十三章 能量方法

第十三章能量法§13–1概述§13–2應(yīng)變能桿件應(yīng)變能計(jì)算§13–4互等定理§13–3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式§13–5虛功原理§13–6單位荷載法莫爾積分§13–7莫爾積分的圖乘法§13–1概述一、能量原理彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作的功：利用能量原理計(jì)算變形固體響應(yīng)的方法稱為能量方法。三、重要性1．原理清晰，方法統(tǒng)一；2．適用于線彈性、非線性等多類問題；3．可求解靜定與超靜定問題二、能量法一、桿件應(yīng)變能的計(jì)算1.拉壓桿的應(yīng)變能§13–2應(yīng)變能的計(jì)算應(yīng)變能密度：基本公式：若內(nèi)力是x的函數(shù)：2.扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能應(yīng)變能密度基本公式：若T是x的函數(shù)：3.彎曲梁的應(yīng)變能對(duì)細(xì)長梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變形能相比很小，通?？珊雎圆挥?jì)。純彎曲梁段內(nèi)各截面彎矩M相等，為常數(shù)?；竟剑喝魪澗厥莤的函數(shù)，則一、桿件應(yīng)變能-基本公式總結(jié)§13–2應(yīng)變能的計(jì)算彎曲梁：拉壓桿：扭轉(zhuǎn)軸：基本桿件的變形能計(jì)算公式應(yīng)用-1內(nèi)力方程和內(nèi)力圖：應(yīng)變能：如圖所示，長為l的桿件，受均布拉伸載荷q作用，已知橫截面性質(zhì)EA，求桿件的應(yīng)變能。xqlqx軸從右到左基本桿件的變形能計(jì)算公式應(yīng)用-2彎矩方程和彎矩圖分別為：應(yīng)變能：P如圖所示，桿長為l的懸臂梁，右端受集中力P作用，已知橫截面性質(zhì)EI，求梁的應(yīng)變能。xMPlx軸從右到左4．廣義力和廣義位移1）廣義力泛指力與力矩3）線彈性情況下，廣義力與廣義位移成線性關(guān)系2）廣義位移是與廣義力所對(duì)應(yīng)的位移，如力產(chǎn)生線位移，力矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)角4．廣義力和廣義位移線彈性材料的變形能—三類基本桿件統(tǒng)一表示：非線性彈性材料的變形能：構(gòu)件的應(yīng)變能：F1F2F3§13–3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式1.克拉貝依隆原理等比例加載，引進(jìn)參數(shù)β

(0～1)，則加載過程中廣義外力的中間值對(duì)應(yīng)的廣義位移中間值廣義力的增量

線彈性體

無剛體位移

廣義力

F1,,Fn

對(duì)應(yīng)廣義位移

1,,

n

廣義位移的增量克拉貝依隆原理：線彈性體應(yīng)變能等于每一廣義外力與其產(chǎn)生廣義位移乘積二分之一的總和。外力在位移增量上做的功為外力總功由于：應(yīng)變能唯一，且與加載次序無關(guān)，

所以：彈性體中的應(yīng)變能一般表達(dá)式為：依據(jù)以上原理，

對(duì)于受組合變形的桿件而言，應(yīng)變能的普遍表達(dá)式為：注：

1)上式中忽略了剪切變形能；

2)

扭轉(zhuǎn)部分為圓截面桿件；

§13–5互等定理δ1111Fδ12δ2222F1、功的互等定理引起的位移上做功在21FF應(yīng)變能為§13–5互等定理若先施加F2再施加F1，則根據(jù)應(yīng)變能與加載次序無關(guān)，有功的互等定理2、位移互等定理由功的互等定理可得F1作用點(diǎn)沿其方向因F2引起的位移，等于F2作用點(diǎn)沿F2方向因F1而引起的位移，就稱為位移互等定理F1F2說明：1)

位移應(yīng)理解為廣義位移；

2)

功的互等定理和位移互等定理只對(duì)線彈性材料和結(jié)構(gòu)成立?！?3–6虛功原理1實(shí)功與虛功實(shí)功是力在自身引起的位移上做的功；虛功是力在因其它因素（如溫度或其它外力）所引起的位移上做的功。2彈性體虛位移結(jié)構(gòu)某點(diǎn)處滿足其約束條件（邊界條件和連續(xù)條件）時(shí)所發(fā)生的微小位移。外力虛功，符號(hào)：δWe；內(nèi)力虛功，符號(hào)：δWi；微小位移小變形3變形體的虛功原理：若變形體有滿足變形協(xié)調(diào)及約束允許的虛位移，則滿足靜力平衡條件的任一力系在該變形體的虛位移上所作的總外力虛功等于總內(nèi)力虛功（虛應(yīng)變能），即變形體平衡的充要條件：對(duì)于任意的虛位移，外力虛功等于變形體積蓄的虛應(yīng)變能(即內(nèi)力虛功）。§13–7單位荷載（力）法莫爾積分1、單位荷載法原理求任意點(diǎn)沿某一方向的廣義位移ΔF1F2q(x)Δ由單位載荷引起的內(nèi)力，看做“實(shí)內(nèi)力”

