清北學堂第37屆全國中學生物理競賽決賽模擬試題1

清北學堂第37屆全國中學生物理競賽復賽模擬試題1180分鐘320分可能用到的數(shù)學公式和物理常數(shù)：1.2.3.4.5.曲線曲率半徑公式：6.R7.g=9.8m/s一．（42分）如圖，光滑水平面上有一個半徑為R的固定圓環(huán)，長度為2l的勻質(zhì)細桿AB開始在水平面上繞著C點旋轉(zhuǎn)，C點靠在桿上，且無初速度。假設細桿而后可無相對滑動地繞著圓環(huán)外側(cè)運動，直到細桿的B端與環(huán)接觸后彼此分離。已知細桿和圓環(huán)間的摩擦因數(shù)處處相同，為μ1.求出，C點運動過程中的曲率半徑，2.試求出按照題意需要的μ的取值范圍

二．（46分）如下圖，考慮一個相對放置的兩個完全相同的線圈，設每個線圈有N匝，線圈的半徑為R，通入的電流為I，線圈外部包裹著直徑為d，質(zhì)量密度為ρ的絕緣層（注：絕緣層直徑并非?R），若認為導線的質(zhì)量可以忽略。我們標記兩個線圈的結(jié)構(gòu)的中心為O，線圈各自的中心為O1,2，設O1O2的方向為x方向，以O為原點建立直角坐標系，那么試計算x=b,b?a處的磁感應強度Bx=b設參數(shù)a可以調(diào)節(jié)，那么當a取到特定的值的時候可以保證原點的附近x方向的磁感應強度最為均勻，試求出a的值，并給出b?a處的磁感應強度Bx=b，精確到接上一問，上述線圈被稱為亥姆霍茲線圈。試計算x=b，距離軸線為?（??a）的點對應的橫向磁感應強度B(b,?,τ)三．（50分）如圖所示，一斜面和橢圓形鋼絲軌道通過光滑的曲線軌道連接，橢圓形鋼絲軌道間距為r，從斜面頂部滾落一半徑也為r的小球，已知橢圓形鋼絲的長軸長度為2a，短軸長度為2b，小球在運動過程中不發(fā)生打滑，通過曲線軌道時重心高度不變，斜面和橢圓的底部直接連接并且已知：a=3b，且斜面和水平面成30求出小球在轉(zhuǎn)折點處曲線軌道所受到的沖量若x?a，求出小球做的往復運動的第一個周期的頻率f提示：小球通過連接處的軌道可能會損失機械能，小球的尺寸很小

四．（40分）二能級系統(tǒng)與負溫度考慮由N個無相互作用的粒子（N很大）構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)中的粒子能量只有兩個可以取的值0，E.能量為0和E的粒子數(shù)目分別是n1,n求系統(tǒng)的熵S（結(jié)果中不能出現(xiàn)n1將系統(tǒng)的溫度表示成U的函數(shù)形式，計算題給參數(shù)滿足什么條件時，T<0負溫度系統(tǒng)與正溫度系統(tǒng)接觸的時候，熱量的流動方向是什么？給出你的解釋五．（40分）Pb原子一個μ?子被鉛核所俘獲208Pb,Z=82，形成鉛μ?子原子，μ?子的質(zhì)量為電子的207倍，電荷和電子的大小一致。設鉛原子核半徑為μ?頭兩個能級的能量大小萊曼線的第一條譜線的波長

六．（60分）菲涅爾透鏡成像機制的研究：傳統(tǒng)的凸透鏡因為其笨重的特性，不易制作和攜帶，本題將探討菲涅爾透鏡成像的機制。菲涅爾透鏡的半徑為R（球冠半徑），加工限制將其環(huán)帶面切成等高的N份(注意，這里指半徑N等分)，每個環(huán)帶面的形狀未知。（1）考慮一個雙棱鏡，頂角為α，折射率為n，求傍軸光線經(jīng)過它的偏向角δ（2）將雙棱鏡上裁剪下來對稱的兩塊直角梯形的部分，如圖作出光軸，并在棱鏡前面u處放置一個高為h的線狀發(fā)光物體（忽略光的波動性質(zhì)），假設物體以速率V接近棱鏡，試求出像上各點的運動速度（3）傳統(tǒng)平凸透鏡側(cè)視圖為一個弓形，假設弓形的高度為h，半徑也為R，折射率為n，密度為μ，試求出其焦距f和質(zhì)量m1（4）求出與之等焦距的菲涅爾透鏡的質(zhì)量m2，并求出m2小于m1的條件（由于工藝限制，對于菲涅爾透鏡而言，最窄處的寬度為??）七．（42分）如圖所示，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2的導體球外，兩個電量為Q的點電荷與球心相聚同為2R2，且三者共線，球殼內(nèi)，兩個電量同為q的點電荷與球心相距同為R1/2，且三者共線。Q-球心-Q試求出點電荷Q受到徑向朝外的力F求出點電荷q受到徑向朝外的力f用外力將圖中的一個點電荷緩緩移動到無窮遠，保持導體球殼和其他三個點電荷仍在原來的位置，試求出外力所要做的功A

