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文檔簡介
第六章平面向量及其應用平面向量基本定理及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的加、減運算的坐標表示平面向量數乘運算的坐標表示【課程標準】借助直角坐標系,掌握平面向量的正交分解及坐標表示會用坐標表示平面向量的加減及數乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件,會根據平面向量的坐標判斷向量是否共線【知識要點歸納】1.平面向量的坐標表示:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j,取{i,j}作為基底.對于平面內的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x,y,使得a=xi+yj,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標,a=(x,y)叫做向量的坐標表示.2.向量坐標與點的坐標之間的聯系在平面直角坐標系中,以原點O為起點作=a,設=xi+yj,則向量的坐標(x,y)就是終點A的坐標;反過來,終點A的坐標(x,y)也就是向量的坐標.3.圖示4.平面向量的坐標運算設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有:加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法a-b=(x1-x2,y1-y2)重要結論已知點A(x1,y1),B(x2,y2),則eq\o(\s\up12(→),\s\do4())=(x2-x1,y2-y1)數乘5.平面向量共線的坐標表示設其中,向量共線的充要條件是.6.向量的坐標表示重要結論中點向量坐標設,P為AB的中點,則(O為平面內任一點)三角形的重心坐標公式中,設,G為的重心,則(O為平面內任一點)【經典例題】例1.已知O是坐標原點,點A在第一象限,=4,∠xOA=60°,(1)求向量的坐標;(2)若B(3,-1),求的坐標.【解】(1)設點A(x,y),則x=cos60°=4cos60°=2,y=sin60°=4sin60°=,即A(2,),所以=(2,).(2)=(3,-1)-(2,)=(1,-1-).注意:求點和向量坐標的常用方法(1)求一個點的坐標,可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標.(2)求一個向量的坐標時,可以首先求出這個向量的始點坐標和終點坐標,再運用終點坐標減去始點坐標得到該向量的坐標.變式提升(1)已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=()A.(-7,-4) B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,2)(2)已知向量a,b的坐標分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b的坐標.例2.給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為.如圖所示,點在以為圓心的圓弧上運動.若,其中,,求的最大值.【分析】對,兩邊平方并根據已知條件可得到:,所以,因為根據向量加法的平行四邊形法則可知,,,所以,所以,所以得到,所以的最大值是2.【解答】解:由已知條件知:;,根據向量加法的平行四邊形法則,容易判斷出,,,;,,,即的最大值為2.例3(1).在平面直角坐標系中,已知向量,,,,若,則的值A.4 B.3 C. D.0(2).已知,,,若,則的值是.(3).已知向量,,.若向量與向量共線,則實數.答案(1)【分析】由,得,推導出,由此能求出的值.【解答】解:在平面直角坐標系中,向量,,,,,,,.故選:.(2)【分析】由平面向量的坐標表示與共線定理,列方程求出的值.【解答】解:,,,所以,,又,所以,解得.故答案為:2.(3)【分析】根據平面向量的坐標運算和共線定理,列方程求出的值.【解答】解:向量,,.則,又向量與向量共線,所以,解得.故答案為:1.【當堂檢測】一.選擇題(共8小題)1.已知向量,,則向量的坐標為A. B. C. D.2.已知平行四邊形的三個頂點,,的坐標分別是,,,,則向量的坐標是A. B. C. D.3.已知,若,則實數對,為A. B. C. D.無數對4.已知向量,,,則的值是A. B. C. D.5.已知,,則A. B. C. D.6.已知,,,且,則A.3 B.2 C.1 D.7.已知平面內兩個不共線向量,,且,若向量與共線,則A.3或 B.1或 C.或2 D.或68.已知點,,點在線段的延長線上,且,則點的坐標為A. B., C. D.,二.填空題(共2小題)9.設點,,若點在直線上,且滿足,則點的坐標為.10.若向量與共線,則.
當堂檢測答案一.選擇題(共8小題)1.已知向量,,則向量的坐標為A. B. C. D.【分析】根據平面向量的坐標運算,計算即可.【解答】解:,,所以,,.故選:.【點評】本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題,是基礎題目.2.已知平行四邊形的三個頂點,,的坐標分別是,,,,則向量的坐標是A. B. C. D.【分析】利用平行四邊形的性質和向量的相等、向量的三角形法則即可得出.【解答】解:平行四邊形的三個頂點,,的坐標分別是,,,,,,,,,,,.,,,.故選:.【點評】本題考查了平行四邊形的性質和向量的相等、向量的三角形法則,屬于基礎題.3.已知,若,則實數對,為A. B. C. D.無數對【分析】利用向量線性運算法則和向量相等即可得出.【解答】解:,,,,解得.實數對,,.故選:.【點評】熟練掌握向量線性運算法則和向量相等是解題的關鍵.4.已知向量,,,則的值是A. B. C. D.【分析】先根據向量的平行可得,則,代值計算即可.【解答】解:向量,,,,,,故選:.【點評】本題考查了向量的坐標運算和同角的三角函數的關系,屬于基礎題.5.已知,,則A. B. C. D.【分析】根據平面向量的坐標運算法則,計算即可.【解答】解:,,所以,,,.故選:.【點評】本題考查了平面向量的坐標運算應用問題,是基礎題.6.已知,,,且,則A.3 B.2 C.1 D.【分析】根據平面向量的坐標運算和共線定理,列方程求出的值.【解答】解:,,,所以,;又,所以,解得.故選:.【點評】本題考查了平面向量的坐標運算和共線定理的應用問題,是基礎題.7.已知平面內兩個不共線向量,,且,若向量與共線,則A.3或 B.1或 C.或2 D.或6【分析】利用向量共線定理和平面向量基本定理即可得出.【解答】解:向量與共線,實數,使得,,化為.,是同一平面內兩個不共線的向量,,解得,或.故選:.【點評】熟練掌握向量共線定理和平面向量基本定理是解題的關鍵,屬于基礎題.8.已知點,,點在線段的延長線上,且,則點的坐標為A. B., C. D.,【分析】根據題意畫出圖形,結合圖形得出,利用平面向量的坐標運算得出、的值.【解答】解:點,,點在線段的延長線上,且,如圖所示;設點的坐標為,則,;且,即,解得,,所以點為.故選:.【點評】本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題,是基礎題目.二.填空題(共2小題)9.設點,,若點在直線上,且滿足,則點的坐標為或.【分析】根據題意知或,設出點的坐標,利用向量相等列方程組求出即可.【解答】解:點,,所以;設點,由在直線上,且,所以或;又,當時,有,解得,所以點;當時,有,解得,所以點;綜上
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