【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國統(tǒng)編教材 12.5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（第3課時）課件 理

第十二章極限與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第講5（第三課時）1題型6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立.證明：令函數(shù)f(x)=x3-x2+ln(x+1)，則.所以當(dāng)x∈［0，+∞)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增.又f(0)=0，2所以，當(dāng)x∈(0，+∞)時，恒有f(x)＞f(0)=0，即x3＞x2-ln(x+1)恒成立.故當(dāng)x∈(0，+∞)時，有l(wèi)n(x+1)＞x2-x3.對任意正整數(shù)n，取

∈(0，+∞)，則有

，所以結(jié)論成立.點評：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般是先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)的單調(diào)性或最值，進(jìn)一步得到所需結(jié)論.3已知m，n是正整數(shù)，且2≤m＜n.證明：(1+m)n＞(1+n)m.證明：不等式可化為nln(1+m)＞mln(1+n)，即設(shè)

則4因為x≥2，所以ln(1+x)≥ln3＞1.所以f

′(x)＜0，從而f(x)為減函數(shù).因為n＞m≥2，所以f(n)＜f(m)，即故(1+m)n＞(1+n)m.5題型7利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題2.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)，其中m為常數(shù).求證:當(dāng)m＞1時，方程f(x)=0在區(qū)間［e-m-m，e2m-m］內(nèi)有兩個不等實根.證明：當(dāng)m＞1時，f(1-m)=1-m＜0，f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m＞0，f(e2m-m)=e2m-m-lne2m=e2m-3m.6令g(m)=e2m-3m(m＞1)，則g′(m)=2e2m-3＞0.所以g(m)在(1，+∞)上為增函數(shù)，從而g(m)＞g(1)=e2-3＞0，即f(e2m-m)＞0.所以f(e-m-m)f(1-m)＜0，f(e2m-m)f(1-m)＜0.因為f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以存在x1∈(e-m-m，1-m)，x2∈(1-m，e2m-m)，使f(x1)=0，f(x2)=0.故方程f(x)=0在區(qū)間［e-m-m，e2m-m］內(nèi)有兩個不等實根.7點評：方程根的問題，一是可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，再結(jié)合圖象的性質(zhì)觀察交點情況，由圖象直觀地得出相應(yīng)的結(jié)論；二是利用性質(zhì)f(a)f(b)＜0(a<b，且f(x)在區(qū)間(a，b)上是連續(xù)函數(shù))，則方程f(x)=0在(a，b)上至少有一個根.8已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x.若關(guān)于x的方程