清北學堂第37屆全國中學生物理競賽復賽模擬題1答案一．（1）先構(gòu)造體系來計算漸開線的曲率半徑，設想一小球以勻速作漸開線運動（在光滑平面上與繞柱的細線相連，作平動）由于速度大小不變，只是方向改變，所以：T由角動量定理，關于圓柱中心的角動量變化率為：T再由幾何關系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由幾何關系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v則：aaμ≥評分標準：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由畢薩定律可得：B對于線圈1，有：B對于線圈2，同理：B那么合磁場為：B利用小量展開公式：1方括號中的結(jié)果為：2×因此，磁感應強度為：B利用二階系數(shù)為0的條件（四階遠遠小于二階），有：R所以實際上線圈的距離為R，對應求解磁感應強度為：B由磁場的高斯定理：S我們?nèi)∫粋€圓柱形的高斯面，那么有：?解得：B所以比例為：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滾到斜面底部，機械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平線，容易求得質(zhì)心的相對高度：?利用等邊三角形的性質(zhì)，在雙軌上：?由此可知，曲線軌道實際上是一條直線軌道，將碰撞過程進行細致化，細節(jié)圖如下：不打滑意味著存在摩擦力沖量，作用在2上，由于彈力沖量較大，實際上1點是一個虛接觸，考慮對2的角動量守恒：L=解得：ω所以豎直方向的沖量為：I水平方向的沖量為：I容易檢驗，上述沖量的方向遠離斜面（2）橢圓上的運動近似成在曲率圓上的運動，寫出幾何約束：ρ?由角動量定理：3得到周期：T=2π我們已經(jīng)利用了曲率半徑公式：ρ=考慮斜面上的過程，下滾過程的角加速度和時間為：β=t考慮球返回的時候的速度“縮放”關系，利用對1的角動量守恒關系“Lω所以在第一個周期內(nèi)的震動的周期為：Tf=1-4各2分，5-8各3分，說明圓軌道實際是直軌道2分，結(jié)果檢驗2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻爾茲曼熵的性質(zhì)：S（2）有熱力學第二定律和熱力學第一定律：T注意到S實際上是一個U的單元函數(shù)，所以：?U得到：T（3）從負溫度系統(tǒng)流向正溫度系統(tǒng)，考察系統(tǒng)的熵的變化，若從正流向負，則熵減，違反熱力學第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；結(jié)論4分，論證6分（用反證法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么電勢可以積分得到：VV=鉛核的質(zhì)量很大，所以可以忽略鉛核的運動，有玻爾條件：m以及：E對于r>R時，μ子軌道半徑（a0r對于r<Rr總能量為：E分別代入可得：EE代入數(shù)據(jù)：r能量：E波長：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）設出入射光線和出射光線與兩個法線分別的夾角α1,sin小角近似：

