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第8講MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項式計算8.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理8.2數(shù)據(jù)插值8.3曲線擬合8.4多項式計算8.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理8.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min,兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。1.求向量的最大值和最小值求一個向量X的最大值函數(shù)有兩種調(diào)用格式,分別是:(1)y=max(X):返回向量X的最大值存入y,如果X中包含復(fù)數(shù)元素,則按模取最大值。(2)[y,I]=max(X):返回向量X的最大值存入y,最大值的序號存入I,如果X包含復(fù)數(shù)元素,則按模取最大值。(3)求向量X的最小值的函數(shù)是min(X),用法和max(X)完全相同。例8-1
求向量x的最大值。命令如下:x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,l]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置2.求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式,分別是:(1)max(A):返回一個行向量,向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A):返回行向量Y和U,Y向量記錄A的每列的最大值,U向量記錄每列最大值的行號。(3)max(A,dim):dim取1或2。dim取1時,該函數(shù)和max(A)完全相同;dim取2時,該函數(shù)返回一個列向量,其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。(4)求最小值的函數(shù)是min,其用法和max完全相同。例6-2
分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值,并求整個矩陣的最大值和最小值。3.兩個向量或矩陣對應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較,調(diào)用格式為:(1)U=max(A,B):A,B是兩個同型的向量或矩陣,結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣,U的每個元素等于A,B對應(yīng)元素的較大者。(2)U=max(A,n):n是一個標(biāo)量,結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣,U的每個元素等于A對應(yīng)元素和n中的較大者。(3)min函數(shù)的用法和max完全相同。例6-3求兩個2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。8.1.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod,其使用方法類似。設(shè)X是一個向量,A是一個矩陣,求和與求積的調(diào)用格式為:sum(X):返回向量X各元素的和。prod(X):返回向量X各元素的乘積。sum(A):返回一個行向量,其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A):返回一個行向量,其第i個元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于sum(A);當(dāng)dim為2時,返回一個列向量,其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于prod(A);當(dāng)dim為2時,返回一個列向量,其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4
求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。8.1.3平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean,求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為:mean(X):返回向量X的算術(shù)平均值。median(X):返回向量X的中值。mean(A):返回一個行向量,其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A):返回一個行向量,其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于mean(A);當(dāng)dim為2時,返回一個列向量,其第i個元素是A的第i行的算術(shù)平均值。median(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于median(A);當(dāng)dim為2時,返回一個列向量,其第i個元素是A的第i行的中值。例6-5
分別求向量x與y的平均值和中值。8.1.4累加和與累乘積在MATLAB中,使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量,函數(shù)的調(diào)用格式為:cumsum(X):返回向量X累加和向量。cumprod(X):返回向量X累乘積向量。cumsum(A):返回一個矩陣,其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A):返回一個矩陣,其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于cumsum(A);當(dāng)dim為2時,返回一個矩陣,其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim):當(dāng)dim為1時,該函數(shù)等同于cumprod(A);當(dāng)dim為2時,返回一個向量,其第i行是A的第i行的累乘積向量。例6-6
求s的值。8.1.5標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)1.求標(biāo)準(zhǔn)方差在MATLAB中,提供了計算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對于向量X,std(X)返回一個標(biāo)準(zhǔn)方差。對于矩陣A,std(A)返回一個行向量,它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為:Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時,求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差;當(dāng)dim=2時,則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1,當(dāng)flag=0時,按σ1所列公式計算標(biāo)準(zhǔn)方差,當(dāng)flag=1時,按σ2所列公式計算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0,dim=1。例6-7
對二維矩陣x,從不同維方向求出其標(biāo)準(zhǔn)方差。例6-8
