第二章流體靜力學(xué)(修訂)

第二章流體靜力學(xué)

FluidStatics閆小麗流體靜力學(xué)流體平衡的基本規(guī)律靜止或平衡狀態(tài)：流體相對于地球沒有運(yùn)動相對靜止或相對平衡：流體相對于運(yùn)動容器沒有運(yùn)動研究流體平衡的條件及壓強(qiáng)分布規(guī)律研究流體與固體間的相互作用及其工程應(yīng)用絕對靜止（靜止）相對于慣性坐標(biāo)系沒有運(yùn)動相對靜止或相對平衡相對于非慣性坐標(biāo)系沒有運(yùn)動慣性參照系：相對于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動的參照系非慣性參照系：相對地球作變速運(yùn)動的參照系在筆直渠道中作勻速直線流動的河水？等角速度旋轉(zhuǎn)的容器中的液體？絕對靜止與相對靜止的共性：流體質(zhì)點(diǎn)沒有相對運(yùn)動，粘性作用表現(xiàn)不出來。學(xué)習(xí)內(nèi)容平衡流體上的作用力流體平衡的微分方程式重力場中的平衡流體靜壓強(qiáng)的計算與測量平衡流體對壁面的作用力液體的相對平衡第一節(jié)平衡流體上的作用力按其性質(zhì)（作用方式）的不同，分為：質(zhì)量力

作用在每一個流體質(zhì)點(diǎn)上，大小與流體微團(tuán)質(zhì)量有關(guān)且集中作用在微團(tuán)質(zhì)量中心上的力表面力

大小與表面積有關(guān)而且分布作用在流體表面上的力力的矢量和單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力在x、y、z軸上的投影，單位質(zhì)量分力質(zhì)量力重力慣性力一、質(zhì)量力(矢量)xΔWΔFIΔFRΔFmOzy如果微團(tuán)極限縮為一點(diǎn)，有限量→微分符號二、表面力流體微團(tuán)在流體內(nèi)部不是孤立存在的相鄰微團(tuán)在相互之間的接觸表面上有相互作用力表面力沿表面內(nèi)法線方向——壓力沿表面切向——摩擦力表面力——作用在接觸面（流體和壁面）或者流層和流層之間的力法向分力內(nèi)法線切向分力內(nèi)摩擦力平衡流體不存在切向摩擦力。只有沿受壓面內(nèi)法線的力，流體靜壓力。相鄰微團(tuán)在相互之間的接觸表面上的相互作用應(yīng)力流體靜壓強(qiáng)和流體靜壓力的區(qū)別流體靜壓力流體作用在受壓面上的總作用力，矢量，N，用F表示，大小和方向均與受壓面有關(guān)；在流體微團(tuán)上取微元面積ΔA，設(shè)作用在ΔA表面上的總壓力為ΔF，受壓面上的平均壓強(qiáng)一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)流體靜壓強(qiáng)則是一點(diǎn)上的流體靜壓力的強(qiáng)度，p，Pa。標(biāo)量。表面力在靜止流體中取一微小四面體，三個正交面與坐標(biāo)面方向一致，棱長分別為Δx，Δy，Δz質(zhì)量力相比第一項高階無窮小靜止流體受力平衡特性一：流體靜壓強(qiáng)的方向沿作用面的內(nèi)法線方向流體靜壓強(qiáng)的特性

特性二：靜止流體中任一點(diǎn)流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面在空間的方位無關(guān)，是點(diǎn)的坐標(biāo)的連續(xù)可微函數(shù)第二節(jié)流體平衡的微分方程式第二節(jié)流體平衡的微分方程式P的分布與大??？平衡流體質(zhì)量力fx,fy,fz表面力壓應(yīng)力切應(yīng)力不存在=0關(guān)系?基本思路平衡流體（絕對或相對）不存在粘性剪切力，當(dāng)然也不存在拉力，只有壓力。所有作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的力必須平衡，流體質(zhì)點(diǎn)才能保持平衡。取一個流體質(zhì)點(diǎn)分析，建立力平衡方程，由此得到質(zhì)量力和表面力在平衡下的關(guān)系以及流體壓強(qiáng)分布以y方向?yàn)槔砻媪|(zhì)量力流體平衡平衡流體的質(zhì)量力與表面力在任何方向上都保持平衡；質(zhì)量力與該方向上的表面力的合力大小相等，方向相反。平衡流體受哪個方向的質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)沿該方向必然發(fā)生變化；假如忽略流體的質(zhì)量力，則流體靜壓強(qiáng)必然處處相等。全微分dp歐拉平衡方程式的綜合形式壓強(qiáng)差公式二、質(zhì)量力的勢函數(shù)壓強(qiáng)的全微分積分后為一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由坐標(biāo)唯一確定坐標(biāo)函數(shù)坐標(biāo)函數(shù)的全微分假設(shè)某一坐標(biāo)函數(shù)W=W（x，y，z）W對某一個坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值等于該坐標(biāo)方向上的質(zhì)量分力滿足上式的坐標(biāo)函數(shù)W為質(zhì)量力的勢函數(shù)只有有勢的質(zhì)量力作用下，流體中任何一點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)可以由坐標(biāo)唯一確定，這樣流體才能平衡。有勢的質(zhì)量力如果作用在物體上的力所做之功僅與力作用點(diǎn)的起始位置和終了位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)經(jīng)過的路徑無關(guān)，這種力稱為有勢力或保守力。重力和慣性力都是有勢力。