sin和幾何關系：β得到偏向角為：δ=（2）對于普通透鏡距離中心y的環(huán)帶面，在傍軸近似下，軸上物體（距光心為u），其發(fā)出指向環(huán)帶面的光線的偏轉(zhuǎn)角為：δ=注意到，透鏡成像公式：1可得:δ=得到了等效的透鏡焦距為:f軸線方向，像也做整體平動，將v用u，f解出：v=像的軸向速度V’為：V對于y上的點，垂直于軸向的速度為：V其中，f=（3）由磨鏡者公式：1利用相交弦定理:2ρ?h得到：ρ=f平凸透鏡的體積為：ρ??質(zhì)量為：m（4）現(xiàn)求解?nh不考慮襯底，菲涅爾透鏡的體積可以寫作：V第一項的計算：V第二項的計算：V求和的計算：n=0襯底的體積：V所以，菲涅透鏡的體積為：V=π·對應的質(zhì)量：m求出對于N的限制：h當a>1-4各2分；5-9各2分，10，11各3分；12，13各2分，14-17各3分；18-26各2分（包括21*）七．（1）根據(jù)電像法，像電荷在距離球心±1Q為了保證電荷守恒，在像電荷的貢獻之外，球心的等效電荷變?yōu)椋篞所以受力為：F（2）內(nèi)部的像電荷位于±2Rq受力為：F=（3）初態(tài)，系統(tǒng)的電勢為：UUU末態(tài)，系統(tǒng)的電勢變?yōu)椋篣UU做功為系統(tǒng)靜電能之差，靜電能為：W代入得到：A=1-5各3分；6，7，9，10各2分，8，11各3分；12式5分，13式6分清北學堂第37屆全國中學生物理競賽決賽模擬題1答案一．（1）先構(gòu)造體系來計算漸開線的曲率半徑，設想一小球以勻速作漸開線運動（在光滑平面上與繞柱的細線相連，作平動）由于速度大小不變，只是方向改變，所以：T由角動量定理，關于圓柱中心的角動量變化率為：T再由幾何關系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由幾何關系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v則：aaμ≥評分標準：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由畢薩定律可得：B對于線圈1，有：B對于線圈2，同理：B那么合磁場為：B利用小量展開公式：1方括號中的結(jié)果為：2×因此，磁感應強度為：B利用二階系數(shù)為0的條件（四階遠遠小于二階），有：R所以實際上線圈的距離為R，對應求解磁感應強度為：B由磁場的高斯定理：S我們?nèi)∫粋€圓柱形的高斯面，那么有：?解得：B所以比例為：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滾到斜面底部，機械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平線，容易求得質(zhì)心的相對高度：?利用等邊三角形的性質(zhì)，在雙軌上：?由此可知，曲線軌道實際上是一條直線軌道，將碰撞過程進行細致化，細節(jié)圖如下：不打滑意味著存在摩擦力沖量，作用在2上，由于彈力沖量較大，實際上1點是一個虛接觸，考慮對2的角動量守恒：L=解得：ω所以豎直方向的沖量為：I水平方向的沖量為：I容易檢驗，上述沖量的方向遠離斜面（2）橢圓上的運動近似成在曲率圓上的運動，寫出幾何約束：ρ?由角動量定理：3得到周期：T=2π我們已經(jīng)利用了曲率半徑公式：ρ=考慮斜面上的過程，下滾過程的角加速度和時間為：β=t考慮球返回的時候的速度“縮放”關系，利用對1的角動量守恒關系“Lω所以在第一個周期內(nèi)的震動的周期為：Tf=1-4各2分，5-8各3分，說明圓軌道實際是直軌道2分，結(jié)果檢驗2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻爾茲曼熵的性質(zhì)：S（2）有熱力學第二定律和熱力學第一定律：T注意到S實際上是一個U的單元函數(shù)，所以：?U得到：T（3）從負溫度系統(tǒng)流向正溫度系統(tǒng)，考察系統(tǒng)的熵的變化，若從正流向負，則熵減，違反熱力學第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；結(jié)論4分，論證6分（用反證法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么電勢可以積分得到：VV=鉛核的質(zhì)量很大，所以可以忽略鉛核的運動，有玻爾條件：m以及：E對于r>R時，μ子軌道半徑（a0r對于r<Rr總能量為：E分別代入可得：EE代入數(shù)據(jù)：r能量：E波長：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）設出入射光線和出射光線與兩個法線分別的夾角α1,sin小角近似：

sin和幾何關系：β得到偏向角為：δ=（2）對于普通透鏡距離中心y的環(huán)帶面，在傍軸近似下，軸上物體（距光心為u），其發(fā)出指向環(huán)帶面的光線的偏轉(zhuǎn)角為：δ=注意到，透鏡成像公式：1可得:δ=得到了等效的透鏡焦距為:f軸線方向，像也做整體平動，將v用u，f解出：v=像的軸向速度V’為：V對于y上的點，垂直于軸向的速度為：V其中，f=（3）由磨鏡者公式：1利用相交弦定理:2ρ?h得到：ρ=f平凸透鏡的體積為：ρ??質(zhì)量為：m（4）現(xiàn)求解?nh不考慮襯底，菲涅爾透鏡的體積可以寫作：V第一項的計算：V第二項的計算：V求和的計算：n=0襯底的體積：V所以，菲涅透鏡的體積為：V=π