第三章力學(xué)量算符

（一）算符定義（二）算符的一般特性§1算符的運(yùn)算規(guī)則

第三章力學(xué)量的算符贛南師范學(xué)院物理系由于微觀(guān)粒子具有波粒二象性，微觀(guān)粒子狀態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子不同，它需要用波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。量子力學(xué)中微觀(guān)粒子力學(xué)量（如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等）的性質(zhì)也不同與經(jīng)典粒子的力學(xué)量。經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學(xué)量都有確定值，微觀(guān)粒子由于波粒二象性，坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值。這種差別的存在使得我們不得不用和經(jīng)典力學(xué)不同的方式，即用算符的形式來(lái)表示粒子的力學(xué)量。代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào)

?u=v表示

?

把函數(shù)u

變成

v，?就是這種變換的算符。

1）du/dx=v，

d/dx

就是算符，其作用是對(duì)函數(shù)u微商，故稱(chēng)為微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它對(duì)u作用是使u變成v。

由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒(méi)有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如：

（一）算符定義（7）逆算符

（8）算符函數(shù)

（9）復(fù)共軛算符

（10）轉(zhuǎn)置算符

（11）厄密共軛算符

（12）厄密算符

（1）線(xiàn)性算符

（2）算符相等

（3）算符之和

（4）算符之積

（5）對(duì)易關(guān)系

（6）對(duì)易括號(hào)

（二）算符的一般特性（1）線(xiàn)性算符

?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2

其中c1,c2是任意復(fù)常數(shù)，ψ1,ψ2是任意兩個(gè)波函數(shù)。

滿(mǎn)足如下運(yùn)算規(guī)律的算符?稱(chēng)為線(xiàn)性算符

例如：開(kāi)方算符、取復(fù)共軛算符就不是線(xiàn)性算符。注意：描寫(xiě)可觀(guān)測(cè)量的力學(xué)量算符都是線(xiàn)性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。（2）算符相等

若兩個(gè)算符?、?對(duì)體系的任何波函數(shù)ψ的運(yùn)算結(jié)果都相同，即?ψ=

?ψ，則算符?和算符?相等記為?=?。（3）算符之和若兩個(gè)算符?、?對(duì)體系的任何波函數(shù)ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ

則?+?=ê

稱(chēng)為算符之和。顯然，算符求和滿(mǎn)足交換率和結(jié)合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運(yùn)算沒(méi)有相減，因?yàn)闇p可用加來(lái)代替。?－?=?+（－?）。很易證明線(xiàn)性算符之和仍為線(xiàn)性算符。（4）算符之積

若?(?ψ)=(??)ψ=êψ

則??=ê，其中ψ是任意波函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)算符之積不滿(mǎn)足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處。（5）對(duì)易關(guān)系若??≠??，則稱(chēng)?與?不對(duì)易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:

對(duì)易關(guān)系但是坐標(biāo)算符與其非共軛動(dòng)量對(duì)易，各動(dòng)量之間相互對(duì)易。量子力學(xué)中最基本的對(duì)易關(guān)系。寫(xiě)成通式:注意：當(dāng)?與?對(duì)易，?與ê對(duì)易，不能推知?與ê對(duì)易與否。例如：若算符滿(mǎn)足

??=－??，則稱(chēng)?和?

反對(duì)易。（6）對(duì)易括號(hào)

為了表述簡(jiǎn)潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對(duì)易括號(hào)：

[?,?]≡??－??這樣一來(lái)，坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系可改寫(xiě)成如下形式：

不難證明對(duì)易括號(hào)滿(mǎn)足如下對(duì)易關(guān)系：1)[?,?]=－[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

同樣可以定義反對(duì)易括號(hào)：

[?,?]＋＝??＋??

（7）逆算符

1.定義:設(shè)?ψ=φ,能夠唯一的解出ψ,則可定義算符?之逆?-1

為:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.

2.性質(zhì)I:若算符?之逆?-1存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因?yàn)棣资侨我夂瘮?shù),所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質(zhì)II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1

課堂練習(xí)：證明性質(zhì)II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1

??-1=?

?-1

=I

I＝??

?-1?-1I＝（??

）?-1?-1(??)-1=?-1?-1證明：例如:設(shè)給定一函數(shù)F(x),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂

則可定義算符?的函數(shù)F(?)為:

（8）算符函數(shù)（9）復(fù)共軛算符算符?的復(fù)共軛算符?*就是把?表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛.例如:坐標(biāo)表象中

（10）轉(zhuǎn)置算符利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:當(dāng)|x|→∞時(shí)ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函數(shù),所以同理可證:(11)厄密共軛算符

由此可得：:轉(zhuǎn)置算符的定義

厄密共軛算符亦可寫(xiě)成：

算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:

(??)+=?+?+

(???...)+=...?+?+?+

(12)厄密算符1.定義:滿(mǎn)足下列關(guān)系的算符稱(chēng)為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性