原外載荷引起的位移，看做虛位移由虛位移原理：在該點(diǎn)此方向施加單位載荷（廣義）單位荷載法的計(jì)算位移公式F=1若材料為線彈性，由桿系結(jié)構(gòu)的線彈性變形公式：非線性彈性材料可用單位荷載法的莫爾積分計(jì)算位移公式式中：加一杠的內(nèi)力是單位載荷引起的內(nèi)力；

未加杠的內(nèi)力是原外載荷引起的內(nèi)力。單位荷載法的莫爾積分計(jì)算位移公式2、說明1）實(shí)際問題中幾種內(nèi)力不一定同時(shí)出現(xiàn)，且以彎曲為主的構(gòu)件常忽略軸力和剪力的影響。2）單位載荷是廣義力即（集中力、集中力偶等）。3）用單位荷載法求位移結(jié)果為正時(shí)，表示位移的真實(shí)方向與所加單位力方向相同；結(jié)果為負(fù)時(shí)，表示所求的位移與所加的單位力的方向相反。4）同一積分號(hào)內(nèi)的內(nèi)力坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。例1用單位力法求C點(diǎn)的水平位移。（EI、EA已知）3

積分解：1加單位載荷2求內(nèi)力方程bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CBFx2AFFaB例2

用單位力法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。等截面直梁（EI已知）。解：1在要求位移處加單位力2分別求外載和單位力作用下的內(nèi)力方程：aaACBF=1xxqaaACB例2

用單位力法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。等截面直梁（EI已知）。3單位力法求位移aaACBF=1xxqaaACB4求轉(zhuǎn)角加單位力偶并重建坐標(biāo)系，寫內(nèi)力方程x1x2qaaACBM=1aaACB例3已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不計(jì)軸力和剪力的影響。求：A點(diǎn)垂直位移y及B截面的轉(zhuǎn)角B

。解：1實(shí)際載荷的彎矩

AB段laCEI2BAEI1x1x2P

BC段1實(shí)際載荷的彎矩

AB段在A點(diǎn)加y方向單位力

BC段2求y

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式

AB段

BC段在B點(diǎn)加單位力偶矩2求B

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式

AB段

BC段CBAx1x21負(fù)號(hào)表示與所畫方向相反§10-8圖形互乘法應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：對(duì)于等直桿，EI=const，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分外載作用下的彎矩方程單位載荷作用下的彎矩方程l1圖乘法：莫爾積分的圖形計(jì)算方法2計(jì)算公式：Mxxy積分因單位力為集中力，產(chǎn)生的彎矩圖為一斜直線，有——M(x)圖對(duì)y軸的靜矩M(x)圖形心

：M(x)圖面積xCOCxdxxM(x)3圖乘法計(jì)算公式及說明說明:1)2)彎矩乘積正負(fù)規(guī)定，單位載荷彎矩圖與實(shí)際載荷彎矩圖在坐標(biāo)同側(cè)，則結(jié)果應(yīng)為正，異側(cè)為負(fù)。莫爾積分——可用原載荷彎矩圖的面積與該圖形形心位置所對(duì)應(yīng)的單位載荷(直線)的彎矩圖的幅度之積代替?！狹(x)圖面積；—M(x)圖形心對(duì)應(yīng)的

值。常見圖形面積和形心三角形常見圖形面積和形心（續(xù)）開口向下拋物線常見圖形面積和形心（續(xù)）開口向上拋物線例1：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度。CBlAPPlM1l例1用圖乘法求C點(diǎn)的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CB段：純彎曲CBFFaM(x)a例1用圖乘法求C點(diǎn)的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABF=1AB段：壓縮+彎曲x2AFFaBFa=aFaM(x)a1F例2

用圖乘法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。等截面直梁（EI已知）。解：1.畫彎矩圖aaACBF=1xxqaaACBqaqaqa2/21/21/2a/2例2

圖乘法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁（EI已知）。2.圖乘公式qa2/2a/24求轉(zhuǎn)角加單位力偶,畫彎矩圖qaaACBM=1aaACBqa2/21/21/2習(xí)題補(bǔ)充練習(xí)圖示剛架，已知兩桿E=200GPa，I=3000cm。試用圖乘法求D截面處的水平位移和轉(zhuǎn)角。P=10kN，l=1m。4解：1）求D處水平位移，在D處加單位力，并分別作出單位力和原載荷對(duì)應(yīng)的彎矩圖，如圖（b）、（c)，再圖乘：Pll2l2PABCD(a)12l(b)2PlP2P(c)例3用單位力法求BD兩點(diǎn)的相對(duì)位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=13變形解：1加單位力2求內(nèi)力（如圖所示）000-F1例3

已知:

q,a,l,

EI為常數(shù)。求：xC

及C

，軸力及剪力不計(jì)。解：用圖乘法

外載荷的彎矩圖laCBAqCBAMPC2C112

面積

外載荷的彎矩圖CBAMPC2C112

面積

1）求xC

單位載荷的彎矩圖CBA1lCBAMPC2C112

2）求C

單位載荷的彎矩圖CBA111CBAMPC2C112

正負(fù)號(hào)問題CBA