìn)傳輸?shù)阮I(lǐng)域。由于快速小波變換中尺度向量和小波向量相當(dāng)于低通濾波器和高通濾波器，小波變換在圖像處理中的應(yīng)用基本上與傅里葉變換等同，其基本方法由三個(gè)步驟構(gòu)成：(1)計(jì)算二維快速小波變換；(2)修改變換系數(shù)；(3)計(jì)算二維快速小波逆變換。這里，使用這三步處理過(guò)程給出快速小波變換在邊緣檢測(cè)、圖像降噪、