第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2016

第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制原理工程學院電氣工程系2第2章

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型主要內(nèi)容微分方程式的編寫拉普拉斯變換傳遞函數(shù)系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的變換小結(jié)工程學院電氣工程系3

學習重點簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫及計算

結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的變換與化簡開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導和計算第2章

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型工程學院電氣工程系4第2章

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1.數(shù)學模型

描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式2.數(shù)學模型的主要形式(1)微分方程(2)傳遞函數(shù)(3)結(jié)構(gòu)框圖工程學院電氣工程系52.1微分方程式的編寫

編寫系統(tǒng)微分方程的步驟確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，依次確定各環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，根據(jù)各環(huán)節(jié)的物理規(guī)律寫出各環(huán)節(jié)的微分方程；消去中間變量，求出系統(tǒng)的微分方程。工程學院電氣工程系6

例2-1RC電路,取u1為輸入量,u2為輸出量2.1微分方程式的編寫工程學院電氣工程系7

例2-2RL電路,取u為輸入量,i為輸出量2.1微分方程式的編寫工程學院電氣工程系82.1微分方程式的編寫例2-3工程學院電氣工程系92.1微分方程式的編寫例2-4機械位移系統(tǒng)取為輸入量,為輸出量2.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念自控理論方法是先將系統(tǒng)抽象為數(shù)學模型，然后用數(shù)學的方法處理?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學表達式或圖形表達式或數(shù)字表達式。完全不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，其數(shù)學模型具有相似性！時域的微分方程－－復頻域的代數(shù)方程

拉普拉斯變換(拉氏變換)

時域的微分方程

<－－－－

復頻域的代數(shù)方程

拉普拉斯反變換(拉氏反變換)2.2拉普拉斯變換拉普拉斯變換(Laplacetransform)

是f(t)從時域到復頻域F(S)的積分變換。

f(t)：原函數(shù)；F(S)：f(t)在S域中的象函數(shù)。

拉普拉斯反變換：拉普拉斯變換的定義求，和的象函數(shù)．解

例

典型信號的拉氏變換（1）典型信號的拉氏變換（2）拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性定理（線性性質(zhì)）2、微分定理（微分性質(zhì)）3、積分定理（積分性質(zhì)）

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)4、時域位移定理

（延遲性質(zhì)）5、初值定理與終值定理

注：終值定理成立的條件是：F(S)的所有極點都應位于S平面的左半部或者位于S＝0處（系統(tǒng)處于穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。應用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件：事實上：

的極點均處在復平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

工程學院電氣工程系19對于n階系統(tǒng)，線性微分方程的一般形式為：2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系20在零初始條件下，取拉氏變換得：2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系21傳遞函數(shù)定義：

零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系22例2-7RC電路（1）當u1為輸入，u2為輸出時：2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系23例2-7RC電路（2）當u1為輸入，i為輸出時：2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系24例2-8RLC電路取ur為輸入，uc為輸出，得2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系25例2-8RLC電路取ur為輸入，uc為輸出2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系26例2-9機械位移系統(tǒng)取外力f(t)為輸入位移x(t)為輸出根據(jù)牛頓第二定律，得2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系27例2-9機械位移系統(tǒng)取外力f(t)為輸入位移x(t)為輸出2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系28

一般有n≥m。同一個系統(tǒng)，當輸入量和輸出量的選擇不相同時，可能會有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。2.3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外部作用等條件無關(guān)。有理分式形式工程學院電氣工程系29傳遞函數(shù)的另外兩種常用形式：時間常數(shù)形式K為放大系數(shù)根的形式2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系302.3傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的極點系統(tǒng)的零點幾個定義和術(shù)語工程學院電氣工程系312.

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及暫態(tài)特性（1）比例環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系32比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系33（2）慣性環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)當時工程學院電氣工程系34慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應2.3傳遞函數(shù)求拉氏反變換得

工程學院電氣工程系35當輸入量為時，輸出量為（3）積分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)式中，，

稱為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。工程學院電氣工程系36（4）微分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)

理想微分環(huán)節(jié)工程學院電氣工程系37（4）微分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)

一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、實用微分環(huán)節(jié)）

工程學院電氣工程系38（5）振蕩環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)這種環(huán)節(jié)包括有兩個儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩種儲能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應可能作周期性的變化。

式中：

——自然振蕩角頻率

——

阻尼比工程學院電氣工程系39（5）振蕩環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)當輸入量為階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為：當時，上式特征方程的根為共軛復數(shù)因式分解得：工程學院電氣工程系40振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應2.3傳遞函數(shù)輸出量為：工程學院電氣工程系41（6）時滯環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)例2-10帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié)寫成一般形式