g(x2)-f(1+x2)=k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍.解：令則由φ′(x)＞0，得x(x+1)(x-1)＞0，所以-1＜x＜0或x＞1.由φ′(x)＜0，得x＜-1或0＜x＜1.9所以φ(x)在(-∞，-1)，(0，1)上是減函數(shù)，在(-1，0)，(1，+∞)上是增函數(shù).從而φ(0)=0為φ(x)的極大值，φ(-1)=φ(1)=-ln2為φ(x)的極小值且φ(x)為偶函數(shù).由此可得函數(shù)y=φ(x)的草圖如右.若方程φ(x)=k有四個不同的實根，則直線y=k與曲線y=φ(x)有四個不同的公共點.由圖知，實數(shù)k的取值范圍是(-ln2，0).103.某分分公司經(jīng)銷銷某種品牌牌產(chǎn)品，每每件產(chǎn)品的的成本為3元，并且且每件產(chǎn)品品需向總公公司交a元(3≤a≤5)的管管理費(fèi)，預(yù)預(yù)計當(dāng)每件件產(chǎn)品的售售價為x元(9≤x≤11)時時，一年的的銷售量為為(12-x)2萬件.(1)求分分公司一年年的利潤L(x)(萬元)與每件產(chǎn)產(chǎn)品的售價價x(元)的函函數(shù)關(guān)系式式；(2)當(dāng)每每件產(chǎn)品的的售價為多多少元時，，分公司一一年的利潤潤L(x)最大，并并求出L(x)的最大值值Q(a).題型8利用導(dǎo)數(shù)解解決實際問問題11解：：(1)分分公公司司一一年年的的利利潤潤L(x)(萬萬元元)與與售售價價x(元元)的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式為為L(x)=(x-3-a)(12-x)2,x∈［［9,11］］.(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′(x)=0,得x=6+a或x=12(不合題題意，舍舍去).因為3≤≤a≤5,所所以8≤≤6+a≤.在x=6+a兩側(cè)L′(x)的值由由正變負(fù)負(fù)，所以，①①當(dāng)8≤≤6+a＜9，即即3≤a＜時時，12［L(x)］max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)；②當(dāng)9≤6+a≤，即≤a≤5時時，［L(x)］max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.9(6-a)(3≤≤a<)4(3-a)3(≤a≤5).所以Q(a)=13答：若3≤a＜，則當(dāng)當(dāng)每件件售價價為9元時，，分公公司一一年的的利潤潤L(x)最大，，最大大值Q(a)=9(6-a)萬元；；若≤a≤5，則當(dāng)當(dāng)每件件售價價為(6+a)元時，，分公公司一一年的的利潤潤L(x)最大，，最大大值Q(a)=4(3-a)3萬元.點評：：涉及實實際問問題的的最值值問題題，一一般是是利用用函數(shù)數(shù)知識識來解解決，，即先先建立立函數(shù)數(shù)關(guān)系系，把把實際際問題題轉(zhuǎn)化化為數(shù)數(shù)學(xué)問問題，，然后后利用用求函函數(shù)最最值的的方法法求得得最值值.注意求求得的的解要要符合合實際際意義義.14如圖，，某地地為了了開發(fā)發(fā)旅游游資源源，欲欲修建建一條條連接接風(fēng)景景點P和居民民區(qū)O的公路路.點P所在的的山坡坡面與與山腳腳所在在水平平面α所成的的二面面角為為θ(0°°＜θ＜90°°)，且sinθ=，點P到平面面α的距離離PH=0.4km.沿山腳腳原有有一段段筆直直的公公路AB可供利利用.從點O到山腳腳修路路的造造價為為a萬元/km，原有有公路路改建建費(fèi)用用為萬萬元元/km.當(dāng)山坡坡上公公路長長度為為lkm(1≤≤l≤2)時，其其造價價為(l2+1)a萬元.已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5km，OA=3km.1516(1)在AB上求一一點D，使沿沿折線線PDAO修建公公路的的總造造價最最小；；(2)對于(1)中得到到的點點D，在DA上求一一點E，使沿沿折線線PDEO修建公公路的的總造造價最最小.解：(1)如圖，，PH⊥α，HBα，PB⊥AB.由三垂垂線定定理的的逆定定理知知，AB⊥HB，所以以∠PBH是山坡坡與α所成二二面角角的平平面角角，則則∠PBH=θ，PB=PHsinθ=1.1718設(shè)BD=xkm，0≤x≤1.5，則記總造造價為為f1(x)萬元，，據(jù)題設(shè)設(shè)有當(dāng)x=，即BD=km時，總總造價價f1(x)最小.19(2)設(shè)AE=ykm，0≤y≤，總造價價為f2(y)萬元.根據(jù)題題設(shè)有有20由f2′(y)=0，得y=1.當(dāng)y∈(0，1)時，f2′(y)＜0，f2(y)在(0，1)內(nèi)是減減函數(shù)數(shù)；當(dāng)y∈(1，)時，f2′(y)＞0，f2(y)在(1，)內(nèi)是增增函數(shù)數(shù).故當(dāng)y=1，即AE=1km時,總造價價f2(y)最小，，且最小小總造造價為為a萬元.21已知函函數(shù)(a，b為常數(shù)數(shù))的圖象象在點點A(1，f(1))處的切切線為為l，若l在點A處穿過過函數(shù)數(shù)y=f(x)的圖象象(即動點點在點點A附近沿沿曲線線y=f(x)運(yùn)動)，經(jīng)過過點A時，從從l的一側(cè)側(cè)進(jìn)入入另一一側(cè)，，求實實數(shù)a的值.解：因為f′(x)=x2+ax+b，所以f′(1)=1+a+b.又題型利利用導(dǎo)數(shù)數(shù)處理圖象象位置關(guān)系系問題

參考題22所以以直直線線l的方方程程為為因為為切切線線l在點點A處穿穿過過y=f(x)的圖圖象象，，23所以以g(x)在x=1兩邊邊附附近近的的函函數(shù)數(shù)值值異異號號，，從而而x=1不是是g(x)的極極值值點點.因為為g′(x)=x2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)，故若若1≠≠-a-1，則x=1和x=-a-1都是是g(x)的極極值值點點，，不合合題題意意，，所所以以-a-1=1，即即a=-2.241.利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間，，求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值和和最最值值，，是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)應(yīng)應(yīng)用用中中的的三三類類基基本本問問題題.對對變變通通后后的的變變式式問問題題或或綜綜合合性性問問題題，，都都要要化化歸歸為為上上述述基基本本問問題題來來解解決決.導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的應(yīng)應(yīng)用用與與方方程程、、不不等等式