《相交線與平行線》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

《相交線與平行線》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解【知識網(wǎng)絡(luò)】一股情況相S兩條直線垂錢—鄰補(bǔ)角互補(bǔ)對頂角相等—存在性和唯一性L垂線段漿短一股情況相S兩條直線垂錢—鄰補(bǔ)角互補(bǔ)對頂角相等—存在性和唯一性L垂線段漿短鄰補(bǔ)角對頂角第三條所截兩峯直線被點(diǎn)到直統(tǒng)的距離同位角、內(nèi)錯(cuò)角“同旁內(nèi)角平行線平廿公理及其推論平行踐的判定平行線的性質(zhì)兩條平行線的距離【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、兩條直線的位置關(guān)系同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：相交與平行.要點(diǎn)詮釋：只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相交直線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線平行用符號“〃”表示.對頂角、補(bǔ)角、余角定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線的兩個(gè)角叫做對頂角.如果兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.類似地，如果兩個(gè)角的和是90°，那么這兩個(gè)角互為余角.簡稱互余，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角.性質(zhì)：同角或等角的余角相等.同角或等角的補(bǔ)角相等.對頂角相等.垂線(1)垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.垂直用符號“丄”表示,如下圖.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段最短.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.要點(diǎn)二、平行線的判定與性質(zhì)1平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)(不相交)，那么兩直線平行.如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性)?在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn).如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.兩條平行線間的距離如圖，直線AB〃CD,EF丄AB于E,EF丄CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.要點(diǎn)詮釋：兩條平行線之間的距離處處相等.初中階級學(xué)習(xí)了三種距離，分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離?這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長度，它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長度平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長度，是一個(gè)量，它們之間不能等同.要點(diǎn)三、用尺規(guī)作線段和角用尺規(guī)作線段用尺規(guī)作一條線段等于已知線段.用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的倍數(shù).用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的和.用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的差.用尺規(guī)作角用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角.用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的倍數(shù).用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的和.用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的差.【典型例題】類型一、兩條直線的位置關(guān)系▼1.⑴如圖(1)已知直線AB，CD相交于點(diǎn)0.(2)如圖(2)已知直線AE，BD相交于點(diǎn)C.分別指出兩圖中哪些角是鄰補(bǔ)角？哪些角是對頂角？

【答案與解析】解：(1)鄰補(bǔ)角是ZD0A與ZA0C,ZA0E與ZE0B,ZB0C與ZC0A,ZC0E與ZD0E,ZD0A與ZDOB,ZDOB與ZB0C；對頂角是ZAOD與ZC0B,ZA0C與ZD0B.(2)鄰補(bǔ)角是ZACB與ZACD,ZECD與ZDCA,ZDCE與ZECB,ZECB與ZACB；對頂角是ZACB與ZDCE,ZBCE與ZACD.【總結(jié)升華】當(dāng)需要寫出的角較多時(shí)，寫完后再計(jì)算一下個(gè)數(shù)，可以檢驗(yàn)是否寫全如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0作兩條射線0M、0N,且ZA0M=ZC0N=90°若0C平分ZAOM,求ZA0D的度數(shù).若Z1=2zB0C，求ZA0C和ZM0D.4【答案與解析】解：①ZA0M=ZC0N=90°,0C平分ZA0M,.??Z1=ZA0C=45°,.??ZA0D=180°-ZA0C=180°-45°=135°；②VZA0M=90°,.??ZB0M=180°-90°=90°,VZ1^ZB0C,4.??Z1=gzB0M=30°,.??ZA0C=90°-30°=60°,ZM0D=180°-30°=150°.

