美術(shù)大賽評(píng)選制度數(shù)學(xué)建模獲獎(jiǎng)

9/48第十二屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2０14年題目AB√（在所選題目上打勾）編號(hào)1996參賽隊(duì)員1參賽隊(duì)員2參賽隊(duì)員3姓名學(xué)號(hào)院(系）專業(yè)手機(jī)Email浙江大學(xué)本科生院教學(xué)研究處浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地B題美術(shù)大賽評(píng)選制度摘要美術(shù)大賽評(píng)選制度問(wèn)題是一個(gè)普遍而又重要的實(shí)際問(wèn)題。美術(shù)作品的評(píng)價(jià)帶有一定的主觀性，所以一個(gè)公平合理的評(píng)選制度尤為重要，但是在保證公平合理性的同時(shí)還要考慮時(shí)間和經(jīng)濟(jì)上的可行性。本文正是以２０12、2０13年初評(píng)專家的評(píng)分結(jié)果為研究對(duì)象,通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)對(duì)現(xiàn)有評(píng)選制度進(jìn)行評(píng)估和完善。對(duì)問(wèn)題一：要得到入選會(huì)評(píng)的合理名單,只要得到參賽作品的合理排名就行。我們認(rèn)為如果每個(gè)初評(píng)專家都以同樣的標(biāo)準(zhǔn)為每個(gè)作品打分，即每位專家給同等優(yōu)秀的作品的打分相同,那么最后得到的排名就是合理的。在這里，我們給出了衡量專家評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的兩個(gè)重要概念-—“標(biāo)度”和“剛度”.“標(biāo)度”代表專家對(duì)于已知其水平的作品所打的分?jǐn)?shù)?！皠偠取贝韺＜覍?duì)于已知水平差距的作品所打分?jǐn)?shù)的差距.現(xiàn)在各個(gè)專家已經(jīng)給作品打了分，但是專家們?cè)u(píng)分的標(biāo)度和剛度各不相同，我們通過(guò)“校正迭代”的方法把各位專家評(píng)分的標(biāo)度和剛度校正至同一水平來(lái)獲得各個(gè)作品的合理得分表.最后用合理得分表來(lái)計(jì)算作品的合理排名,從而得到入選會(huì)評(píng)的合理名單.校正迭代的思路是:用專家給所評(píng)作品的分?jǐn)?shù)均值來(lái)表示對(duì)應(yīng)專家的標(biāo)度，用專家給所評(píng)作品的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示對(duì)應(yīng)專家的剛度。在每輪迭代中，用上一輪校正后所得的評(píng)分表來(lái)計(jì)算各專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度，校正各專家評(píng)分的標(biāo)度和剛度到此兩值，得到此輪校正后的評(píng)分表.我們編出校正迭代程序，用2012年和2013年的數(shù)據(jù)讓程序運(yùn)行,隨著迭代次數(shù)的增加，評(píng)分表上分?jǐn)?shù)均趨于穩(wěn)定。對(duì)問(wèn)題二：首先闡述兩階段評(píng)選的基本框架既能保證一定的公平性，又在時(shí)間因素和經(jīng)濟(jì)因素上具有可行性，但是在初評(píng)階段中每個(gè)作品均由3位專家評(píng)分，受專家評(píng)分的標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素影響較大，有失公平。其中“個(gè)人偶然因素”包括專家的情緒波動(dòng)、對(duì)某一作品的偏見(jiàn)等,體現(xiàn)在問(wèn)題一校正完畢得到的評(píng)分表中專家對(duì)作品評(píng)分和作品得分之差的絕對(duì)值中,假定對(duì)于特定專家，這些絕對(duì)值呈正態(tài)分布,則可用此分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ表示該專家的個(gè)人偶然因素。我們通過(guò)查閱大量的比賽評(píng)選制度,發(fā)現(xiàn)幾乎都是使用求作品各評(píng)委評(píng)分的算術(shù)平均作為最后得分（有些會(huì)先去除最高分和最低分）。假設(shè)現(xiàn)行的初評(píng)處理是求算術(shù)平均.我們通過(guò)對(duì)比此方法得到的入選會(huì)選名單和第一問(wèn)所得名單的區(qū)別來(lái)說(shuō)明其不合理性。在新的評(píng)選制度中,我們對(duì)初評(píng)階段做了部分修改：選出一部分特別需要第四位專家進(jìn)行評(píng)分的作品，讓第四位專家評(píng)分。特別需要的作品需要同時(shí)滿足這兩個(gè)條件:一是在入選會(huì)評(píng)臨界排名附近上下5％；二是校正后三位專家的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差大于平均水平。對(duì)問(wèn)題三:如果某一初評(píng)專家在評(píng)分時(shí)的個(gè)人偶然因素很大，就影響入選會(huì)評(píng)的名單,從而影響競(jìng)賽最終結(jié)果。我們編寫(xiě)程序，模擬一位個(gè)人偶然因素極大的專家參與初評(píng)的情形，即讓計(jì)算機(jī)隨機(jī)抽取一位專家,將該專家對(duì)作品的打分全部用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)代替，按照第一問(wèn)的處理方法得到入選會(huì)選名單,比較此名單和第一問(wèn)所得到的入選名單,二者的差別即該初評(píng)專家對(duì)競(jìng)賽產(chǎn)生的影響。由于每個(gè)專家評(píng)的作品有多個(gè)，而且每個(gè)作品都有三位專家進(jìn)行評(píng)分,這為評(píng)價(jià)專家提供了一定的信息。具體可從標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素三個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)專家.我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)得到合理的評(píng)分表，從而可計(jì)算出各位專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度，與各位專家實(shí)際所持的標(biāo)度和剛度進(jìn)行比較，得到對(duì)各位專家標(biāo)度和剛度的評(píng)價(jià)。