點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離

點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離課標要求素養(yǎng)要求1.探索并掌握點到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式.2.會求點到直線的距離與兩平行直線間的距離.通過研究點到直線及兩平行線間的距離公式，提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在鐵路的附近，有一大型倉庫.現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知沿倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P，怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？問題點P到直線的距離是指哪個線段的長度？提示點P到直線的距離是過P作直線的垂線，垂線段的長度即為點到直線的距離.1.點到直線的距離運用點到直線的距離公式時，一定要將直線方程化為一般式方程(1)概念：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).可以驗證，當A＝0或B＝0時，上述公式仍然成立.2.兩條平行直線間的距離運用兩平行線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對應相同(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).拓展深化[微判斷]1.點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)提示點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))，即先將直線方程化為一般式后再運用點到直線的距離公式.2.直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離.(√)3.兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離.(√)[微訓練]1.原點到直線x＋2y－5＝0的距離為() \r(3) \r(5)解析d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).答案D2.兩平行直線x＋y＋2＝0與x＋y－3＝0間的距離等于()\f(5\r(2),2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(2)解析d＝eq\f(|2－（－3）|,\r(12＋12))＝eq\f(5\r(2),2).答案A[微思考]1.若點P(x0，y0)到直線l1：y＝a與l2：x＝b的距離分別為d1，d2，那么d1，d2如何求？提示d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.2.兩條平行直線間的距離公式寫成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時對兩條直線應有什么要求？提示兩條平行直線的方程都是一般式，并且x，y的系數(shù)分別對應相等.題型一點到直線的距離【例1】求過點P(1，2)且與點A(2，3)，B(4，－5)的距離相等的直線l的方程.解法一由題意知kAB＝－4，線段AB的中點為C(3，－1)，所以過點P(1，2)與直線AB平行的直線方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直線符合題意.過點P(1，2)與線段AB中點C(3，－1)的直線方程為eq\f(y－2,－1－2)＝eq\f(x－1,3－1)，即3x＋2y－7＝0.此直線也符合題意.故所求直線l的方程為4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.法二顯然所求直線的斜率存在，設直線方程為y＝kx＋b，根據(jù)條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝k＋b，,\f(|2k－3＋b|,\r(k2＋1))＝\f(|4k＋5＋b|,\r(k2＋1))，))化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,k＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,3k＋b＋1＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,2)，,b＝\f(7,2).))所以所求直線l的方程為：y＝－4x＋6或y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(7,2)，即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.規(guī)律方法求點到直線的距離時，直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式；直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)中A＝0或B＝0時，公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可采用數(shù)形結(jié)合法求點到直線的距離.【訓練1】已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()\r(2) －eq\r(2)\r(2)－1 \r(2)＋1解析由點到直線的距離公式得：eq\f(|a－2＋3|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq\r(2).∵a>0，∴a＝eq\r(2)－1.故選C.答案C題型二兩平行線間的距離【例2】(1)求兩平行直線l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0間的距離；(2)求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程.解(1)由題意，將l2的方程化為3x＋5y＋eq\f(5,2)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq\f(\f(3,2),\r(34))＝eq\f(3\r(34),68).(2)由題意設所求直線l的方程為2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).由直線l與兩條平行線的距離相等，得eq\f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq\f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.規(guī)律方法求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式.若直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，則d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；若直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全為0且C1≠C2)，則d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對應相等.【訓練2】(1)求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程；(2)兩平行直線l1，l2分別過P1(1，0)，P2(0，5)，若l1與l2的距離為5，求兩直線方程.解(1)設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0(C≠6)，由兩平行直線間的距離公式，得2＝eq\f(|C－6|,\r(52＋（－12）2))，解得C＝32或C＝－20，故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.(2)依題意得，兩直線的斜率都存在，設l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因為l1與l2的距離為5，所以eq\f(|－k－5|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝0或eq\f(5,12).所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.題型三利用距離公式解決最值問題【例3】兩條互相平行的直線分別過A(6，2)和B(－3，－1)兩點，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的取值范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程.解(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d＝|AB|＝eq\r(（6＋3）2＋（2＋1）2)＝3eq\r(10)；當兩條平行線各自繞點B，A逆時針旋轉(zhuǎn)時，距離逐漸變小，越來越接近于0，所以0＜d≤3eq\r(10)，即所求的d的取值范圍是(0，3eq\r(10)].(2)當d取最大值3eq\r(10)時，兩條平行線都垂直于AB，它們的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(2－（－1）,6－（－3）))＝－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.規(guī)律方法通過數(shù)形結(jié)合，運用運動變化的方法，把握住題中的已知點不動，而兩條平行線可以繞點轉(zhuǎn)動，我們很容易直觀感受到兩平行線間距離的變化情況，從而求出兩平行線間的距離的取值范圍.【訓練3】(1)動點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O為原點，求|OP|最小時點P的坐標；(2)求過點P(1，2)且與原點距離最大的直線方程.解(1)直線上的點到原點距離的最小值即為原點到直線的距離，此時OP垂直于已知直線，則kOP＝1，∴OP所在的直線方程為y＝x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))∴點P的坐標為(2，2).(2)由題意知，過點P且與OP垂直的直線到原點O的距離最大，∵kOP＝2，∴所求直線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算及邏輯推理素養(yǎng).2.