【總計(jì)升華】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)角平分線定義和已知求出各個(gè)角的度數(shù).舉一反三：【變式】如圖，已知直線AB和CD相交于0點(diǎn)，ZC0E=90°,OF平分ZA0E,ZC0F=28°,D【答案】解：由角的和差，得ZE0F=ZC0E-C0F=90°-28°=62°由角平分線的性質(zhì)，得ZA0F=ZE0F=62°.由角的和差，得ZA0C=ZA0F-ZC0F=62°-28°=34°.由對頂角相等，得ZB0D=ZA0C=34°.類型二、平行線的性質(zhì)與判定Z1=ZB，Z2=ZD，試說明Z1=ZB，Z2=ZD，試說明BE丄DE.【思路點(diǎn)撥】這是初學(xué)幾何時(shí)較為復(fù)雜的題目，通常是過“拐點(diǎn)”（拐角處的頂點(diǎn)）作平行線為輔助線，把一個(gè)大角分成兩個(gè)角，分別與兩個(gè)已知角建立起了聯(lián)系.【答案與解析】解：過E點(diǎn)作EF〃AB,因?yàn)锳B〃CD（已知），

所以EF〃CD.所以Z4=ZD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又因?yàn)閆D=Z2（已知），所以Z4=Z2（等量代換）.同理，由EF〃AB,Z1=ZB,可得Z3=Z1.因?yàn)閆1+Z2+Z3+Z4=180°（平角定義），所以Z1+Z2=Z3+Z4=90°，即ZBED=90°.故BE丄DE.【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造平行關(guān)系，即過哪一點(diǎn)作哪條直線的平行線，只有通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能逐步達(dá)到熟練解題的目的.舉一反三：【變式1】已知直線AB〃CD，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與CD之間時(shí)，有ZBED=ZABE+ZCDE成立；而當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與CD之外時(shí)，下列關(guān)系式成立的是（）.ZBED=ZABE+ZCDE或ZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZCDE-ZABE或ZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZCDE-ZABE【答案】C（提示：過點(diǎn)E作EF〃AB）【變式2】如圖，兩直線AB、CD平行，則Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6= .【答案】900°【答案】900°0.如圖，已知CD//EF—ABC，求證：AB//GF.【答案與解析】證明：如圖，過點(diǎn)C做CK〃FG，并延長GF、CD交于點(diǎn)H,???ZCHG=Z1（兩直線平行，同位角相等）.又TCK〃FG,???ZCHG+Z2+ZBCK=180°（（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.???Z1+Z2+ZBCK=180°（等量代換）.???Z1+Z2=ZABC（已知）,???ZABC+ZBCK=180°（等量代換）.???CK〃AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.???AB〃GF（平行的傳遞性）.【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見到角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想到判斷直線是否平行，見到直線平行就應(yīng)聯(lián)想到角相等或互補(bǔ).類型三、用尺規(guī)作線段和角5.已知：如圖，AB//CD，BC//DE,ZB=70°,（1） 求ZD的度數(shù).（2） 用尺規(guī)在圖上作一個(gè)Zd,使Za=ZD—ZB（不寫作法，保留痕跡）.CDCD【思路點(diǎn)撥】（1） 根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法即可作出；（2） 根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.【答案與解析】解：（1）TAB//CD,BC//DE,???ZC=ZB=70°,ZD=180°-ZC=180°-70°=110°.（2）作法如圖：【總結(jié)升華】本題考查了基本作圖：作一個(gè)角等于已知角的差，以及平行線的性質(zhì)定理，正確掌握基本作圖是關(guān)鍵.類型四、實(shí)際應(yīng)用6?手工制作課上，老師先將一張長方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角ZEFB=30。，你能說出ZEGF的度數(shù)嗎？【思路點(diǎn)撥】長方形的對邊是平行的，所以AD〃BC,可得ZDEF=ZEFG=30°，又因?yàn)檎酆笾睾喜糠窒嗟?，所以ZGEF=ZDEF=30°，所以ZDEG=2ZDEF=60。，又因?yàn)閮芍本€平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以ZEGC=180°—ZDEG，問題可解.【答案與解析】解：因?yàn)锳D〃BC（已知）,所以ZDEF=ZEFG=30°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.因?yàn)閆GEF=ZDEF=30°（對折后重合部分相等），所以ZDEG=2ZDEF=60°.所以ZEGC=180°—ZDE