電容元件與電感元件

第五章電容元件與電感元件

只包含電阻元件和電源元件的電路——電阻（resistive）電路,否則便是動(dòng)態(tài)（dynamic）電路。

(動(dòng)態(tài)電路至少包含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。)

電容元件（capacitor）、電感元件（inductor）均屬動(dòng)態(tài)元件。動(dòng)態(tài)元件的VCR?描述動(dòng)態(tài)電路的方程?

含動(dòng)態(tài)元件的動(dòng)態(tài)電路也屬于集總電路，也必須服從兩類(lèi)約束;

分析動(dòng)態(tài)電路的基本方法還是疊加法、分割法；前面所學(xué)的2b法，支路法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、觀察法仍然可用?！?電容元件的VCR

§2電容的儲(chǔ)能狀態(tài)變量§3電容與電感的對(duì)偶性（duality）本章先介紹兩種儲(chǔ)能元件

———電容元件和電感元件。

常用的幾種電容器電容(Electriccapacity)構(gòu)成：由兩個(gè)金屬極，中間夾有絕緣材料（介質(zhì)）構(gòu)成。作用：隔斷直流電，通過(guò)交流電的作用。常用于級(jí)間耦合、濾波、去耦、旁路及信號(hào)調(diào)諧等。種類(lèi)：從原理分：無(wú)極性的、有極性的；固定電容、可調(diào)電容。從材料分：CBB電容（聚乙烯），滌綸電容、瓷片電容、云母電容、獨(dú)石電容、電解電容（最常見(jiàn)）、鉭電容等。有機(jī)半導(dǎo)體鋁電解電容構(gòu)造圖

§1電容元件的VCR

絕緣介質(zhì)電容器是一種能夠存儲(chǔ)電荷乃至電場(chǎng)能量的器件。理想電容器應(yīng)該只具有存儲(chǔ)電荷從而在電容器中建立電場(chǎng)的作用。充電電容（元件）的VCR有兩種形式

一種電荷與電壓相約束的器件。

電容元件的定義：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱(chēng)此二端元件為電容元件。符號(hào)和特性曲線如下圖7(a)和(b)所示。

通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱(chēng)為線性電容元件，否則為非線性電容元件。(a)電容元件的符號(hào)(c)線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)(b)電容元件的特性曲線(d)線性時(shí)不變電容元件的特性曲線在物理意義上：它只具有存儲(chǔ)電荷、從而存儲(chǔ)電場(chǎng)能量的作用。其參數(shù)為電容C：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱(chēng)為電容，單位是法[拉],用F表示。電容器其他幾種模型電容器的幾種電路模型

電容元件的VCR一對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來(lái)說(shuō)，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式：此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒(méi)有確定的約束關(guān)系。動(dòng)態(tài)元件.在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)路(i=0)。例：已知C=1F如u(t)=10sin(5t)V，其波形如圖7-3(a)所示，則iC(t)為圖7-3(b)所示。因?yàn)橛校簣D7-3電流總比電壓慢半拍例：已知電容的電壓u(t)如圖(a)所示，求電流iC(t),并畫(huà)出波形圖。

解：根據(jù)圖7(a)波形，按照時(shí)間分段來(lái)求解：

1.當(dāng)0t2s時(shí)，uC(t)=10t，根據(jù)式7－2可以得到圖b0-2線段：

2.當(dāng)2st4時(shí)，uC(t)=20，根據(jù)式7－2可以得到圖b2-4線段：圖(a)圖（b）3.當(dāng)4st8時(shí)，uC(t)=－5t，根據(jù)式7－2可以得到圖b4-8線段：上述例子表明：

（a）u、i

波形不同。此為動(dòng)態(tài)元件一般規(guī)律，（除正弦波等少數(shù)例外。）特別是當(dāng)u為直流電壓時(shí)i=0。（b）盡管電流是不連續(xù)的，但電容電壓卻是連續(xù)的——

電容電壓的連續(xù)性質(zhì)（continuityproperty）利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開(kāi)關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值，在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為電容元件的VCR二上式表明：

更實(shí)用的形式：設(shè)初始時(shí)刻為t=0某時(shí)刻t的電容電壓與從-∞到該時(shí)刻所有電流有關(guān)—電容電壓的記憶性質(zhì)（memoryproperty）即u(0)累計(jì)了t=0以前所有時(shí)刻i的作用,稱(chēng)為電容的初始電壓。例:電路如圖7－6(a)所示，已知電容電流波形如圖7－6(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫(huà)波形圖。圖7-6根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫(huà)出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見(jiàn)任意時(shí)刻電容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。例如，當(dāng)1s<t<3s時(shí)，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時(shí)間內(nèi)電流作用的結(jié)果。圖7-6上式表示t>0某時(shí)刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時(shí)刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電壓源uc(0)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián)如下圖所示。電容的兩個(gè)基本的性質(zhì)

(1)電容電壓的記憶性。任意時(shí)刻T電容電壓的數(shù)值uC(T)，要由從-到時(shí)刻T之間的全部電流iC(t)來(lái)確定。也就是說(shuō)，此時(shí)刻以前流過(guò)電容的任何電流對(duì)時(shí)刻T的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說(shuō)電容是一種記憶元件。圖7－7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形[如圖(b)中實(shí)線所示]保持輸入電壓uin(t)波形[如圖(b)中虛線所示]中的峰值。圖7－7峰值檢波器電路的輸入輸出波形

(2)電容電壓的連續(xù)性電流的波形可以是不連續(xù)的，但電容電壓的波形是連續(xù)的。即電容電流在閉區(qū)間[t1,t2]有界時(shí)，電容電壓在開(kāi)區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明（從略）。電容電壓不能突變的性質(zhì)，常用下式表示：

