結(jié)構(gòu)力學(xué)第11章 結(jié)構(gòu)的極限荷載與彈性穩(wěn)定

第十一章結(jié)構(gòu)的極限荷載與彈性穩(wěn)定§11-1概述§11-2基本概念§11-3比例加載一般規(guī)律§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算§11-5壓桿臨界荷載1、彈性分析方法把結(jié)構(gòu)當(dāng)作理想彈性體，用容許應(yīng)力法計(jì)算結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。其強(qiáng)度條件為2、塑性分析方法按極限荷載計(jì)算結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，以結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段并最后喪失承載能力時(shí)的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志。強(qiáng)度條件為§11-1概述σmax—結(jié)構(gòu)的實(shí)際最大應(yīng)力；[σ]—材料的容許應(yīng)力；σu—材料的極限應(yīng)力；k—安全系數(shù)。F—結(jié)構(gòu)實(shí)際承受的荷載；Fu—極限荷載；K—安全系數(shù)?！?1-1概述結(jié)構(gòu)塑性分析中，為簡(jiǎn)化計(jì)算，把材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系作合理地簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化為理想彈塑性材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應(yīng)力不變，應(yīng)變可以任意增長(zhǎng)。CD段：應(yīng)力減為零時(shí)，有殘余應(yīng)變OD。結(jié)構(gòu)的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結(jié)構(gòu)，且各荷載按同一比例增加—比例加載。主要內(nèi)容：解釋幾個(gè)基本概念，極限彎矩、塑性鉸和極限狀態(tài)。圖示例：純彎曲狀態(tài)下的理想彈塑性材料的矩形截面梁。隨著彎矩M的增大，梁會(huì)經(jīng)歷由彈性階段到彈塑性階段最后達(dá)到塑性階段的過(guò)程。（見下頁(yè)圖）MhMb§11-2基本概念實(shí)驗(yàn)表明：無(wú)論在哪一個(gè)階段，梁彎曲變形時(shí)的平面假定都成立。a)b)c)y0y0hb§11-2基本概念一、極限彎矩分析：(1)圖(a)表示截面處于彈性階段。該階段的最大應(yīng)力發(fā)生在截面最外纖維處，稱為屈服極限y，此時(shí)的彎矩Ms稱為彈性極限彎矩，或稱為屈服彎矩。即：a)

（2）圖(b）—截面處于彈塑性階段，截面外邊緣處成為塑性區(qū)，應(yīng)力為常數(shù)，

b)y0y0§11-2基本概念=s；在截面內(nèi)部(|y|y0)則仍為彈性區(qū)，稱為彈性核，其應(yīng)力為直線分布，即：(3)圖(c)表示截面達(dá)到塑性流動(dòng)階段。在彈塑性階段中，隨著M增大，彈性核的高度逐漸減小，最后y00。此時(shí)相應(yīng)彎矩是截面所能承受的最大彎矩，稱為“極限彎矩”，即：c)§11-2基本概念比較兩式可知：對(duì)于矩形截面，極限彎矩為彈性極限彎矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。

二、塑性鉸和極限荷載在塑性流動(dòng)階段，在極限彎矩Mu保持不變的情況下，兩個(gè)無(wú)限靠近的截面可以產(chǎn)生有限的相對(duì)轉(zhuǎn)角。因此，當(dāng)某截面彎矩達(dá)到極限彎矩Mu時(shí)，就稱該截面產(chǎn)生了塑性鉸。

塑性鉸是單向鉸。因卸載時(shí)應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽咳詾橹本€關(guān)系，截面恢復(fù)彈性性質(zhì)。因此塑性鉸§11-2基本概念只能沿彎矩增大的方向發(fā)生有限的相對(duì)轉(zhuǎn)角。若沿相反方向變形，則截面立即恢復(fù)其彈性剛度而不再具有鉸的性質(zhì)。FPul/2l/2FPuMuMu

上圖示簡(jiǎn)支梁跨中受集中力作用，隨著荷載的增大，梁跨中截面彎矩達(dá)到極限彎矩Mu，跨中截面形成塑性鉸。這時(shí)簡(jiǎn)支梁已成為機(jī)構(gòu)，跨中撓度§11-2基本概念可以繼續(xù)增大而承載力不能增大，這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，相應(yīng)的荷載稱為極限荷載FPu。例11-1-1

