數(shù)量積向量混合

一、向量的線(xiàn)性運(yùn)算1.向量的加減法(1)三角形法則(2)平行四邊形法則2.向量與數(shù)的乘法4.兩個(gè)向量的平行關(guān)系定理設(shè)向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使.二、空間直角坐標(biāo)系向量

的坐標(biāo)分解式：三、利用坐標(biāo)作向量的線(xiàn)性運(yùn)算設(shè)（為實(shí)數(shù)）則四、向量的模、方向角、投影1.向量的模：2.設(shè)有點(diǎn)，則其距離為MPQROzyx非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設(shè)非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:注意：設(shè)(2)3.向量在軸上的投影性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)33.向量在軸上的投影.空間一點(diǎn)在軸上的投影:設(shè)，則數(shù)稱(chēng)為向量在軸上的投影，記作或.

則或記作過(guò)點(diǎn)作軸的垂直平面，交點(diǎn)即為點(diǎn)在軸上的投影.注意：設(shè)(2)

性質(zhì)1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);性質(zhì)3(即).

例9設(shè)立方體的一條對(duì)角線(xiàn)為OM,一條棱為OA,且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

記

有于是Prj

第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積一、兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義數(shù)量積也稱(chēng)為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.注意:關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：證證數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：例1試用向量證明三角形的余弦定理記則有從而由及即得設(shè)在中，要證證：數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)由此可知兩向量垂直的充要條件為夾角余弦的計(jì)算公式:兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：

二、兩向量的向量積實(shí)例定義關(guān)于向量積的說(shuō)明：//向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：證////（1）（2）分配律：（3）若

為數(shù)：//設(shè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出例如，解例4設(shè)，，計(jì)算.解根據(jù)向量積的定義，三角形ABC的面積為例5已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積.由于因此于是例6設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線(xiàn)速度.解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以用在l軸上的一個(gè)向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出：即以右手握住l軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)，大拇指的指向就是的方向.設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a，再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r=OM，并以表示與r的夾角，那么設(shè)線(xiàn)速度為v，那么由物理學(xué)上線(xiàn)速度與角速度間的關(guān)系可知，v的大小為v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面，即v

垂直于與r

；又v

的指向是使、r

、v

符合右手規(guī)則.因此有三、向量的混合積定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說(shuō)明：當(dāng)組成右手系時(shí)，為正；當(dāng)組成左手系時(shí)，為負(fù).解式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.

性質(zhì)2

對(duì)調(diào)混合積相鄰兩個(gè)向量，混合積改變符號(hào)。例如

三個(gè)向量和共面的充分必要條件為

例4已知不在同一平面上的四點(diǎn)O(0,0,0)、A(2,3,－1)、B(4,5,1)和C(1,－2,3),求以O(shè)A、OB、OC為棱所構(gòu)成的四面體體積。

解作三向量和則

例5試證：空間四點(diǎn)和共面的充分條件

證作矢量