各位專家的個(gè)人偶然因素可第二問(wèn)中所求得的σ表示。關(guān)鍵詞：剛度、標(biāo)度、校正迭代、正態(tài)分布、偶然誤差、合理化一、問(wèn)題重述美術(shù)新星大賽是一項(xiàng)面向中學(xué)生的美術(shù)賽事,每年有來(lái)自各地的數(shù)百件作品參賽，從中將評(píng)出特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)若干，各獎(jiǎng)項(xiàng)的獲獎(jiǎng)比例約為5%、5%、５％、10%、20％，獲特等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)的作品還將獲得參加國(guó)際賽事的資格。作品評(píng)選按慣例分為初評(píng)和會(huì)評(píng)兩個(gè)階段.在初評(píng)階段，組委會(huì)選擇若干專家組成初評(píng)委員會(huì)。將每件作品分送其中的三位專家，每位專家以百分制獨(dú)立打分。組委會(huì)匯總專家評(píng)分后篩選出一定份數(shù)作品進(jìn)入會(huì)評(píng).會(huì)評(píng)專家由各領(lǐng)域權(quán)威人士組成,以集中討論、逐件評(píng)議的形式進(jìn)行。最終獲獎(jiǎng)名單在會(huì)評(píng)結(jié)束后確定.美術(shù)作品的評(píng)價(jià)有其客觀標(biāo)準(zhǔn)，但也存在一定的主觀性.為使競(jìng)賽能持續(xù)、健康發(fā)展，一個(gè)公平、合理的評(píng)選機(jī)制非常重要，同時(shí)組委會(huì)也需要考慮評(píng)選過(guò)程的時(shí)間因素和經(jīng)濟(jì)因素?，F(xiàn)請(qǐng)你應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，通過(guò)定量分析,協(xié)助組委會(huì)對(duì)現(xiàn)有評(píng)選制度進(jìn)行評(píng)估和完善。附件是組委會(huì)從十余次比賽中選出的近兩年初評(píng)專家的評(píng)分結(jié)果，可供參考。1．試給出一種方案，對(duì)給定的參加會(huì)評(píng)作品數(shù)量和類(lèi)型，可根據(jù)初評(píng)評(píng)分結(jié)果選出參加會(huì)評(píng)的作品名單。２．對(duì)現(xiàn)有評(píng)選制度進(jìn)行評(píng)估。若有必要，在保留兩階段評(píng)選基本框架的前提下,設(shè)計(jì)新的評(píng)選制度，并撰寫(xiě)一份給初評(píng)專家的評(píng)分指南（不超過(guò)半頁(yè))。３。分析初評(píng)專家評(píng)分對(duì)競(jìng)賽最終結(jié)果的影響.探討根據(jù)初評(píng)專家的評(píng)分對(duì)專家進(jìn)行評(píng)價(jià)的可行性與具體做法。二、問(wèn)題分析問(wèn)題一：題目考察根據(jù)初評(píng)評(píng)分處理數(shù)據(jù),得到入選會(huì)評(píng)的合理名單。我們可以先求得各參賽作品的合理排名。思考評(píng)分中不合理的地方,不同天專家的打分標(biāo)準(zhǔn)不同,例如:同一個(gè)優(yōu)秀作品，有的專家會(huì)給9０分，而優(yōu)秀專家會(huì)給８5分;兩選手之間的細(xì)小差別，有的專家打出的分?jǐn)?shù)可能體現(xiàn)得不是很明顯，但有的專家可能會(huì)打出相差較大的兩個(gè)分?jǐn)?shù).我們要分析以獲得合理名單的條件，即所有專家都應(yīng)持相同的打分標(biāo)準(zhǔn)。把專家的打分標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)并量化，我們可以把專家標(biāo)準(zhǔn)分為標(biāo)度和剛度,分別用用專家給所評(píng)作品的分?jǐn)?shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示,通過(guò)建立校正迭代模型，在每一輪的迭代中，根據(jù)上一輪校正后的評(píng)分表得出各位專家合理的標(biāo)度和標(biāo)準(zhǔn)差，再把各位專家的標(biāo)度和剛度校正到此兩值。如果此思路合理,那么通過(guò)無(wú)窮多次的迭代之后可以得到一張穩(wěn)定的評(píng)分表.我們可以編寫(xiě)程序,輸入附錄中的評(píng)分表，查看迭代次數(shù)增加后每輪評(píng)分表變化的量,若變化的量越來(lái)越小,最后趨近于零,則在設(shè)置足夠的精度后可得到合理的評(píng)分表,從而得到合理排名和入選會(huì)評(píng)的名單。問(wèn)題二:考察對(duì)于現(xiàn)有評(píng)選制度的評(píng)估和改進(jìn)。對(duì)一個(gè)制度進(jìn)行評(píng)估,我們需要有全面辯證科學(xué)的目光，既要考慮到合理的地方，也要考慮到不合理的地方?，F(xiàn)行評(píng)選制度合理的地方:兩階段評(píng)選的基本框架既能保證一定的公平性,又在時(shí)間因素和經(jīng)濟(jì)因素上具有可行性；不合理的地方：在初評(píng)階段中每個(gè)作品均由３位專家評(píng)分，受專家評(píng)分的標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素影響較大,倘若進(jìn)行標(biāo)度和剛度進(jìn)行校正，結(jié)果會(huì)有失公平。我們可以比較不進(jìn)行標(biāo)度和剛度校正的情況下所得到的入選名單和我們?cè)诘谝粏?wèn)中所得到的入選會(huì)評(píng)名單的差異來(lái)說(shuō)明制度的不合理。另外,就算通過(guò)無(wú)窮多次的校正迭代，把每個(gè)專家的標(biāo)度和剛度都校正到其應(yīng)持的標(biāo)準(zhǔn)上，專家們?cè)谠u(píng)分過(guò)程中由于情感波動(dòng)、對(duì)某一作品有偏見(jiàn)等個(gè)人偶然因素還是會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不良影響,由于每個(gè)作品只有三個(gè)專家評(píng)分，可能有些作品受到的專家個(gè)人偶然因素的影響比較大，尤其是那些在入選會(huì)評(píng)臨界排名附近的作品。