設(shè)有矩形截面簡(jiǎn)支梁在跨中承受集中荷載作用(圖a)，試求極限荷載FPu

。解：由M圖知跨中截面彎矩最大，在極限荷載作用下，塑性鉸將在跨中截面形成，彎矩達(dá)極限值Mu(圖b)?！?1-2基本概念由此得出極限荷載FPu，即有

最后指出：這幾個(gè)概念是非常重要的。討論矩形截面梁在純彎曲狀態(tài)下所獲得的結(jié)果，利用其它形式的截面形狀，也有類似的結(jié)果。由靜力條件，有：§11-2基本概念

為了保證結(jié)構(gòu)的安全和正常使用，設(shè)計(jì)中除了進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算和剛度驗(yàn)算外，還須計(jì)算其穩(wěn)定性?！?1-2基本概念

三、穩(wěn)定問題1、三種不同性質(zhì)的平衡穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，恢復(fù)原位。中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)。不穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，不能恢復(fù)原位。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖a所示理想中心受壓直桿。當(dāng)F值達(dá)到某一特定數(shù)值時(shí)，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎曲，取消干擾后，壓桿將停留在彎曲位置上，不能回到原來(lái)的直線位置，如圖b。

此時(shí)壓桿既具有原來(lái)只有軸力的直線平衡形式，也具有新的同時(shí)受壓和受彎的彎曲平衡形式—這種現(xiàn)象為壓桿喪失了第一類穩(wěn)定性。分支點(diǎn)失穩(wěn)§11-2基本概念2、兩類不同形式的失穩(wěn)

圖a所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當(dāng)壓力達(dá)到臨界值qcr時(shí)，出現(xiàn)了新的非圓的平衡形式。

圖b所示承受均布荷載的拋物線拱，圖c所示剛架，荷載達(dá)到臨界值之前處于受壓狀態(tài)，荷載達(dá)到臨界值時(shí)出現(xiàn)同時(shí)具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。

圖c所示工字梁，荷載達(dá)到臨界值前僅在復(fù)板平面內(nèi)彎曲，荷載達(dá)到臨界值時(shí)發(fā)生斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。§11-2基本概念喪失第一類穩(wěn)定性的特征：結(jié)構(gòu)的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時(shí)出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。

圖a所示由塑性材料制成的偏心受壓直桿，一開始就處于同時(shí)受壓和彎曲的狀態(tài)。當(dāng)F達(dá)到臨界值Fcr時(shí)，荷載不增加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如圖b—喪失第二類穩(wěn)定性。極值點(diǎn)失穩(wěn)

工程結(jié)構(gòu)實(shí)際上均屬于第二類穩(wěn)定問題。可將其簡(jiǎn)化為一類穩(wěn)定問題來(lái)處理?！?1-2基本概念⑴比例加載的含義⑵假設(shè)條件一、比例加載的含義及相關(guān)假設(shè)

所有荷載變化時(shí)都彼此保持固定的比例，可用一個(gè)參數(shù)FP表示;荷載參數(shù)FP只是單調(diào)增大，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。①材料是理想彈塑性的。②截面的正極限彎矩與負(fù)極限彎矩的絕對(duì)值相等。③忽略軸力和剪力對(duì)極限彎矩的影響?！?1-3比例加載一般規(guī)律二、可破壞荷載和可接受荷載⑴結(jié)構(gòu)處于極限受力狀態(tài)時(shí)必須滿足的條件即所求極限荷載必須同時(shí)滿足下面三個(gè)條件①平衡條件：結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)的整體或任一局部都能維持平衡。③單向機(jī)構(gòu)條件：在極限狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)已有足夠數(shù)量的截面內(nèi)力達(dá)到極限值而使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為機(jī)構(gòu)，能夠沿荷載作正功的方向作單向運(yùn)動(dòng)。?！?1-3比例加載一般規(guī)律②內(nèi)力局限條件(屈服條件)：在極限狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)任一截面的內(nèi)力都不超過(guò)其極限值。任一截面彎矩絕對(duì)值都不超過(guò)其極限彎矩⑵可破壞荷載⑶可接受荷載可破壞荷載只滿足平衡條件和單向機(jī)構(gòu)條件?？山邮芎奢d只滿足平衡條件和內(nèi)力局限條件。將滿足單向機(jī)構(gòu)條件和平衡條件的荷載稱為可破壞荷載。換言之對(duì)于任一單向破壞機(jī)構(gòu)，用平衡條件求得的荷載值，用表示。

將滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載稱為可接受荷載。換言之如果在某個(gè)荷載值的情況下，能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡，且各截面的內(nèi)力都不超過(guò)其極限值，此荷載值稱為可接受荷載用表示?！?1-3比例加載一般規(guī)律⑴基本定理:可破壞荷載恒不小于可接受荷載，即⑷唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。若某一荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載就是極限荷載。⑵上限定理（極小定理）可接受荷載是極限荷載的下限。換言之，可接受荷載中的極大值是即極限荷載。三、比例加載的一般定理可破壞荷載是極限荷載的上限。換言之，可破壞荷載中的極小值即是極限荷載。⑶下限定理（極大定理）§11-3比例加載一般規(guī)律一、單跨超靜定梁的極限荷載

為了求得極限荷載，需確定結(jié)構(gòu)的破壞形態(tài)，即確定塑性鉸的位置及數(shù)量。

塑性鉸首先出現(xiàn)在彎矩最大的截面，隨著荷載的增大，其他截面也可能出現(xiàn)新的塑性鉸直至結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂凶杂啥鹊臋C(jī)構(gòu)從而喪失承載能力為止。

極限荷載的求解無(wú)需考慮變形協(xié)調(diào)條件、結(jié)構(gòu)變形的過(guò)程以及塑性鉸形成的次序?！?1-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

利用靜力平衡方程求極限荷載的方法稱為靜力法。

利用虛功方程求極限荷載的方法稱為虛功法。例11-4-1

求梁的極限荷載FPu,截面極限彎矩為Mu。1）靜力法：解：結(jié)構(gòu)在A、C截面出現(xiàn)塑性鉸。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解釋§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

令機(jī)構(gòu)產(chǎn)生虛位移，使C截面豎向位移和荷載FPu同向，大小為δ。2）虛功法外力虛功：內(nèi)力虛功：由We=Wi，可得：FPuCABMuMul/2l/2一次超靜定二個(gè)塑性鉸§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算例11-4-2

求梁的極限荷載FPu，已知極限彎矩為Mu。內(nèi)力虛功由We=Wi，可得所以有quACBMuMuMu解：外力虛功ACBql/2l/2三次超靜定三個(gè)塑性鉸§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算例11-4-3

已知梁截面極限彎矩為Mu，求極限荷載

。解:塑性鉸位置：A截面及梁上最大彎矩截面C。整體平衡BlqAquABl-xMuMuCx§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算BC段平衡quxBCMuBC段平衡quxBCMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算例11-4-4

求圖示梁的極限荷載。塑性鉸的可能位置：A、B、D。ABCD解:AB段極限彎矩為，BC段極限彎矩為Mu。ABCDFPuMuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算1）B、D截面出現(xiàn)塑性鉸，由彎矩圖可知，只有當(dāng)時(shí)，此破壞形態(tài)才可能實(shí)現(xiàn)。ABCDFPuMuMuABCDFPuMuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算ABCDFPuMuACDFPuMu2）A、D截面出現(xiàn)塑性鉸。由彎矩圖可知，只有當(dāng)即時(shí)，此破壞形態(tài)才可能實(shí)現(xiàn)。§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算3）當(dāng)時(shí)，則前面兩種破壞形態(tài)均可能出現(xiàn)，則：

為了計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載，關(guān)鍵是確定真實(shí)的破壞形態(tài)，即塑性鉸的數(shù)量及位置。無(wú)需考慮變形協(xié)調(diào)條件，也不受溫度變化和支座移動(dòng)等因素的影響，因?yàn)檫@些因素只影響變形的發(fā)展過(guò)程，并不影響極限荷載的大小。§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

假設(shè):

1）連續(xù)梁每一跨內(nèi)等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；

2）各跨荷載方向相同，且按相同比例增大。

因此，連續(xù)梁只能在各跨獨(dú)立形成破壞機(jī)構(gòu)，而不能由相鄰兩跨聯(lián)合形成破壞機(jī)構(gòu)。因?yàn)楦骺缭谪Q向荷載作用下，每跨內(nèi)的最大負(fù)彎矩只可能在各跨兩端出現(xiàn)，即負(fù)塑性鉸只可能出現(xiàn)在兩端。二、連續(xù)梁的極限荷載主要討論連續(xù)梁破壞機(jī)構(gòu)的形式?！?1-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

