《九招解決數(shù)列求和》

《九招解決數(shù)列求和》數(shù)列求和是高考中命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，是每年高考的必考內(nèi)容，是研究數(shù)列問(wèn)題的核心，下面就數(shù)列求和的常用方法作簡(jiǎn)單的介紹，供參考。直接運(yùn)用等差、等比數(shù)列的求和公式求解舉例1等比數(shù)列{an}的公比q＞1,a10＝1,Sn＝a1＋a2＋…＋an,＝＋＋…＋,求使Sn＞成立的最小自然數(shù)n。解析:∵?！鄘}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。Sn＝，＝，∵q＞1,∴，又Sn＞，即＞，得a12qn－1＞1.又a10＝1,a1q9＝1。代入得qn－19＞1.又q＞1,∴n＞19.故Sn＞成立的最小自然數(shù)n為20.拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和舉例2求1＋3＋5＋…＋。解析:an＝＝2n－1＋即原式＝（1＋）＋（3＋）＋…＋（2n－1＋）＝（1＋3＋5＋…＋2n－1）＋（＋＋…＋）＝n2＋1－.并項(xiàng)法（轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和舉例3求和:Sn＝－1＋22－32＋42－52＋…＋（－1）nn2.分析:對(duì)于正負(fù)相間的數(shù)列求和先用奇、偶分析法兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，然后轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和。∵－（n－1）2＋n2＝[n－（n－1）][n＋（n－1）]＝2n－1.∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝－1＋22－32＋42＋…－（n－1）2＋n2＝3＋7＋…＋2n－1＝（3＋2n－1）＝n（n＋1）,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1－n2＝（n－1）n－n2＝－n（n＋1）綜上可知Sn＝（－1）nn（n＋1）。變換通項(xiàng)法舉例5求5＋55＋555＋…前n項(xiàng)和。解:an＝＝（10n－1）故Sn＝（10－1＋102－1＋…＋10n－1）＝（10n－1）－n。注:形如a,aa,aaa,…前n項(xiàng)和都可用此法。其中an＝＝（10n－1），a∈N,1≤a≤9.裂項(xiàng)相消法將數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆分成幾項(xiàng)差的形式使一些項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，裂項(xiàng)時(shí)可直接從通項(xiàng)入手，且要判斷清楚消項(xiàng)后余下哪些項(xiàng)。舉例5求數(shù)列前項(xiàng)的和解:＝，＝。評(píng)注:一般地，若為等差數(shù)列，，數(shù)列{}的求和就可采用裂項(xiàng)相消法，要判斷清楚消項(xiàng)后余下哪些項(xiàng)不然會(huì)出錯(cuò)。倒序相加法（類(lèi)比、聯(lián)想等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)方法）舉例6已知函數(shù)。（1）若，證明為定值；（2）若，求。解：，則有＝＝＝。（2）＝評(píng)注：遇到首尾相加為常數(shù)的數(shù)列求和，應(yīng)先倒序，再變形，再相加，這是常見(jiàn)的一種求和方法。乘比錯(cuò)位相減法若為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}的前項(xiàng)和就可用此法，舉例7為等比數(shù)列，Tn＝na1＋（n－1）a2＋…＋2an－1＋an,T1＝1,T2＝4,求Tn。解:T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝4，得a2＝2，即an＝2n－1所以Tn＝n＋（n－1）·2＋（n－2）·22＋…＋2·2n－2＋2n－1,2Tn＝n·2＋（n－1）·22＋…＋2·2n－1＋2n,兩式相減得Tn＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝2n＋1－2－n.即Tn＝2n＋1－2－n.運(yùn)用數(shù)列的周期性變化求和舉例8數(shù)列滿足an＋1＝an－an－1（n≥2）,a1＝a,a2＝b,求S100.解:a3＝b－a,a4＝－a,a5＝－b,a6＝a－b,a7＝a＝a1,a8＝b＝a2,…即an＋6＝an是一個(gè)周期為6的數(shù)列且S6＝0，故S100＝S96＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝2b－a.九．不求通項(xiàng)，利用遞推關(guān)系求和舉例9數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，n＝1,2,3…寫(xiě)出與的遞推式（n2），并求關(guān)于n的表達(dá)