只有有勢的質(zhì)量力作用下流體才能平衡如果單位質(zhì)量力與時間變量有關(guān)，則找不到純坐標(biāo)變量的質(zhì)量力的勢函數(shù)，壓強(qiáng)不能由坐標(biāo)唯一確定，流體不能保持平衡。如果作用在物體上的力所做之功僅與力作用點(diǎn)的起始位置和終了位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)經(jīng)過的路徑無關(guān)，這種力稱為有勢力或保守力。xyzmgz

例題：求重力場中平衡流體的質(zhì)量力勢函數(shù)，并說明其物理意義。單位質(zhì)量流體在基準(zhǔn)面以上高度為z時所具有的位置勢能。三、等壓面流體中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的平面或曲面叫做等壓面。等壓面的微分方程等壓面的性質(zhì)：等壓面也是等勢面dP=0dW=0W=C兩矢量點(diǎn)積為零兩矢量相互垂直dx,dy,dz為等壓面上任意微元線段ds的投影等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直兩種不相混合的平衡液體的交界面一定是等壓面。aaABam兩種不相混合的平衡液體的交界面一定是等壓面。成立a-a面必須是等壓面、等勢面A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差常見的等壓面自由液面平衡流體中互不混合的兩種流體的交界面只有重力作用下的等壓面靜止、連通且連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體質(zhì)量力僅有重力同一水平面即為等壓面MMNN▽MMNN▽MM▽▽第三節(jié)重力場中的平衡流體xyzmgz重力場中的歐拉平衡方程式一、不可壓縮流體的靜壓強(qiáng)基本公式重力場連續(xù)均質(zhì)不可壓縮流體任一點(diǎn)的鉛直坐標(biāo)任一點(diǎn)壓強(qiáng)1.靜壓強(qiáng)基本公式的物理意義由于A點(diǎn)具有一定壓強(qiáng)，測壓管中液體上升hp，對于A、B兩點(diǎn)列靜壓強(qiáng)公式：p0P=0抽真空z0hzhpAB流體的單位重力閉口測壓管液位上升高度為該點(diǎn)靜壓強(qiáng)與單位體積的流體所受重力之比，一定的流體靜壓強(qiáng)代表使液柱上升一定高度的勢能z——單位重力流體的位置水頭，位置勢能——單位重力流體的壓強(qiáng)水頭，壓強(qiáng)勢能2.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律利用參考面（自由液面）上的邊界條件：p0z0hzhp參考面上的壓強(qiáng)等值地傳到液體內(nèi)部該點(diǎn)到參考面的單位截面上的液柱重量若液面與大氣相通時，，靜壓強(qiáng)的基本公式式寫為：又如在同一連通的靜止液體中，已知某點(diǎn)的壓強(qiáng)，則可推求任一點(diǎn)的壓強(qiáng)值，即兩點(diǎn)深度差。為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)在重力作用下液體中任意一點(diǎn)的壓強(qiáng)都與液面上的壓強(qiáng)有關(guān)，兩者的差值與淹沒深度h成正比。液面上的壓強(qiáng)變化會等值地傳遞到液體中的任意一點(diǎn)（帕斯卡靜壓強(qiáng)傳遞原理）壓強(qiáng)的表示法

