復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義

第七章復(fù)數(shù)第七章復(fù)數(shù)§復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算77知識(shí)索引知識(shí)索引索引1：復(fù)數(shù)的運(yùn)算索引1：復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R①②③（2）幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).索引2：復(fù)數(shù)的加、減法則索引2：復(fù)數(shù)的加、減法則加法法則：設(shè)=，=是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

那么他們的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).減法法則：設(shè)=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.

索引3：復(fù)數(shù)的乘、除法則乘法法則：設(shè)=，=，(a,b,c,d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

那么它們的積（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）除法法則：（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）

索引3：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算律加法運(yùn)算律對(duì)任意，，∈C,有

（1）交換律：+=+

（2）結(jié)合律：（+）+=+（+）思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.77精例探究精例探究精例1精例1.已知z1，z2為虛數(shù)，且滿(mǎn)足|z（1）若z1z2（2）求證：z1【答案】（1）解：設(shè)z1則z1因?yàn)閨z1|=5所以{a2+b2因此z1=4+3i或

（2）解：若z1=4+3i，則若z1=-4-3i，則綜上，z1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z1z2，再利用純虛數(shù)的判斷方法結(jié)合復(fù)數(shù)的模求解公式和已知條件，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)z1。

（2）利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z精例2精例2已知復(fù)數(shù)z=6-4mi1+i（1）若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)z是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z-2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m【答案】（1）解：z=(6-4m因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以{3-2m=03+2m≠0

（2）解：因?yàn)閦是z的共軛復(fù)數(shù)，所以z=3-2m+(3+2m)所以z-2z=2m-3+(9+6m)因?yàn)閺?fù)數(shù)z-2z{2m-3<09+6m>0，解得-【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解；

（2）化簡(jiǎn)

z-2z精例3精例3若z(2+i)=4-3iA.

2

B.

-2

C.

1

D.

-1【答案】C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】由z(2+i)=4-3i，得z=故答案為：C．

【分析】首先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)原式再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案。77課堂反饋課堂反饋練習(xí)1.若復(fù)數(shù)z=2-i1+i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則向量OZ(O為原點(diǎn))的模A.

2

B.

2

C.

102

D.

練習(xí)2.設(shè)復(fù)數(shù)z=1-i1+i，那么在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限練習(xí)3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+4iiA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限練習(xí)4.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+(5-6i)=3，則z的虛部是（

）A.

-2i

B.

6i

C.

1

D.

6練習(xí)5復(fù)數(shù)Z=1+2iiA.

-2-i

B.

-2+i

C.

2-i

D.

2+i

7參考答案7參考答案

練習(xí)1【答案】C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)求?！窘馕觥俊窘獯稹坑深}意，復(fù)數(shù)z=2-i又由|OZ故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)再由復(fù)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得到向量的坐標(biāo)以及向量模的大小。練習(xí)2【答案】C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】∵z=1-i1+i=因此，復(fù)數(shù)3z-1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限。故答案為：C.

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)3z-1，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)所在的象限，進(jìn)而確定出在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)3z-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限。練習(xí)3【答案】D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得2+4ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(4,-2)位于第四象限。故答案為：D.

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的象限，進(jìn)而判斷出復(fù)數(shù)2+4ii練習(xí)4【答案】D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算【解析】【解答