生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機矩陣,然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差.命令如下:X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)6.1.6排序MATLAB中對向量X的排序函數(shù)是sort(X),函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序,其調(diào)用格式為:[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1,則按列排;若dim=2,則按行排。Y是排序后的矩陣,而I記錄Y中的元素在A中位置。例6-9
對二維矩陣做各種排序。6.2數(shù)據(jù)插值6.2.1一維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中,實現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1,其調(diào)用格式為:Y1=interp1(X,Y,X1,'method')函數(shù)根據(jù)X,Y的值,計算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量,分別描述采樣點和樣本值,X1是一個向量或標(biāo)量,描述欲插值的點,Y1是一個與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法,允許的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。注意:X1的取值范圍不能超出X的給定范圍,否則,會給出“NaN”錯誤。例6-10
用不同的插值方法計算在π/2點的值。MATLAB中有一個專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。例6-11
某觀測站測得某日6:00時至18:00時之間每隔2小時的室內(nèi)外溫度(℃),用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時之間每隔2小時各點的近似溫度(℃)。設(shè)時間變量h為一行向量,溫度變量t為一個兩列矩陣,其中第一列存放室內(nèi)溫度,第二列儲存室外溫度。命令如下:h=6:2:18;t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)%用3次樣條插值計算6.2.2二維數(shù)據(jù)插值在MATLAB中,提供了解決二維插值問題的函數(shù)interp2,其調(diào)用格式為:Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是兩個向量,分別描述兩個參數(shù)的采樣點,Z是與參數(shù)采樣點對應(yīng)的函數(shù)值,X1,Y1是兩個向量或標(biāo)量,描述欲插值的點。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。同樣,X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍,否則,會給出“NaN”錯誤。例6-12
某實驗對一根長10米的鋼軌進行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點0:2.5:10(米),用h表示測量時間0:30:60(秒),用T表示測試所得各點的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。命令如下:x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi)6.3曲線擬合在MATLAB中,用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多項式的系數(shù),再用polyval函數(shù)按所得的多項式計算所給出的點上的函數(shù)近似值。polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為:[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點X和采樣點函數(shù)值Y,產(chǎn)生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。其中X,Y是兩個等長的向量,P是一個長度為m+1的向量,P的元素為多項式系數(shù)。polyval函數(shù)的功能是按多項式的系數(shù)計算x點多項式的值。例6-14已知數(shù)據(jù)表[t,y],試求2次擬合多項式p(t),然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點的函數(shù)近似值。8.5多項式計算6.5.1多項式的四則運算1.多項式的加減運算2.多項式乘法運算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項式P1和P2的乘積。這里,P1、P2是兩個多項式系數(shù)向量。例6-16求多項式x4+8x3-10與多項式2x2-x+3的乘積。3.多項式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。這里,Q和r仍是多項式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù),即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17
求多項式x4+8x3-10除以多項式2x2-x+3的結(jié)果。8.5.2多項式的導(dǎo)函數(shù)對多項式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是:p=polyder(P):求多項式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q):求P·Q的導(dǎo)函數(shù)[p,q]=polyder(P,Q):求P/Q的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的分子存入p,分母存入q。上述函數(shù)中,參數(shù)P,Q是多項式的向量表示,結(jié)果p,q也是多項式的向量表示。例6-18求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下:P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)8.5.3多項式的求值MATLAB提供了兩種求多項式值的函數(shù):polyval與polyvalm,它們的輸入?yún)?shù)均為多項式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項式求值,而后者是矩陣多項式求值。1.代數(shù)多項式求值polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項式的值,其調(diào)用格式為:Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值,則求多項式在該點的值;若x為向量或矩陣,則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。例6-19已知多項式x4+8x3-10,分別取x=1.2和一個2×3矩陣為自變量計算該多項式的值。2.矩陣多項式求值polyvalm函數(shù)用來求矩陣多項式的值,其調(diào)用格式與polyval相同,但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣,它以方陣為自變量求多項式的值。設(shè)A為方陣,P代表多項式x3-5x2+8,那么polyvalm(P,A)的含義是:A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A
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