變化率與導數 課件

變化率與導數導數的概念

在許多實際問題中，需要從數量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，所有這些在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即導數。

Newton1642—1727

英國物理學家和數學家．他在物理學上最主要的成就是發(fā)現了萬有引力定律.數學上，他與德國萊布尼茲創(chuàng)建了“微積分學”費爾馬阿基米德

Archimedes

前287—前212

古希臘數學家和物理學家．在數學上，他利用窮竭法解決了許多復雜的曲線或曲面圍成的平面圖形或立方體的求積問題．牛頓PierredeFermat1601—1665

法國數學家．律師．業(yè)余研究數學．解析幾何的創(chuàng)始人．有著名的“費爾馬大定理”．1638年發(fā)現求極值的方法，是微積分學的先驅．引例：汽車早上9:00從距離A地10公里的B地出發(fā)，11:00到達距A地130公里的C地，求汽車的平均速度ABC定義：設函數y=f(x)在點x0處及其附近有定義，當自變量x在點x0處有改變量Dx時，函數y相應的增量

Dy=f(x0+Dx)－f(x0)平均變化率瞬時速度

一小球做自由落體運動，考察小球在研究其運動方程為秒時的.引例…[1.5,2]

[1.99,2][1.9999,2]0.50.01

0.0001

…17.15019.55119.6002019.6[2,2.001]0.00119.605[2,2.01]0.0119.64922.0500.5[2,2.5]其變化情況見下表：定義：如果當Dx0

時，的極限存在這個極限就叫做函數f(x)在點x0處的導數（或瞬時變化率）作即導數的定義其它形式:什么叫做極限呢？男孩喜歡上了女孩，他向她表白，女孩拒絕了，她說：我整整比你大一歲。男孩說：我1個月時，你13個月。你是我的13倍。我2個月時，你14個月。你是我的7倍。我一歲時，你兩歲，你是我的兩倍。只要你愿意和我永遠在一起，我們總在慢慢無限接近……如果存在，處導數為無窮大在處不可導則稱可導與不可導如果不存在，在處可導則稱如果則稱在求函數y=f(x)的導數可分為以下三個步驟：

(1)求函數的增量:(2)算比值,(3)取極限，得y=f(x)導數例1:已知y=x2，求(1)函數在區(qū)間的平均變化率(2)函數在x=2處的導數；課堂練習

導數與導函數的區(qū)別與聯系區(qū)別：

是一常數。

是一函數。

聯系：

注：通常，導函數也簡稱為導數．

曲線的切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.

當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.

設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

應用:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數平均變化率的極限.例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:(1)利用切線斜率的定義求出切線的斜率.(2)利用點斜式求切線方程.1、函數f(x)在點x0處有導數，則在該點處函數f(x)的曲線必有切線，且導數值是該切線的斜率；2、函數f(x)的曲線在點x0處有切線，而函數f(x)在該點處不一定可導。如函數在x=0處有切線，但不可導。注意練習鞏固1、已知曲線y=x2上一點A（1，1），則點A處的切線的斜率為

。2、過曲線y=x2上一點P的切線的傾斜角為45°，則P點的坐標為

.導數的幾何意義

函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是

.故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:在點P附近,曲線可以用過點P的切線近似代替以直代曲的思想例:在三米板跳水中某一運動員距離水面的高度隨時間變化的函數為h(t)=-t2+2t+3,試求該函數在(1)t=0,(2)t=1,(3)t=2時的導數結合圖象,描述,比較曲線在上述三種情況附近的變化情況30143th歸納:1、f’(x0)>0,f(x)