這也是現(xiàn)行評(píng)選制度的弊端之一。要設(shè)計(jì)新的評(píng)選制度，我們可以保留原有制度的合理之處，改進(jìn)不合理之處.對(duì)于各位專家的標(biāo)度和剛度不一致的問(wèn)題,我們?cè)诘谝活}中已經(jīng)給出了校正的方法。對(duì)于專家的個(gè)人偶然因素問(wèn)題，我們可以為關(guān)乎關(guān)鍵作品安排第四個(gè)專家進(jìn)行評(píng)分,關(guān)鍵作品需要同時(shí)滿足這兩個(gè)條件：一是在入選會(huì)評(píng)臨界排名前后5％；二是校正后三位專家的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差大于前一條件中的作品的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值.問(wèn)題三：考察初評(píng)專家評(píng)分對(duì)于競(jìng)賽結(jié)果的影響、根據(jù)初評(píng)專家評(píng)分對(duì)專家進(jìn)行評(píng)價(jià)的可行性和方法。在第一問(wèn)中我們已經(jīng)得到了校正各個(gè)專家標(biāo)度和剛度的方法,所以各個(gè)專家的標(biāo)度和剛度問(wèn)題可解決,但是專家評(píng)分是的個(gè)人偶然因素問(wèn)題不能解決.因此如果某一初評(píng)專家在評(píng)分時(shí)的個(gè)人偶然因素很大，就影響入選會(huì)評(píng)的名單，從而影響競(jìng)賽最終結(jié)果。我們可以通過(guò)程序模擬一位個(gè)人偶然因素極大的專家參與初評(píng)的情形，即讓計(jì)算機(jī)隨機(jī)抽取一位專家,將該專家對(duì)作品的打分全部用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)代替,按照第一問(wèn)的處理方法得到入選會(huì)選名單，比較此名單和第一問(wèn)所得到的入選名單，二者的差別即該初評(píng)專家對(duì)競(jìng)賽產(chǎn)生的影響。要評(píng)價(jià)專家，我們需要獲得一定的信息，而由于每個(gè)專家評(píng)的作品有多個(gè)，而且每個(gè)作品都有三位專家進(jìn)行評(píng)分，這為評(píng)價(jià)專家提供了一定的信息.根據(jù)前兩問(wèn)的解答過(guò)程,我們可從標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素三個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)專家。我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)得到合理的評(píng)分表，從而可計(jì)算出各位專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度，與各位專家實(shí)際所持的標(biāo)度和剛度進(jìn)行比較,得到對(duì)各位專家標(biāo)度和剛度的評(píng)價(jià)。各位專家的個(gè)人偶然因素體現(xiàn)在問(wèn)題一校正完畢得到的評(píng)分表中專家對(duì)作品評(píng)分和作品得分之差的絕對(duì)值中，假定對(duì)于特定專家,這些絕對(duì)值呈正態(tài)分布,則我們可以用此分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ表示該專家的個(gè)人偶然因素.三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)名稱定義α標(biāo)度γ剛度A大評(píng)分表AX作品得分?jǐn)?shù)組Xo=n(某專家評(píng)審作品數(shù)量X作品合理得分?jǐn)?shù)組X專家評(píng)分均值數(shù)組X(E專家合理評(píng)分均值數(shù)組E(i)B專家評(píng)分元胞數(shù)組C專家合理評(píng)分元胞數(shù)組R某專家所評(píng)作品所有評(píng)分元胞數(shù)組S專家評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)組SSC合理專家評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)組SK剛度校正系數(shù)KF基準(zhǔn)矩陣FU迭代前后得分差值U(ｉ)=Ｘｆ（i)-Xo(i）四、問(wèn)題假設(shè)假設(shè)1：每位專家的偶然誤差均服從μ=0假設(shè)2:各位專家的標(biāo)度因素、剛度因素以及個(gè)人偶然因素均相對(duì)獨(dú)立，無(wú)相互影響；假設(shè)３:正常情況下，每位專家均能正確把握作品的優(yōu)劣水平；假設(shè)4：各位專家所評(píng)審的作品數(shù)量相對(duì)一致,且足夠多；假設(shè)5：會(huì)評(píng)標(biāo)準(zhǔn)足夠公正合理;假設(shè)6:初評(píng)過(guò)程的時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本與各位專家作評(píng)作品數(shù)量之和成正比；假設(shè)7：會(huì)評(píng)成本與入選會(huì)評(píng)的作品數(shù)量成正比，且會(huì)評(píng)中對(duì)一個(gè)作品評(píng)審成本大于初評(píng)中的評(píng)審成本；假設(shè)8：現(xiàn)有評(píng)選制度初評(píng)階段，將每個(gè)作品得到的三個(gè)分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均作為作品的最后得分；假設(shè)９:專家的數(shù)量大于３；假設(shè)10：相比于專家評(píng)審的時(shí)間，程序運(yùn)行的時(shí)間可忽略;假設(shè)11:專家對(duì)某件作品的評(píng)審不受到其它作品的影響；五、模型建立及求解問(wèn)題一：要得到入選會(huì)評(píng)的合理名單，只要得到參賽作品的合理排名就行.我們認(rèn)為如果每個(gè)初評(píng)專家都以同樣的標(biāo)準(zhǔn)為每個(gè)作品打分，即每位專家給同等優(yōu)秀的作品的打分相同，那么最后得到的排名就是合理的。在這里,我們給出了衡量專家評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的兩個(gè)重要概念——“標(biāo)度"和“剛度”.