對點到直線的距離公式的兩點說明(1)適用范圍：點到直線的距離公式適用于平面內(nèi)任意一點到任意一條直線的距離.(2)結(jié)構(gòu)特點：公式中的分子是用點P(x0，y0)的坐標代換直線方程中的x，y，然后取絕對值，分母是直線方程中的x，y的系數(shù)的平方和的算術(shù)平方根.特別提醒在使用點到直線的距離公式時，要特別注意直線方程的形式.3.對兩條平行直線間的距離的兩點說明(1)可以轉(zhuǎn)化為一條直線上的點到另一條直線的距離.這個距離與所選點的位置無關(guān)，但一般要選取特殊的點(如與坐標軸的交點).(2)除了將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解外，還可以利用兩條平行直線間的距離公式d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)).二、素養(yǎng)訓練1.已知點(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為() B.－1\r(2) D.±eq\r(2)解析由題意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).答案D2.兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于()\f(7,5) \f(7,15)\f(4,15) \f(2,3)解析l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，由平行線間的距離公式得d＝eq\f(|－6＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(4,15).答案C3.點P(a，0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(7，＋∞) B.(－∞，－3)C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7)解析由題意得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－6<－15，即a>7或a<－3.答案C4.已知兩點A(－3，－2)和B(－1，4)到直線x＋ay＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________.解析∵兩點A(－3，－2)，B(－1，4)到直線l：x＋ay＋1＝0的距離相等，∴eq\f(|－3－2a＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－1＋4a＋1|,\r(a2＋1))，化為|2a＋2|＝|4a|.∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－eq\f(1,3).答案1或－eq\f(1,3)5.已知直線l到直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________.解析由題意設直線l的方程為2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－1)，則eq\f(|3－C|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|C＋1|,\r(22＋（－1）2))，解得C＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝0基礎達標一、選擇題1.點(2，5)到直線y＝2x的距離為()\f(\r(5),5) \f(2\r(5),5)\f(3\r(5),5) \r(5)解析直線y＝2x可化為2x－y＝0，由點到直線的距離公式得eq\f(|2×2－5|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).答案A2.直線l過點A(3，4)且與點B(－3，2)的距離最遠，那么l的方程為()－y－13＝0 －y＋13＝0＋y－13＝0 ＋y＋13＝0解析由題意知直線l與AB垂直，且過A點，∴kl·kAB＝－1，又∵kAB＝eq\f(4－2,3＋3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3，∴l(xiāng)的方程為y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.答案C3.兩平行線分別經(jīng)過點A(3，0)，B(0，4)，它們之間的距離d滿足的條件是()<d≤3 <d≤5<d<4 ≤d≤5解析當兩平行線與AB垂直時，兩平行線間的距離最大為|AB|＝5，所以0<d≤5.答案B4.(多選題)到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程可以為()＋y＝0 ＋y－2＝0＋y－2＝0 ＋y＋2＝0解析根據(jù)題意可設所求直線方程為2x＋y＋C＝0(C≠1)，因為兩直線間的距離等于eq\f(\r(5),5)，所以d＝eq\f(|C－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得C＝0或C＝2，故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.答案AD5.點P(2，3)到直線ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d最大時，d與a的值依次為()，－3 ，2，1 ，1解析直線ax＋(a－1)y＋3＝0恒過點A(－3，3)，根據(jù)已知條件可知當直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時，距離最大，最大值為|AP|＝5，此時因為kAP＝0，故直線ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，所以a＝1.故選C.答案C二、填空題6.點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是________.解析由x2＋y2的實際意義可知，它表示直線x＋y－4＝0上的點到原點的距離的平方，它的最小值即為原點到該直線的距離的平方，所以(x2＋y2)min＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|1×0＋1×0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.答案87.經(jīng)過點P(－3，4)，且與原點的距離等于3的直線l的方程為________.解析(1)當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－3，原點到直線l：x＝－3的距離等于3，滿足題意；(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.由原點到直線l的距離d＝eq\f(|3k＋4|,\r(k2＋（－1）2))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).所以直線l的方程為7x＋24y－75＝0.綜上，直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.答案x＝－3或7x＋24y－75＝08.在坐標平面內(nèi)，與點(1，2)的距離為1，且與點B(3，1)的距離為2的直線共有________條.解析由題意可知，所求直線顯然不與y軸平行，∴可設直線方程為y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，兩式聯(lián)立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,k＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(5,3)，,k＝－\f(4,3).))故所求直線共有兩條.答案2三、解答題9.如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程.解設l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則圖中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A點到直線l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)·eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，∴b＝±3.又b>1，∴b＝3.從而得到直線l2的方程是x＋y－3＝0.10.已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點，(1)點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5，0)到l的距離的最大值.解(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵點A(5，0)到l的距離為3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以交點P的坐標為(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立).∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).能力提升11.已知點A(0，2)，B(2，0)，若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為() 解析設點C(t，t2).由題意知直線AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2eq\r(2).由于△ABC的面積為2，則這個三角形中AB邊上的高h滿足方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，即h＝eq\r(2).由點到直線的距離公式，得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，這兩個方程各自有兩個不相等的實數(shù)根，故這樣的點C有4個.答案A12.已知實數(shù)x，y滿足關(guān)系式x＋y＋1＝0，求式子S＝eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值.解法一∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一個動點M(x，y)到一個定點N(1，1)距離的平方，即