用應(yīng)力單位表示從壓強(qiáng)的定義出發(fā)，用單位面積上的力來表示。如用大氣壓的倍數(shù)表示國際上規(guī)定一個標(biāo)淮大氣壓（溫度為0℃，緯度為45°時海平面上的壓強(qiáng)）工程界中，常用工程大氣壓來表示壓強(qiáng)，一個工程大氣壓（相當(dāng)于海拔200m處的正常大氣壓）用液柱高度表示常用水柱高度或汞柱高度表示，其單位為mH2O、mmH2O或mmHg。3.靜壓強(qiáng)分布圖的繪制根據(jù)基本方程式繪制靜水壓強(qiáng)垂直于作用面且為壓應(yīng)力按照一定比例尺，用一定長度線段代表靜水壓強(qiáng)的大小。用箭頭標(biāo)出靜水壓強(qiáng)的方向h1h2h受壓面為平面的情況下，壓強(qiáng)分布圖的外包線為直線；受壓面為曲面時，曲面的長度與水深不成直線函數(shù)關(guān)系，外包線為曲線。重力場不可壓縮流體密度ρ=c二、可壓縮流體靜壓強(qiáng)分布公式密度變化的函數(shù)關(guān)系式國際標(biāo)準(zhǔn)大氣的溫度分布Z≤11000m對流層Z>11000m同溫層1、對流層Z=0P=Pa二、同溫層同溫層中溫度是常數(shù)Z=z1P=P1第四節(jié)靜壓強(qiáng)的計算與測量靜壓強(qiáng)的計算標(biāo)準(zhǔn)靜壓強(qiáng)的計量單位靜壓強(qiáng)的測量絕對壓強(qiáng)：以完全真空為基準(zhǔn)計量的壓強(qiáng)計示壓強(qiáng)：相對壓強(qiáng)，以當(dāng)?shù)卮蟮貕簭?qiáng)為基準(zhǔn)計量的壓強(qiáng)一、靜壓強(qiáng)的計算標(biāo)準(zhǔn)和單位二、靜壓強(qiáng)的測量Z1Z2PaPa

h1h2如果容器為開口測壓管液面如何？H和P有關(guān)——壓強(qiáng)測量轉(zhuǎn)換成液柱高度測量二、靜壓強(qiáng)的測量測壓管——利用液柱高度表達(dá)壓強(qiáng)的測量裝置，結(jié)構(gòu)最簡單。為了減小毛細(xì)現(xiàn)象的影響，玻璃管直徑一般不小于10cm。分被測壓強(qiáng)高于和低于大氣壓強(qiáng)兩種情況：U形管測壓計——利用液柱高度表達(dá)壓強(qiáng)的測量裝置，壓強(qiáng)量程比測壓管大得多。工作液體一般采用水或水銀。當(dāng)工作液體密度遠(yuǎn)大于被測流體密度時差壓計——測量兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差傾斜式微壓計工作液體一般采用蒸餾水或酒精金屬測壓計與真空計當(dāng)需要測量較大的壓力時金屬壓力表or真空計指針彈簧管利用彈簧元件在被測壓強(qiáng)作用下產(chǎn)生彈性變形帶動指針指示壓力測正壓為壓力表測負(fù)壓為真空表均為相對壓強(qiáng)例題：如圖所示，一倒置的U形管，其工作液體為油，密度為917kg/m3，下部為水，h=10cm，a=10cm，求兩容器中的壓強(qiáng)差。P例題：一壓強(qiáng)測試裝置，活塞直徑為35mm，重15N，油的密度為920kg/m3，水銀密度為13600kg/m3，若不計活塞的摩擦和泄漏，試計算活塞底面積和U形管中水銀液面的高度差h=0.7m時，U形管中兩水銀液面的高度差。活塞重量使其底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)：列等壓面方程：例題：如圖所示，已知h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000kg/m3，ρ2=800kg/m3，ρ3=13598kg/m3，求AB兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。例題：如圖所示，兩圓筒用管子相連。第一個圓筒直徑為45cm，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計示壓強(qiáng)為9810Pa；第二個圓筒直徑為30cm，活塞上受力F2=4945.5N，上部通大氣。若不計活塞質(zhì)量，求平衡時兩活塞的高度差h。a-a面為等壓面在F1、F2作用下，活塞底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為：例題：如圖所示，h=2m時，求封閉容器A中的真空壓強(qiáng)。練習(xí)題作業(yè)P1032-2、2-5、2-6、2-17、2-25第五節(jié)平衡流體對壁面的作用力平衡流體對物體表面總壓力圖解法、解析法大小、方向和作用點(diǎn)設(shè)計橋墩、水壩、閘門以及潛艇的殼體、壓力容器等必不可少一、作用在平面上的總壓力圖解法該方法用于計算作用在矩形平面上所受的液體總壓力最為方便。工程上常常遇到的是矩形平面問題，所以此方法被普遍采用。