“標(biāo)度”代表專家對(duì)于已知其水平的作品所打的分?jǐn)?shù).“剛度”代表專家對(duì)于已知水平差距的作品所打分?jǐn)?shù)的差距.現(xiàn)在各個(gè)專家已經(jīng)給作品打了分，但是專家們?cè)u(píng)分的標(biāo)度和剛度各不相同,我們通過(guò)建立校正迭代模型把各位專家評(píng)分的標(biāo)度和剛度校正至同一水平來(lái)獲得各個(gè)作品的合理得分表。最后用合理得分表來(lái)計(jì)算作品的合理排名,從而得到入選會(huì)評(píng)的合理名單.模型程序圖:是否得到新的大評(píng)分表A調(diào)整各位專家的剛度到他們應(yīng)持的剛度判斷是否達(dá)到精度要求得到新的大評(píng)分表Ａ計(jì)算新的大評(píng)分表中各位專家所評(píng)作品的全部分?jǐn)?shù)均值作為應(yīng)持的標(biāo)度計(jì)算新大評(píng)分表中各位專家打分的標(biāo)準(zhǔn)差作為目前的剛度計(jì)算新大評(píng)分表中各位專家打分的均值作為目前的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度得到新的大評(píng)分表A計(jì)算新的大評(píng)分表中各位專家所評(píng)作品的全部分?jǐn)?shù)均值作為應(yīng)持的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度計(jì)算各位專家打分的標(biāo)準(zhǔn)差作為目前的剛度得到新的大評(píng)分表A計(jì)算A中所有非零值的標(biāo)準(zhǔn)差作為首輪校正迭代中各位專家應(yīng)持的剛度計(jì)算各位專家的打分均值作為目前的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度輸入大評(píng)分表A計(jì)算A中所有非零值的均值，作為首輪校正迭代中各位專家應(yīng)持的標(biāo)度是否得到新的大評(píng)分表A調(diào)整各位專家的剛度到他們應(yīng)持的剛度判斷是否達(dá)到精度要求得到新的大評(píng)分表Ａ計(jì)算新的大評(píng)分表中各位專家所評(píng)作品的全部分?jǐn)?shù)均值作為應(yīng)持的標(biāo)度計(jì)算新大評(píng)分表中各位專家打分的標(biāo)準(zhǔn)差作為目前的剛度計(jì)算新大評(píng)分表中各位專家打分的均值作為目前的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度得到新的大評(píng)分表A計(jì)算新的大評(píng)分表中各位專家所評(píng)作品的全部分?jǐn)?shù)均值作為應(yīng)持的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度計(jì)算各位專家打分的標(biāo)準(zhǔn)差作為目前的剛度得到新的大評(píng)分表A計(jì)算A中所有非零值的標(biāo)準(zhǔn)差作為首輪校正迭代中各位專家應(yīng)持的剛度計(jì)算各位專家的打分均值作為目前的標(biāo)度調(diào)整各位專家的標(biāo)度到他們應(yīng)持的標(biāo)度輸入大評(píng)分表A計(jì)算A中所有非零值的均值，作為首輪校正迭代中各位專家應(yīng)持的標(biāo)度1。1構(gòu)建校正迭代模型校正迭代的思路是：用專家給所評(píng)作品的分?jǐn)?shù)均值來(lái)表示對(duì)應(yīng)專家的標(biāo)度α,用專家給所評(píng)作品的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示對(duì)應(yīng)專家的剛度γ.在每輪迭代中，用上一輪校正后所得的評(píng)分表來(lái)計(jì)算各專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度,校正各專家評(píng)分的標(biāo)度和剛度到此兩值,得到此輪校正后的評(píng)分表。經(jīng)過(guò)多次校正迭代后,可得到一組幾乎恒定不變的作品得分?jǐn)?shù)組，視為合理化得分值，作為各個(gè)作品的最終得分。迭代過(guò)程分為首輪校正迭代和循環(huán)校正迭代，兩者思路相同，實(shí)際操作略有區(qū)別。1。1。１首輪校正迭代①、用矩陣表示大評(píng)分表等數(shù)據(jù)：各位專家給各個(gè)作品的評(píng)分表就是大評(píng)分表,進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，得到(m×n)的評(píng)分矩陣AA若第i位專家沒(méi)有評(píng)過(guò)第j號(hào)作品，則A（②、從矩陣Ａ中提取數(shù)據(jù),去除０元素，生成（1×mB其中n（ｋ）為單位專家所評(píng)審的作品數(shù)量；標(biāo)度校正:由于這是首輪迭代，在此之前，除了原始分?jǐn)?shù)表,我們沒(méi)有獲得關(guān)于作品的更多信息，所以這一輪迭代中我們假定各位專家所評(píng)的作品的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均相等;③、基于此,首輪迭代中所有專家應(yīng)持的標(biāo)度為所有作品得分的均值μ,構(gòu)造數(shù)組E,表示各位專家應(yīng)持的合理標(biāo)度:EiE若第i位專家沒(méi)有評(píng)過(guò)第j號(hào)作品，則A（④、構(gòu)造數(shù)組X，表示單位專家目前評(píng)分平均值：

X[iX=⑤、構(gòu)造（mERR1=若A[i，ERR1若AiERR1⑥、將標(biāo)度校正矩陣ERR１與原始得分矩陣相加，得到一個(gè)新的得分矩陣表AA首輪專家評(píng)分標(biāo)度調(diào)整完畢；剛度校正①、與標(biāo)度同理,首輪迭代中所有專家應(yīng)持的剛度為目前所有作品得分的標(biāo)準(zhǔn)差σ，構(gòu)造數(shù)組SC，表示各位專家應(yīng)持的合理剛度：SC其中A(i,j)≠0;S②、構(gòu)造數(shù)組Ｓ,表示目前單位專家的剛度，即對(duì)所評(píng)作品的分值的標(biāo)準(zhǔn)差：SS將單位專家評(píng)分原有標(biāo)準(zhǔn)差Ｓ,校正為合理化標(biāo)準(zhǔn)差SC:③首先，構(gòu)造(m×1)的數(shù)組Ｋ,作為剛度校正系數(shù):