:零初始條件下，拉氏變換為

傳遞函數(shù)為

工程學院電氣工程系42時滯環(huán)節(jié)的輸出量2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系43時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：時滯環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)。

2.3傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系442.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方框圖表示，圖中標明其傳遞函數(shù)，并且按照在系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方框圖連接起來。2結(jié)構(gòu)圖的基本組成控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式，可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。特點：具有圖示模型的直觀，又有數(shù)學模型的精確。工程學院電氣工程系462.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：(1)首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)并寫出它的傳遞函數(shù)。

(2)繪出各環(huán)節(jié)的動態(tài)方框圖，方框圖中標明它的傳遞函數(shù)，并以箭頭和字母符號表明其輸入量和輸出量，按照信號的傳遞方向把各方框圖依次連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

結(jié)構(gòu)圖包含四個基本元素：信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。引出點（測量點）：引出或者測量信號的位置。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點。比較點（綜合點）：對兩個或者兩個以上的信號進行代數(shù)運算。

方塊：表示對輸入信號進行的數(shù)學變換。對于線性定常系統(tǒng)或元件，通常在方框中寫入其傳遞函數(shù)。

工程學院電氣工程系482.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖例2-11速度控制系統(tǒng)（了解）工程學院電氣工程系492.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（1）比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)式中：工程學院電氣工程系502.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖式中整理得

工程學院電氣工程系512.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（2）速度反饋的傳遞函數(shù)式中：為速度反饋系數(shù)

工程學院電氣工程系522.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（3）電動機及功率放大裝置工程學院電氣工程系532.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（4）系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖工程學院電氣工程系542.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.典型連接的等效傳遞函數(shù)

(1)串聯(lián)工程學院電氣工程系552.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(2)并聯(lián)工程學院電氣工程系562.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(3)反饋連接工程學院電氣工程系572.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.相加點及分支點的換位運算

原則:

換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。工程學院電氣工程系582.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(1)相加點后移

換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。工程學院電氣工程系592.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(2)相加點前移

工程學院電氣工程系602.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(3)分支點后移

工程學院電氣工程系612.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(4)分支點前移

工程學院電氣工程系622.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(5)分支點換位

工程學院電氣工程系632.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(6)相加點變位

工程學院電氣工程系642.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換(7)相加點和分支點一般不能變位

工程學院電氣工程系652.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換3.

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

定義：

閉環(huán)系統(tǒng)反饋信號的拉氏變換與偏差信號的拉氏變換之比（反饋通道斷開），定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，用表示。

工程學院電氣工程系662.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是正向通道傳遞函數(shù)與反向通道傳遞函數(shù)的乘積。

——正向通道傳遞函數(shù)——反向通道傳遞函數(shù)工程學院電氣工程系67例2-12無交叉局部反饋系統(tǒng)

2.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換工程學院電氣工程系682.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換例2-13有交叉局部反饋系統(tǒng)工程學院電氣工程系692.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換4.系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

定義：

在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，用表示。

工程學院電氣工程系702.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換工程學院電氣工程系71對于單位反饋系統(tǒng)，有

2.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換工程學院電氣工程系722.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換5.系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的傳遞函數(shù)

原則：對于線性系統(tǒng)來說，可以運用疊加原理，即對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進行疊加，就得到系統(tǒng)的輸出量。工程學院電氣工程系732.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換（1）只有給定作用時

工程學院電氣工程系742.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換（2）只有擾動作用時工程學院電氣工程系752.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的等效變換（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)

工程學院電氣工程系76小結(jié)1.數(shù)學模型的基本概念數(shù)學模型是描述系統(tǒng)因果關(guān)系的數(shù)學表達式，是對系統(tǒng)進行理論分析研究的主要依據(jù)。2.通過解析法對實際系統(tǒng)建立數(shù)學模型在本章中，根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的工作原理，建立其微分方程式，反映其動態(tài)本質(zhì)。工程學院電氣工程系77小結(jié)編寫閉環(huán)系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：(1)首先確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；(2)將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，依次確定各環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量，根據(jù)各環(huán)節(jié)的物理規(guī)律寫出各環(huán)節(jié)的微分方程；(3)消去中間變量，就可以求得系統(tǒng)的微分方程式。工程學院電氣工程系78小結(jié)4.傳遞函數(shù)通過拉氏變換求解微分方程是一種簡捷的微分方程求解方法。本章介紹了如何將線性微分方程轉(zhuǎn)換為復數(shù)s域的數(shù)學模型——傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。5.動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖解化，能夠直觀形象地表示出系統(tǒng)中信號的傳遞變換特性，有助于求解系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)，進一步分析和研究系統(tǒng)。

2.6

控制系統(tǒng)數(shù)學模型的