作用于平面上靜水總壓力的大小，應(yīng)等于分布在平面上各點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的總和。作用在單位寬度上的靜水總壓力，應(yīng)等于靜水壓分布圖的面積；整個矩形平面的靜水總壓力，則等于平面的寬度乘壓強(qiáng)分布圖的面積。矩形平面有縱向?qū)ΨQ軸，壓力中心的作用點(diǎn)D必位于縱向?qū)ΨQ軸O-O上當(dāng)壓強(qiáng)分布為三角形時，當(dāng)壓強(qiáng)為梯形分布時，

注意：e是壓力中心距離底部的距離例題1：一矩形閘門鉛直放置，如圖所示，閘門頂水深，閘門高，寬，試用解析法和圖解法求靜水總壓力P的大小及作用點(diǎn)。一、作用在平面上的總壓力（解析法）平面ab與液面傾斜成α角C點(diǎn)為平面的形心各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)垂直于平面構(gòu)成一個平行力系液體作用在平面上的總壓力就是平行力系的合力取微元面積dAVF壓力體液重總壓力的大小和方向面積A對ox軸的靜面矩作用于受壓面上的靜水總壓力等于形心點(diǎn)的壓強(qiáng)與受壓面面積的乘積，其方向必然垂直指向受壓面。液體作用在平面上的總壓力等于一假想體積的液重該體積是以平面形心的淹深為高、平面面積為底的柱體總壓力的作用線和平面的交點(diǎn)壓力中心D合力矩定理總壓力對ox軸的矩等于各微元總壓力對ox軸的力矩代數(shù)和。總壓力受壓面積A對ox軸的慣性矩yD=?總壓力的作用點(diǎn)Im——平面面積A對OX軸的慣性矩假設(shè)IC——面積A對于通過其形心且與OX軸平行的CC軸的慣性矩C-C軸慣性矩平行換軸公式偏距例題1：一矩形閘門鉛直放置，如圖所示，閘門頂水深，閘門高，寬，試用解析法和圖解法求靜水總壓力P的大小及作用點(diǎn)。解：（1）解析法靜水總壓力：壓力中心：

且壓力中心D在矩形的對稱軸上。例題：如圖所示，一矩形閘門寬度為b，兩側(cè)均受到密度為ρ的液體的作用，兩側(cè)液體深度分別為h1和h2，試求作用在閘門上的液體總壓力和壓力中心解：對于閘門左側(cè)兩側(cè)壓力的合力為F：合力F的方向向右對O點(diǎn)取矩：例題2：如圖所示，為置于桌面上的各種不同形狀的容器。各容器的底面積均相同，并等于A。容器中均盛有同—密度的液體，水深均為h。試分析各容器底上所受靜水總壓力的大小。各容器底面形心點(diǎn)上的水深相同，等于h作用在底面積相同的各容器底上的總壓力相同例題3在水箱底部α=60°的斜平面上，裝有一個直徑為0.5m的圓形泄水閥，閥的轉(zhuǎn)動軸通過其中心C且垂直于紙面，為了使水箱內(nèi)的水不經(jīng)閥門外泄，試問在閥的轉(zhuǎn)動軸上需施加多大的鎖緊力矩？OODhcFM設(shè)閥中心C點(diǎn)的水深為hc，壓力中心D到閥心C的偏距ε。設(shè)施加在轉(zhuǎn)動軸上的力矩為M，由力矩平衡得：作業(yè)P1142-28、2-29、2-30、2-31二、液體作用在曲面上的總壓力計算平面上液體總壓力大小時，把各部分面積上所受壓力直接求其代數(shù)和，這相當(dāng)于求一平行力系的合力。對于曲面，作用于曲面上各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)都是沿曲面上各點(diǎn)的內(nèi)法線方向。曲面上各部分面積上所受壓力的大小和方向均各不相同，故不能用求代數(shù)和的方法把它變成一個求平行力系的合力問題先分別計算作用在曲面上總壓力的水平分力和垂直分力，最后合成總壓力P。二、液體作用在曲面上的總壓力靜止液體內(nèi)有一承受液體壓強(qiáng)的二維曲面ab;坐標(biāo)系的Z軸垂直向下在曲曲上任取一微小曲面并視為平面，其面積為dA,作用其上的靜水總壓力為