KK④其次，構(gòu)造剛度校正矩陣EＲR２:ERR2=若A[i，ERR2若AiERR1⑤、構(gòu)造一個(gè)（n若A[i，F(xiàn)若AiF⑥、剛度校正矩陣ERＲ2與基準(zhǔn)矩陣相加,使單位專家的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差得到調(diào)整，即可得到新的評(píng)分矩陣A：A=F+ERR2＊首輪專家評(píng)分剛度調(diào)整完畢；１．1。2循環(huán)校正迭代在循環(huán)迭代的每輪迭代中，用上一輪校正后所得的評(píng)分表來(lái)計(jì)算各專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度，校正各專家評(píng)分的標(biāo)度和剛度到此兩值,得到此輪校正后的評(píng)分表.標(biāo)度迭代：①、構(gòu)造數(shù)組X,表示上一輪校正迭代后，單位專家評(píng)分標(biāo)度，即所評(píng)分?jǐn)?shù)的均值：

X[iX=②、根據(jù)表A，計(jì)算作品上輪平均得分，并構(gòu)造(n×1)數(shù)組Xｏ，存放作品平均得分，構(gòu)成元胞數(shù)組Ｃ，抽取出單位專家所評(píng)作品的得分，存放于C{ｌ}中，即每位專家對(duì)應(yīng)所評(píng)作品應(yīng)給分值集合:Xo=C③、構(gòu)造數(shù)組Ｅ,存放表示單位專家在本輪中應(yīng)持的標(biāo)度：E[iE=④、構(gòu)造標(biāo)度調(diào)整的（m×n）ERR1=若A[i，ERR1若AiERR1⑤、得到矩陣EＲR１，與原得分矩陣相加得到一個(gè)新的得分矩陣表A：A本輪專家評(píng)分標(biāo)度調(diào)整完畢;剛度校正：①、構(gòu)造一個(gè)1×m的波動(dòng)元胞數(shù)組R,表示單位專家所評(píng)作品的全部(包括其他專家）得分?jǐn)?shù)組，即若A1專家共評(píng)審n（1）件作品，則R{１｝中應(yīng)該包含3*n(ｉ)個(gè)元素：R=其中,任意Rk②、構(gòu)造數(shù)組Ｓ，表示上一輪校正后，單位專家的剛度，即對(duì)所評(píng)審作品的分值的標(biāo)準(zhǔn)差：SS③、構(gòu)造一個(gè)(m×1)的數(shù)組SＣ,表示單位專家本輪迭代應(yīng)該給出的合理化標(biāo)準(zhǔn)差，即波動(dòng)性調(diào)整后應(yīng)該具有的標(biāo)準(zhǔn)差:SS波動(dòng)性調(diào)整，將單位專家評(píng)分原有標(biāo)準(zhǔn)差S，調(diào)整為合理化標(biāo)準(zhǔn)差ＳC:④、首先，構(gòu)造(m×1)的數(shù)組K，作為剛度校正系數(shù)：

KK⑤、其次,構(gòu)造波動(dòng)調(diào)整矩陣ＥＲＲ2：ERR2=若A[i，ERR2若AiERR1⑥、構(gòu)造一個(gè)（n若A[i，F(xiàn)若AiF⑦、波動(dòng)調(diào)整矩陣ERR2與基準(zhǔn)矩陣相加，使單位專家的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)差得到調(diào)整，即可得到新的得分矩陣A：A=F+ERR2＊本輪專家評(píng)分剛度調(diào)整完畢；如此循環(huán)校正：標(biāo)度調(diào)整利用得到的新得分矩陣表A，開(kāi)始下一輪修正,直到所有作品的兩次修正得分差U（i）,均小于軟件精確度０.0001,即滿足：U（1。２編寫(xiě)程序，得到合理排名和入選名單編出校正迭代程序(程序在附錄中），用2012年和20１３年的數(shù)據(jù)讓程序運(yùn)行，隨著迭代次數(shù)的增加,評(píng)分表上分?jǐn)?shù)均趨于穩(wěn)定，循環(huán)校正迭代直到所有作品的兩次校正得分差U（i),均小于軟件精確度０.0０01，即滿足:U（i在經(jīng)過(guò)多次迭代后，可得到一個(gè)元素基本保持不變的得分矩陣A，一個(gè)恒定不變的作品得分?jǐn)?shù)組Xf，以及一個(gè)數(shù)值保持不變的波動(dòng)調(diào)整比例K值數(shù)組，且任意Ki=1,結(jié)①20１3年得分矩陣A變化圖:從以上兩張圖可看出，隨著迭代次數(shù)的增加,每一輪校正迭代前后大評(píng)分表A的變化越來(lái)越小，最后趨近于零。也就是說(shuō)，最后的大評(píng)分表趨于穩(wěn)定.合理化大評(píng)分表見(jiàn)附錄1。１中。②2012年得分矩陣變化圖：由此大評(píng)分表上各個(gè)作品的三個(gè)分?jǐn)?shù)加權(quán)平均得到各個(gè)作品的最后得分，由此得分排名，按名次取一定比例進(jìn)入會(huì)評(píng)。按照60%的比例的入選名單見(jiàn)附錄1．2。且經(jīng)過(guò)調(diào)整后，原始單位專家評(píng)分均值得到了合理化的調(diào)整，變動(dòng)圖如下:①20１3年專家評(píng)分均值變動(dòng)圖:②２012年專家評(píng)分均值變動(dòng)圖問(wèn)題二：（１)對(duì)現(xiàn)有評(píng)選制度進(jìn)行評(píng)估.在保留兩階段評(píng)選基本框架的前提下,設(shè)計(jì)新的評(píng)選制度.由題設(shè)可知,影響單件作品最終得分的因素包括：專家偶然因素、專家間標(biāo)度差異、專家間剛度差異以及作品自身優(yōu)劣水平。其中,專家偶然因素、標(biāo)度差異、剛度差異，是導(dǎo)致初選結(jié)果不合理的主要因素來(lái)源，所以，分別對(duì)以上三個(gè)因素做出闡述，并將初始數(shù)據(jù)與合理化數(shù)據(jù)作比較,將原始結(jié)果與最終結(jié)果比較，從評(píng)選結(jié)果的合理性、數(shù)據(jù)的差異性對(duì)評(píng)選制度做出評(píng)估。①、四大因素:偶然因素、標(biāo)度、剛度、作品水平；符號(hào)假設(shè)：原始評(píng)分矩陣為:AO合理化評(píng)分為：Af初始作品得分?jǐn)?shù)組：XO合理化作品得分?jǐn)?shù)組:Xf評(píng)分差矩陣：?A=作評(píng)得分差數(shù)組:?X=X-—作品水平：Y——標(biāo)度:D(Ｙ)=D(X-EOX：所有作品合理化得分；EOT-—?jiǎng)偠?