對(duì)于初始時(shí)刻t=0來(lái)說(shuō)，上式表示為：利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開(kāi)關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說(shuō)明。

試求：(1)u(0)；(2)u(t)、t≥0；(3)u(1)和u(－0.5)；(4)作出t≥0時(shí)該電容的等效電路。已知電容C=4F，對(duì)所有t、i(t)波形如圖所示，電容電壓u(t)與i(t)參考方向關(guān)聯(lián)。

（1）根據(jù)已知條件，t≤0時(shí)僅在－1≤t≤0時(shí)，i(t)=2A。u(0)記憶了t=0以前所有電流的充電作用。

例題解:電流發(fā)生躍變時(shí)可以看作電路中開(kāi)關(guān)發(fā)生作用（換路）

，其后一瞬間（t=0+）時(shí)的電容電壓值叫初始值。（2）t≥0時(shí)，不能忽略初始電壓u(0)，它反映了t≤0電流對(duì)t≥

0時(shí)u（t）的影響。t≥

0時(shí)（3）u(0+)=u(0-)=0.5V（4）t≥

0時(shí)的等效電路i1(t)—i(t)在t≥0時(shí)的部分；t≤0的部分已不必再考慮。例7－3圖7－8所示電路的開(kāi)關(guān)閉合已久，求開(kāi)關(guān)在t=0時(shí)刻

斷開(kāi)瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。解：開(kāi)關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時(shí)間變化的恒定

值，造成電容電流等于零，即圖7－8電容相當(dāng)于開(kāi)路。此時(shí)電容電壓為當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，在電阻R2和R3不為零的情況下，電容電流為有限值，電容電壓不能躍變，由此得到圖7－8§5-2電容的儲(chǔ)能狀態(tài)變量若電壓和電流都是隨時(shí)間變化的，則算得的功率也是隨時(shí)間變化的。則每一瞬間的功率叫瞬時(shí)功率。電容的瞬時(shí)功率:功率波形圖：功率隨時(shí)間變化的曲線（見(jiàn)下頁(yè)）。結(jié)論：電容的功率有正有負(fù)，說(shuō)明電容有時(shí)吸收功率，有時(shí)放出功率。電阻的p恒為正。一、瞬時(shí)功率：求電容元件的瞬時(shí)功率和儲(chǔ)能。

解：如右圖所示：例：已知電容u波形如(b)所示，u、i關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的iC(t)、pC(t)、wC(t)的波形圖。

二、電容的儲(chǔ)能結(jié)論：電容將電能轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能儲(chǔ)存在其中。其能量總為正。某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻的，與其電流值無(wú)關(guān)。電容是無(wú)源元件；某一時(shí)刻t的電容電壓反映同時(shí)刻儲(chǔ)能狀況。（儲(chǔ)能元件）電容電壓的連續(xù)性和記憶性均來(lái)自電容的儲(chǔ)能本性。電場(chǎng)能電容在t1~t2期間儲(chǔ)存或釋放的能量：結(jié)論：t1~t2

期間電容儲(chǔ)存或釋放的能量只與初始時(shí)刻和終了時(shí)刻的電壓值有關(guān)，而與此期間內(nèi)的其他電壓值無(wú)關(guān)。>0電容從外電路吸取能量<0電容向外電路釋放能量

由于電容電壓確定了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)，在動(dòng)態(tài)電路分析中稱(chēng)電容電壓為狀態(tài)（state）變量。它滿(mǎn)足：（a）給定初始狀態(tài)[即uc(0)]和所有t≥0的輸入[即i(t)]就能確定在t≥0時(shí)的狀態(tài)[即uc(t)]。見(jiàn)VCR的積分形式，。（b）由狀態(tài)變量可確定電路中任一變量。見(jiàn)下章。作為狀態(tài)變量，uc是分析含電容動(dòng)態(tài)電路時(shí)的主要對(duì)象。三、狀態(tài)變量

§3電容與電感的對(duì)偶性（duality）對(duì)偶關(guān)系習(xí)題課

習(xí)題1答案5-12已知u(0)=4V，則該電容t≥0時(shí)的VCR為

與教案中例題不同，此處u(0)的成因不詳，也無(wú)需且不可能追究。其極性已如圖中所示，其值為4V，已成定局。但t≥0時(shí)，i、u的參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)的，故應(yīng)選B項(xiàng)。習(xí)題1

答案5-13

解

t≥0的等效電路如圖，

代表初始電壓源的極性、數(shù)值是已知的，與i無(wú)關(guān)。C部分的u1和i的參考方向是非關(guān)聯(lián)的。習(xí)題課

習(xí)題2答案5-14

已知2H電感的電流波形如圖所示，試求電壓波形。設(shè)u、i為關(guān)聯(lián)參考方向。i波形圖上t=6s時(shí)，i=3.5A。習(xí)題2

答案5-15

解

利用分段作出波形圖：習(xí)題課

習(xí)題3答案5-16

與直流電源接通已久的電路如圖所示，試求每一電阻所消耗的功率；電路所儲(chǔ)存的能量；每一電源所提供的功率并校核電路的功率平衡關(guān)系。

2H習(xí)題3

答案5-17

解電路在直流電源長(zhǎng)久作用下，電感看作短路，電容看作開(kāi)路，如圖所示。1Ω電阻的功率：2Ω電阻的功率：5-18

電路總共儲(chǔ)存能量為4J+8J=12J。該項(xiàng)能量是電源接入時(shí)，由電源提供的。在電源持續(xù)作用下，這能量