連續(xù)梁一跨破壞就認(rèn)為連續(xù)梁?jiǎn)适С休d能力。連續(xù)梁極限荷載的求解同單跨梁?！?1-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算例11-4-5

求連續(xù)梁的極限荷載。解：1)AB跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2MuFPABCFPu1MuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算2)

BC跨ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu注意B點(diǎn)§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算例11-4-6

在圖（a）所示的連續(xù)梁中，每跨為等截面。設(shè)AB和BC跨的正極限彎矩為Mu，CD跨的正極限彎矩為2Mu；又各跨負(fù)極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍。試求此連續(xù)梁的極限荷載Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l0.5l0.75l0.75l解：分別求出各跨獨(dú)立破壞時(shí)的破壞荷載?！?1-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算(b)1.2MuMu注意：塑性鉸處的極限彎矩與由它產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角方向一致。AB跨破壞時(shí)(圖b)：§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算(c)1.2Mu1.2MuMuBC跨破壞時(shí)(圖c)：CD跨破壞時(shí)(圖d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算比較可知，AB跨首先破壞，極限荷載為：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

本節(jié)僅限于討論單層單跨剛架的極限荷載。對(duì)于剛架，首先要確定塑性鉸可能產(chǎn)生的截面位置，然后根據(jù)可能的破壞機(jī)構(gòu)用機(jī)構(gòu)法或試算法求極限荷載。例11-4-7

求剛架的極限荷載。ABCDEFPFPMu1.5MuMu解：

1、機(jī)構(gòu)法剛架可在A、B、C、D、E產(chǎn)生塑性鉸。一、鋼架的極限荷載§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算三種可能的破壞機(jī)構(gòu)為：梁機(jī)構(gòu)；

側(cè)移機(jī)構(gòu)；

組合機(jī)構(gòu)。1）梁機(jī)構(gòu)ABCDEMu1.5MuMua)

梁機(jī)構(gòu)§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算2）側(cè)移機(jī)構(gòu)b)

側(cè)移機(jī)構(gòu)ABCDEMuMuMuMuc)

組合機(jī)構(gòu)ABCDE1.5MuMuMuMu3）組合機(jī)構(gòu)§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算可見，極限荷載為：

若分別選定上述三種破壞機(jī)構(gòu)：梁機(jī)構(gòu)、側(cè)移機(jī)構(gòu)和組合機(jī)構(gòu)，則求出的可破壞荷載同上。

下面分別畫出三種破壞機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的彎矩圖，檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)任一截面彎矩是否均小于Mu，若結(jié)論成立，則也是可接受荷載，因此該荷載就是極限荷載。2.試算法§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算1）梁機(jī)構(gòu)由BD桿平衡可求得整體平衡：

故MA和ME中一定有一個(gè)數(shù)值大于Mu，不滿足內(nèi)力局限條件。ABCDEMu1.5MuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算2）側(cè)移機(jī)構(gòu)用疊加法畫BD桿彎矩圖可得：?？梢?，該彎矩圖不滿足內(nèi)力局限條件。ABCDEMu2MuMuMuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算3）組合機(jī)構(gòu)可見，該彎矩圖滿足屈服條件，故極限荷載為：柱DE下端剪力為：柱BA下端剪力為：由柱AB平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMuMuMu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

解：取組合機(jī)構(gòu)，近似取梁BC的跨中截面產(chǎn)生塑性鉸。MuMuABCD2MuFPMuABCD2MuMuMu例11-4-8

求剛架的極限荷載。§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算

作結(jié)構(gòu)M圖，求得跨中附近截面最大彎矩為：用因子2/2.07對(duì)進(jìn)行

故不是極限荷載，應(yīng)進(jìn)行修正。折減得：實(shí)際上應(yīng)有取兩者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu§11-4超靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載計(jì)算確定臨界荷載的方法靜力法—應(yīng)用靜力平衡條件求解；能量法—應(yīng)用以能量形式表示的平衡條件。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度：為確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形狀態(tài)所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。