γ=SCSOＺ-—偶然因素（Z（k)對(duì)應(yīng)k專家）：Z=B-C，且Z服從μB:合理化個(gè)人評(píng)分，是經(jīng)過(guò)標(biāo)度、剛度調(diào)整后的結(jié)果；Ｃ:合理化作品得分;Ａ——所有因素集合,表現(xiàn)在原始大評(píng)分表與合理化大評(píng)分表上，A=X+Y+T+Z，DADai，j≠0Rａt(yī)e——正確晉級(jí)作品數(shù)量比例：Rate=N：為進(jìn)入會(huì)選名額，是定值，假設(shè)N=n*0.6，而最終獲獎(jiǎng)名額為Nｉ：為合理排名前45％作品,在傳統(tǒng)評(píng)選方法下得到的名單中,出現(xiàn)的作品數(shù)量；β—-波動(dòng)因素，β=DY②、對(duì)于每位專家，?A與?X中與原A、X中非零元素對(duì)應(yīng)位置的元素,可分別看作是服從μ1=0、μ2③、標(biāo)度分析:分別從AO、Af中提取出單位專家對(duì)所評(píng)作品的分值，分別以EO、Ef表示，則標(biāo)度差?④、剛度分析:γ=σ（lσ值越大,則說(shuō)明該專家的剛度因素對(duì)原始評(píng)分矩陣的不合理影響越大,也可說(shuō)明對(duì)剛度修正的必要性；⑤、因初始假設(shè)中，各因素A=（X+Y+Y+Z）相互獨(dú)立，故D故而：

β代表現(xiàn)有評(píng)選制度的誤差，且可以作為評(píng)定現(xiàn)有評(píng)選制度是否合理的依據(jù),且β值越大，則說(shuō)明評(píng)選制度的不合理性越顯著；⑥、選取得分前60％的作品進(jìn)入會(huì)評(píng)，按照傳統(tǒng)取所有評(píng)分平均值的方法，可得到原始晉級(jí)名單RO,根據(jù)第一題中最終結(jié)果,可得到合理化晉級(jí)名單Rf，比較兩份晉級(jí)名單,計(jì)算Rf中作品在RO名單中出現(xiàn)的數(shù)量,以Nf若得到Rate的數(shù)值越小，則說(shuō)明原評(píng)選制度的不合理性越嚴(yán)重,相對(duì)Raｔe越大,而說(shuō)明本次評(píng)選過(guò)程中,非作品本身水平因素的影響越??；且繪制出的兩年比較圖如下：綜合兩圖結(jié)果，可知現(xiàn)有評(píng)選制度受非作品優(yōu)劣水平因素較大影響，并且評(píng)選機(jī)制的波動(dòng)性較大，同時(shí)也進(jìn)一步證明了對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行修正的必要性;（２)撰寫(xiě)一份給初評(píng)專家的評(píng)分指南。評(píng)分指南:作品評(píng)選分為初評(píng)和會(huì)評(píng)兩個(gè)階段。在初評(píng)階段中，每件作品由三位專家以百分制獨(dú)立打分，然后將評(píng)分表按照作品編號(hào)和專家編號(hào)的順序?qū)懗删仃囆问?，將矩陣輸入程序２?，程序運(yùn)行后會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)需要第四位專家評(píng)分的作品編號(hào)。這些作品需要滿足以下兩個(gè)條件:作品評(píng)分的排名位于入選會(huì)評(píng)臨界線前后5%。經(jīng)過(guò)程序矯正迭代后該作品的三個(gè)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差超過(guò)所有作品三個(gè)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的平均值.即這些作品水平在入選臨界線左右,而且爭(zhēng)議較大或者受較大的偶然因素的影響。這些作品的第四個(gè)分?jǐn)?shù)打出來(lái)后,補(bǔ)充到評(píng)分矩陣中，將矩陣輸入程序中，程序運(yùn)行完將自動(dòng)生成入選會(huì)評(píng)的名單.會(huì)評(píng)專家由各領(lǐng)域權(quán)威人士組成，以集中討論、逐件評(píng)議的形式進(jìn)行。最終獲獎(jiǎng)名單在會(huì)評(píng)結(jié)束后確定.問(wèn)題三：3．1初評(píng)專家評(píng)分對(duì)競(jìng)賽最終結(jié)果的影響初評(píng)專家的評(píng)分會(huì)影響作品的得分，可能影響入選會(huì)評(píng)的名單,從而影響競(jìng)賽最終結(jié)果。經(jīng)過(guò)我們的分析,影響初評(píng)結(jié)果的專家評(píng)分因素主要有標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素。在第一問(wèn)中我們已經(jīng)得到了校正各個(gè)專家標(biāo)度和剛度的方法，所以各個(gè)專家的標(biāo)度和剛度問(wèn)題可解決，但是專家評(píng)分是的個(gè)人偶然因素問(wèn)題不能解決。因此如果某一初評(píng)專家在評(píng)分時(shí)的個(gè)人偶然因素很大，就影響入選會(huì)評(píng)的名單,從而影響競(jìng)賽最終結(jié)果。我們通過(guò)程序模擬一位個(gè)人偶然因素極大的專家參與初評(píng)的情形,即讓計(jì)算機(jī)隨機(jī)抽取一位專家，將該專家對(duì)作品的打分全部用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)代替，按照第一問(wèn)的處理方法得到入選會(huì)選名單,比較此名單和第一問(wèn)所得到的入選名單，二者的差別即極端條件下該初評(píng)專家對(duì)競(jìng)賽產(chǎn)生的影響。3.２根據(jù)初評(píng)專家的評(píng)分來(lái)評(píng)價(jià)專家3．2.1可行性分析要評(píng)價(jià)專家，我們需要獲得一定的信息,而由于每個(gè)專家評(píng)的作品有多個(gè)，而且每個(gè)作品都有三位專家進(jìn)行評(píng)分，這為評(píng)價(jià)專家提供了一定的信息。根據(jù)前兩問(wèn)的解答過(guò)程，我們可從標(biāo)度、剛度和個(gè)人偶然因素三個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià)專家,但是因?yàn)榻?jīng)過(guò)模型修正，可有效的消除專家的標(biāo)度、剛度因素對(duì)評(píng)選結(jié)果的影響，故而，只需將個(gè)人偶然誤差作為評(píng)價(jià)專家的依據(jù)。以201３年A7專家為例，將其對(duì)作品的合理化評(píng)分與作品的合理化得分的差值?的分布繪于左圖,且將?的分布概率f繪于由圖，從圖中可知，在?=0值線的附近，?值明顯就較多,且從概率圖可看出,0值附近的概率明顯最大,這也印證了模型的假設(shè)：每位專家的偶然誤差均服從μ偶然因數(shù)導(dǎo)致的數(shù)據(jù)誤差如下：Z=偶然因素產(chǎn)生的評(píng)分波動(dòng)如下：Dσ且A7專家?