dFp垂直于平面dA與水平面的夾角為α

總壓力X軸分力Z軸分力投影面積Ax對x軸的面積矩Ax面形心點(diǎn)的淹沒深度曲面ab和自由液面或其延長面所包容的體積，稱為壓力體。垂直分力作用于曲面上靜水總壓力的水平分力等于鉛直投影面的形心點(diǎn)壓強(qiáng)與該面積的乘積。該體積水所受重力θ總壓力的大小和作用點(diǎn)兩個分力合成，即得到液體作用在曲面上的總壓力壓力體壓力體僅僅是一個數(shù)學(xué)積分，體積內(nèi)可以含有液體，也可以不含有液體組成曲面本身液面或液面的延伸面通過曲面的四周邊緣的鉛直平面壓力體與液體在同一側(cè)，實(shí)壓力體，方向向下壓力體與液體各在一側(cè)，虛壓力體，方向向上繪制圖中曲面的壓力體繪制圖中曲面的壓力體+=+=例題：求水下圓球體表面的壓強(qiáng)合力液體作用在浮體和潛體上的總壓力部分沉浸在液體中的物體稱為浮體全部沉浸在液體中的物體稱為潛體沉入液體底部固體表面上的物體稱為沉體阿基米德定律物體在靜止流體中所受到的靜水總壓力，僅有鉛錘向上的分力，其大小恰等于物體（潛體、浮體）所排開的液體重量。負(fù)值說明方向向上液體作用在潛體上的總作用力方向向上例題：汽油機(jī)化油器的浮子室，利用浮子球體的升降來調(diào)解油面的高度。利用浮子球體淹沒一半的條件設(shè)計球體直徑d1。已知a=50mm，b=15mm，d2=5mm，浮子質(zhì)量m1=0.02kg，針閥質(zhì)量m2=0.01kg，汽油密度為699.5kg/m3，針閥上汽油的計示壓強(qiáng)為3.92×104Pa，杠桿的質(zhì)量可忽略不計，試求浮子的設(shè)計直徑為多少？FpV1接噴油量孔接進(jìn)油回路FpV2m1gm2g第七節(jié)液體的相對平衡流體質(zhì)點(diǎn)相對非慣性坐標(biāo)沒有相對運(yùn)動灑水車、奶罐車、攪拌器等若把運(yùn)動坐標(biāo)取在機(jī)器或機(jī)件上相對平衡一、容器作勻加速直線運(yùn)動αβyZOga慣性力重力坐標(biāo)原點(diǎn)取在液面不發(fā)生變化的O點(diǎn)αβyZOga1.等壓面等壓面的斜率等壓面是與水平面成傾角β的一族平行平面2.靜壓強(qiáng)分布規(guī)律自由液面αβyZOga特例一

容器沿水平基面作勻加速運(yùn)動y？運(yùn)動方向βzmm′h′H′Hagy對m(b/2，-h)H對m′(-b/2，-h′)H′H與H′代表任何一點(diǎn)在傾斜自由液面下的鉛直淹沒深度運(yùn)動方向βzmm′h′H′Hagbh特例2容器沿鉛直方向向下作勻加速運(yùn)動ayOz當(dāng)容器向下加速運(yùn)動時液體失重失重系數(shù)gayOz當(dāng)容器向上加速運(yùn)動時液體超重超重系數(shù)g例題：汽車上裝有內(nèi)充液體的U形管，U型管水平方向的長度L=0.5m，汽車在水平路面上沿直線等加速行駛，加速度為0.5m/s2，試求U型管兩支管中液面的高度差。解：當(dāng)汽車在水平路面上作等加速直線運(yùn)動時，U型管兩支管的液面在同一斜面上，設(shè)該斜面與水平方向的夾角為α，則aga例題

邊長為1m的頂部敞開立方水箱中盛水深度為0.75m，容器有水平向右、鉛直向上的兩部分勻加速運(yùn)動（ax及az），其大小相等，而使水達(dá)到即將外溢的極限狀態(tài)。試求加速度的大小及容器底角上A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)。bhABaxaz解：當(dāng)液面發(fā)生傾斜后，要求高液位是b，低液位設(shè)為b-c，前后液體的體積守恒。液面傾斜角為θ，則超重系數(shù)kbhABaxazcθθaz+gax例題

正方形底邊長為0.2m、自重為40N的容器裝水高度0.15m，容器在重物250N的牽引下沿水平方向勻加速運(yùn)動，設(shè)容器底與桌面間的固體摩擦系數(shù)f=0.3，滑輪摩擦忽略不計，為使水不外溢試求容器應(yīng)有的高度H。QhHb設(shè)加速度為a，為使水不外溢QhHbθθ取水平運(yùn)動體為分離體，繩索張力為T取重物與繩索為分離體，繩索張力為T二、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡當(dāng)ω穩(wěn)定，