圖a所示支承在抗轉(zhuǎn)彈簧上的剛性壓桿，確定失穩(wěn)時(shí)變形狀態(tài)的獨(dú)立參數(shù)為1，只有一個(gè)自由度。

圖b所示結(jié)構(gòu)，則需兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，具有兩個(gè)自由度。

圖c所示彈性壓桿，則需無(wú)限多個(gè)獨(dú)立參數(shù)，具有無(wú)限多自由度?！?1-5壓桿臨界荷載靜力法—依據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性，應(yīng)用靜力平衡條件，求解結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值即為臨界荷載。

圖a所示單自由度結(jié)構(gòu)，設(shè)壓桿偏離豎直位置時(shí)仍處于平衡狀態(tài)如圖b。由∑MA=0有當(dāng)時(shí)上式滿足，對(duì)應(yīng)原有的平衡形式位移很小時(shí)可認(rèn)為故有穩(wěn)定方程或特征方程對(duì)于新的平衡形式，則有§11-5壓桿臨界荷載由穩(wěn)定方程解得結(jié)構(gòu)處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖c中的AB段。若采用精確的方程則有若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。

當(dāng)時(shí)，與F的數(shù)值仍是一一對(duì)應(yīng)的，如圖c中的AC段。n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)→對(duì)新的平衡形式列出n個(gè)平衡方程n個(gè)獨(dú)立參數(shù)的齊次方程系數(shù)行列式D=0的條件建立穩(wěn)定方程n個(gè)根中的最小值為臨界荷載§11-5壓桿臨界荷載例11-5-1試求圖a所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。兩抗移彈性支座的剛均為k。解：結(jié)構(gòu)有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)A、

B點(diǎn)的位移如圖b。設(shè)位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0即y1、y2不全為零，則應(yīng)有展開解得臨界荷載§11-5壓桿臨界荷載由(a)式不能求得y1、y2的確定解答，但可以求出兩者的比值。將代回(a)式可得相應(yīng)的位移圖如圖c。將代回(a)式可得相應(yīng)的位移圖如圖d。實(shí)際結(jié)構(gòu)必先以圖d的形式失穩(wěn)，圖c只是理論上存在?！?1-5壓桿臨界荷載例11-5-3圖a所示一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈性直桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，則任一截面的彎矩為撓曲線的近似微分方程為令微分方程的通解為邊界條件為代入通解得(b)§11-5壓桿臨界荷載

方程(b)是關(guān)于A、B、FS/F的齊次方程組，A=B=FS/F=0時(shí)滿足，此時(shí)各點(diǎn)位移y均為零。對(duì)新的平衡形式要求三者不全為零，方程(b)的系數(shù)行列式應(yīng)為零，得穩(wěn)定方程為展開此超越方程圖解法求解，如圖b。與

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左側(cè)附近，試算求得準(zhǔn)確解。求得臨界荷載值為§11-5壓桿臨界荷載勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（就是真實(shí)的位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能EP為駐值，即Vε—結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；V—外力勢(shì)能。外力勢(shì)能定義為Fi—結(jié)構(gòu)上的外力Δi—與外力相應(yīng)的虛位移有限自由度結(jié)構(gòu)→所有可能的位移狀態(tài)只用有限個(gè)獨(dú)立參數(shù)a1，a2，…，an即可表示，EP只是這有限個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。單自由度結(jié)構(gòu)→EP只是參數(shù)a1的一元函數(shù)，勢(shì)能的變分為結(jié)構(gòu)處于平衡時(shí)是任意的故§11-5壓桿臨界荷載由可建立穩(wěn)定方程以求解臨界荷載。多自由度結(jié)構(gòu)勢(shì)能的變分為由δEP=0及δa1，δa2，…，δan的任意性，必須有

由此獲得一組含a1，a2，…，an的齊次線性代數(shù)方程，要使a1，a2，…，an不全為零，則此方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零→建立穩(wěn)定方程→確定臨界荷載?！?1-5壓桿臨界荷載例11-5-4圖a所示壓桿EI為無(wú)窮大，上端水平彈簧的剛度為k，試確定其臨界荷載。解：?jiǎn)巫杂啥冉Y(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)發(fā)生微小的偏離如圖b。彈簧的應(yīng)變能為外力勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為若圖b結(jié)構(gòu)能維持平衡則有y1≠0，故臨界荷載為§11-5壓桿臨界荷載例11-5-5用能量法求圖a所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)發(fā)生