值得標(biāo)準(zhǔn)差σ=6.９68251,相對(duì)于同年σ5.866825相比較，可看出A7專家的評(píng)分在評(píng)選過(guò)程中相對(duì)合理；如若，某專家的σ值,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同年其他專家,則說(shuō)明，該專家在評(píng)審作品的過(guò)程中需要調(diào)整好個(gè)人情感,盡量避免個(gè)人因素對(duì)評(píng)分結(jié)果造成影響；3.2。2具體做法我們?cè)诘谝粏?wèn)中已經(jīng)得到合理的評(píng)分表,從而可計(jì)算出各位專家應(yīng)持的標(biāo)度和剛度，與各位專家實(shí)際所持的標(biāo)度和剛度進(jìn)行比較，得到對(duì)各位專家標(biāo)度和剛度的評(píng)價(jià)。各位專家的個(gè)人偶然因素體現(xiàn)在問(wèn)題一校正完畢得到的評(píng)分表中專家對(duì)作品評(píng)分和作品得分之差的絕對(duì)值中，假定對(duì)于特定專家，這些絕對(duì)值呈正態(tài)分布,則我們可以用此分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ表示該專家的個(gè)人偶然因素。六、參考文獻(xiàn)［1］韓響玲,陳志剛,董婷婷．競(jìng)賽評(píng)分結(jié)果的偏移量修正法。２00３（01)．[2］蘭繼斌，徐揚(yáng),霍良安，劉家忠.模糊層次分析法權(quán)重研究.２0０6（9）。［3]高愛(ài)國(guó).利用數(shù)學(xué)建模評(píng)閱競(jìng)賽試卷．２004（２）。[４］姜啟源，謝金星，葉俊《數(shù)學(xué)模型》（第四版)高等教育出版社２０11．［5］徐全智，楊晉浩?！稊?shù)學(xué)建?！犯叩冉逃霭嫔?０03.［6]劉書(shū)田?；诳焖俑盗⑷~變換的二階可靠度分析方法．２001(4).七、附錄附錄1.1.1：2013年合理化評(píng)分矩陣轉(zhuǎn)置34．8357７９．68４８4１。766700０0０000034.4０442８．906８30.26690０0000000３1.８３102９.73794３.1979４1。223７8３.474335.３045000０00００036。3９5828。906832．88５9000０00０0031．831027。98５633．090841。2２375１.８947３5。304５0000000００59.6２8７５２.９０70４4.0168０000０000044．364６55。14５94０。441447.６118８9.79０３48.２28８０000０0０00043．17723６。1５９77６．951８0０00０4３．697６００04９。012９35。8４73３４.８３5749．36８33５.304５0000０0000４3。0３３854。853０40。74３0000０0000０37.6８０031。49０１35。８47341．22378３.47434１。7６6700000000042．３70045.７7１83１．576400000００006６.９24941.１2７7３５。８47334。８３５724.1０４６28.8４2３000０００００0３5.06823０.8528３0.９２170０00０0０0041。85７959．526６３5.847３４1．2２3744。３156５4。691００000000０04１。042443。8２5９42。０52５00０00000０67。760550。765２6９。8４3928．４4７639．２6２835．3０45０0000０0０03２．4１３0３１．50143３.５４070000０00006８.5９616３．03１２4５.03５6４7。６11850．6３15３６。5969000０0000０３1。085４2７.609５33.540７00000０００038．５1５633。２42432。17２041．22373４.２1014８。2288０0０0０000042。370０３2．798732.8859000000000４1．857953.393６4０。441498．716548．10５１５2。10610０000００000３４。０96042。052５41。02２30０000５７。637300039.37544０.44148５．94０４56.9４7454.6９１0000０0000０4３。033832。798742．70730０03４.83570０００003０．６１4033。09０８044．３15６41.7667000３6.8４4４０000034.404４2７．６0９533．5４070０00０00００3７．６80051．６41354.223９４7．6１1８3２。946９54.６９1０0000000006７。５9433４.0９6０41．３978000００00003８.515６34．118645．03567３.１6４239.２62８41.766７０0０00000０39.05１0４0.５８２647。２906００000０0007４。44517０.91６435.８47341.223７34.210190。8792000000000６４．275344。４745０40．１867008５．940400０00048。136８77。194６031。683７3５。3045３4.404400000０0002７。６09５21．１00324.３10900００0０026.993１027。109435。847３41.223735.４７3348。２2８800０００0000３3．0７6828.258230。9２170０00００00037．6８005０。765２35。84７3６0。38803６.7364４8.2２88００0000０0041.7062３4。0960４4．01680000０000０38.515６3３．２42４40。44１441。22３7６0.7３704１．７6670０00０00００034．0９６０44．67１５3８．５156000０0６４。9391000５5。145944.116７４7.611８８7。2６3954．69１0０0０00000044。３６１4４1.8799４０．７４30０000000０038．５15６４３.756１４９.６２9747。６１18５5。6８４2９2.1７1６0000０00004１.04２4４5.１2３23３．54０700０００0００075。２80663.907369.８4３941。2237５０。63１541.7667000000０00３2.4130３0。85２８39。4３3500００0０0００36．8４4434．1１８635．84738５.94０456。947４５4。6910０00000０00４1。04242７．60９5０41。0２2300３4。８357000０００３4．99４74０。441４02２．841435。30450０33.5407００00003７。７234５1。609７53．8381００0000000４1。02２3５６．０２20３８.6038６0.３８8０1９．051８94.７5６５0000０000037.０596３0．８５２８2４．３７４1０00000000６6。0８９435.870851.4６７447。611864。526５96。0４８90０0０00000049。6637３7。４6９241．022３0047．61１８0０000０56。0２2077.1９４6０54。42１048.２288049.66３700００0０03１。085４027.６47934.33770００0035.0６82000５０．7652３5.８4734７．611859.4７3896。0４８900０0000０03１.085434.０960３0。9217００00０000０３6．008９２９。7379３1。2５31６0。３88058。21065４。69100０0000000３4.404441.87993７.46９２０0０００00０076。1162４３．756１54．22394７。6１1844.315693.4６4100００0000031．0８５428.２5８2３３．5407000０00０00４1。02２342.０0384０.4４１4３4.83572６．63103４．01200０000０00０31。085424.36６232．８859０0０００000０27。653233.242431．253１2８.44７６1６.52553５.304５00000００0０33。0768４４．474530。9２１７00０0０00０02７．6５3227．985631.２53141．223736.736434.01２000000000034.4０4434．0９６0３1.5７６４000０000０060.24046３．０312８1。７88７41．223744．3156４１。766７0０00000００3１。74９233。447427。６4790000０0000４１。8５7９４2。8７99３4.928541.２23754。42１04１.7６６７0000000003５．７3２063．９34160．３85700００00000３8.5156３4.１18673.5１9241.2237４9。36８390。８７9２00０0００00033.０7６855。501640.74300000０000０39。351232．366340。441４4７。611844.315６５4．6910００0０0000034。4０４434。744740.7４3000０000000４1。０２２３31。４９0１35。847334.８357４8．1０5148.2288０0０00０0005８。964966。528732.8８590000000００33。5022２８。８617３4。0０９6６0.3８80４6.84１936。596９0000０0００039．0５１034.74４７３0。92１700００00０004２。６93435。8708３8．603８41.２2３741．７８９23５。304５0000000０035．７3２028.906８3０.2６6９０00000０0０41.8579６6。５3574９。629798.716572。10５７54．69100000000003１．０8５444。47４５３1．5764000000０00３６.84443４.９94737。684960。３88068.31６141.７667０000000００38。３87255。501660．38570０００000００4１。０22365。6５9６7２.600434。83５７22.８4143５。３0４５00００0000039.７1４834。０96037。469２000００00004３.５290４5。50８438。６０3847。61１841．78924１．766７0０000000034.4０4445。1232６3．６5950０00０00004１.022343。7５61４0。44149８.７１６５8３．４74348.22880000000０0４3。０33８４1．8７９9４4．016800０00000032.66662６.2３3333．０908４1.2237３９。262835.３０４50００000000３4．404447．0６9140.０8８2００00000０031．831０３2.３66334．009６73.164246.841９４1.7667０0０000０0０32.４１３030.２04１57．11１90００00０00０33。5０２240。25１５4６.873２85.940449。36８354。６91００0000000034。40４427。609553。8３81０0000000０25。98202５。357234。０096２2.059526．63102８.84２300000000０33.74０６4１。87９932.2３1200０00０00０39．３51240。2515３5.84７3９8。7１655４．42104１。７6６7000０0００0031.74924４。4７4547。290600０47.611800000５9。4048０６9．843９04１。7892３5。30450000４8．136８0000３2。41302７。６０95３2。８８5９0００0０000037。６8005０。76５２３３．09０84１。2237４４。315639．18180000０000０66．266752.2５８353.83８１0０00000０039．3５12３4。9947３4。009６28．44764３．052435.3045００000００００34．4044２７。60９５3４．1954000０00０0033。5０２253。3９3６３３。090841。22３７48.１0５１9０。8７9２0000000003７.059644。47４5３9.433５0０00０0００0２7。６5323１。4901３5．8４73３4。8３５７３1.6837３5．30４50００0000０059.6２87５6。1５０30３6．0０8９003４.835７0０0０００25.３5７24５.0３５60２6.63１０28．842300２6.３384000０0０34。40444５.１２3234。1９５40000０0000４1．０２2342.003835.847３４1.22３73４．２10148.2288０00０0０00034．4044042.7073４1.8５7９000000６2。63680064。78３469。8４3960.3８8045。5７８74１.766７000０0000０33.０76845。77１８31。５764000000000３3.502226．23３33１．253１4１.2２379６。１06288。２９4３0００00000059.6287４1。8７9９32.8８5９0000000０04１.022３33。24２4３5．8４７3４7。61１８64.526５９0。879200000000042．370024．366２２４。3７41000０0000０41.８579６4。783434.928541.22379９。8958４8.２2８800000００003４．４０４441。87９934。1９5400000000036．０0８9４4。632234。00９673。1６